线性代数与空间解析几何:1.1 矩阵及其运算
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b1 b2 b3 a21 a22 a23 b2
a31 a32 a33 b3
解
b1
b2
b3
a11 a21
a12 a22
a13 b1 a23 b2
a31 a32 a33 b3
b1
=( a11b1 a21b2 a31b3 a12b1 a22b2 a32b3 a13b1 a23b2 a33b3) b2
且
AB=O A=O 或 B=O
AB AC
AO
BC
(矩阵乘法不适合消去律)
但是 IA=A=AI
( k I )A = kA = A(k I)
返回
例7 线性方程组的矩阵形式
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1
a22 x2 a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
k 1
(i 1,..., m; j 1,..., n)
A
B
第i 行 ……..
=
C
第
j 列
cij
.
返回
例3
设A 1 1
0 1
1, 3
B
0 1 0
4 2 , 1
C
1 2
1, 1
求AB, AC.
解
AB 0 5, 1 9
AC无意义.
a1
例4
设A
a2
,
B
(b1
,
b2
,...,
aij bij , i 1,..., m; j 1,..., n 记为A=B. 加法: A与B同型,定义 A B (aij bij ).
返回
例1 设 A 1 2 3, 3 1 2
B 1 x 3, y 1 z
已知 A B,求 x, y, z. 解 A B,
x 2, y 3, z 2.
返回
注意: 对于同型矩阵才有意义.
例如,A 2 1与B 1不能相加.
1 1
1
1 0 1 1 1 0 2 1 1 1 1 2 0 1 0 1 2 2
返回
负矩阵: A (aij ) A ( A) O
减法:A B A (B) (对应元素相减) A B ABO
数乘: kA (kaij )
单位利润矩阵
400 B 300
500
利润矩阵 C 40 400 20 300 30 500 30 400 10 300 50 500
37000 40000
返回
矩阵的乘法: Amt Btn Cmn (cij )mn
t
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j ... ait btj aikbkj
可以建立线性方程组与矩阵的一一对应:
如,称
A
2
1
1
1 0 1
为线性代数方程组
2 x1 x1
x2
x3 x3
1 的系数矩阵; 2
返回
系数及常数项组成的矩阵
—
A
2
1
1
1
1 0 1 2
称为方程组的增广矩阵.
返回
二、矩阵的线性运算
同型矩阵: Amn , Bmn A与B相等:A (aij )与B (bij )同型,且
bn
).
求AB,
BA.
an
返回
解
a1
AB
a2
(b1
,
b2
,...,
bn
)
an
a1b1 a2b1 anb1
a1b2 a2b2
anb2
a1bn a2bn
anbn
a1
BA
(b1
,
b2
,...,
bn
)
a2
b1a1 b2a2 bnan
an
返回
例5
a11 a12 a13 b1
例, A (1) A (aij ),
2 1 0
2
2
1 0
4
2
返回
矩阵的线性运算:加法、数乘.
矩阵的线性运算满足如下八条性质:
① AB B A ② ( A B) C A (B C) ③ AO A ④ A ( A) O ⑤ 1A A ⑥ k(lA) (kl)A ⑦ k( A B) kA kB ⑧ (k l)A kA lA
a b2 11 1
a b2 22 2
a b2 33 3
a12 a21
b1b2
a13 a31
b3 b1b3
a23 a32 b2b3.
返回
例6 设A 1 1, B 2 2 . 求AB, BA. 1 1 2 2
解 AB O,
BA 4 * * *
AB BA. (不可交换)
,...,
ann
)
ann
aii 称为对角元. 如 A 2 0 diag(2,1) 0 1
单位矩阵:
1
I
1
diag(1,1,...,1)
1
返回
上三角形矩阵、下三角形矩阵:
2 3 0 1 1 0 0 0
0 1 1 1, 2 4 0 0
0 0 0 2 3 0 1 0
0 0 0 1 1 2 1 1
到站
A
B
C
D
A
0
发站
B C
1 1
D
0
B
C D
110 010 001 100
返回
矩阵是数学中一个极重要的应用广泛的工具.
矩阵就是一个 数表.
定义
由m n个数排成的m行n列的数表
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
am1
am 2
amn
称为一个m行n列的矩阵,简称为m n矩阵,其中aij 表第i行第j列元素.
返回
常记为Am×n 或A=(aij)m ×n.
例如,A
1 1
3 0,
B (1
2
4), 等.
2 1
零矩阵: 如
O22
0 0
0
,
0
O21
0 . 0
m=n时,称A为n阶矩阵(n阶方阵).
行矩阵、列矩阵:
(1
0
1
2),
6 4
3
返回
对角矩阵:
a11
A
a22
diag(a11
, a22
返回
三、矩阵的乘法
例2 某电子集团生产三种型号的彩电,第一季度 各40万台, 20万台, 30万台, 第二季度各30万台, 10万 台, 50万台, 每万台的利润分别是400万元, 300万元, 500万元, 第一,二季度各类产品的利润是多少 ?
返回
解 产量矩阵 A 40 20 30 30 10 50
1.1 矩阵及其运算
一、 矩阵的概念 二、 矩阵的线性运算 三、 矩阵的乘法 四、 矩阵的转置
返回wk.baidu.com
1.1 矩阵及其运算 一、矩阵的概念
2x 3y 1 4x 5y 0
2x1 3x2 1 4x1 5x2 0
A 2 3 4 5
B 2 3 1 4 5 0
返回
某航空公司在A,B,C,D四城 市之间开辟了若干航线 ,如 图所示表示了四城市间的航 A 班图,如果从A到B有航班,则 用带箭头的线连接 A 与B.
a31 a32 a33 b3
解
b1
b2
b3
a11 a21
a12 a22
a13 b1 a23 b2
a31 a32 a33 b3
b1
=( a11b1 a21b2 a31b3 a12b1 a22b2 a32b3 a13b1 a23b2 a33b3) b2
且
AB=O A=O 或 B=O
AB AC
AO
BC
(矩阵乘法不适合消去律)
但是 IA=A=AI
( k I )A = kA = A(k I)
返回
例7 线性方程组的矩阵形式
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1
a22 x2 a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
k 1
(i 1,..., m; j 1,..., n)
A
B
第i 行 ……..
=
C
第
j 列
cij
.
返回
例3
设A 1 1
0 1
1, 3
B
0 1 0
4 2 , 1
C
1 2
1, 1
求AB, AC.
解
AB 0 5, 1 9
AC无意义.
a1
例4
设A
a2
,
B
(b1
,
b2
,...,
aij bij , i 1,..., m; j 1,..., n 记为A=B. 加法: A与B同型,定义 A B (aij bij ).
返回
例1 设 A 1 2 3, 3 1 2
B 1 x 3, y 1 z
已知 A B,求 x, y, z. 解 A B,
x 2, y 3, z 2.
返回
注意: 对于同型矩阵才有意义.
例如,A 2 1与B 1不能相加.
1 1
1
1 0 1 1 1 0 2 1 1 1 1 2 0 1 0 1 2 2
返回
负矩阵: A (aij ) A ( A) O
减法:A B A (B) (对应元素相减) A B ABO
数乘: kA (kaij )
单位利润矩阵
400 B 300
500
利润矩阵 C 40 400 20 300 30 500 30 400 10 300 50 500
37000 40000
返回
矩阵的乘法: Amt Btn Cmn (cij )mn
t
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j ... ait btj aikbkj
可以建立线性方程组与矩阵的一一对应:
如,称
A
2
1
1
1 0 1
为线性代数方程组
2 x1 x1
x2
x3 x3
1 的系数矩阵; 2
返回
系数及常数项组成的矩阵
—
A
2
1
1
1
1 0 1 2
称为方程组的增广矩阵.
返回
二、矩阵的线性运算
同型矩阵: Amn , Bmn A与B相等:A (aij )与B (bij )同型,且
bn
).
求AB,
BA.
an
返回
解
a1
AB
a2
(b1
,
b2
,...,
bn
)
an
a1b1 a2b1 anb1
a1b2 a2b2
anb2
a1bn a2bn
anbn
a1
BA
(b1
,
b2
,...,
bn
)
a2
b1a1 b2a2 bnan
an
返回
例5
a11 a12 a13 b1
例, A (1) A (aij ),
2 1 0
2
2
1 0
4
2
返回
矩阵的线性运算:加法、数乘.
矩阵的线性运算满足如下八条性质:
① AB B A ② ( A B) C A (B C) ③ AO A ④ A ( A) O ⑤ 1A A ⑥ k(lA) (kl)A ⑦ k( A B) kA kB ⑧ (k l)A kA lA
a b2 11 1
a b2 22 2
a b2 33 3
a12 a21
b1b2
a13 a31
b3 b1b3
a23 a32 b2b3.
返回
例6 设A 1 1, B 2 2 . 求AB, BA. 1 1 2 2
解 AB O,
BA 4 * * *
AB BA. (不可交换)
,...,
ann
)
ann
aii 称为对角元. 如 A 2 0 diag(2,1) 0 1
单位矩阵:
1
I
1
diag(1,1,...,1)
1
返回
上三角形矩阵、下三角形矩阵:
2 3 0 1 1 0 0 0
0 1 1 1, 2 4 0 0
0 0 0 2 3 0 1 0
0 0 0 1 1 2 1 1
到站
A
B
C
D
A
0
发站
B C
1 1
D
0
B
C D
110 010 001 100
返回
矩阵是数学中一个极重要的应用广泛的工具.
矩阵就是一个 数表.
定义
由m n个数排成的m行n列的数表
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
am1
am 2
amn
称为一个m行n列的矩阵,简称为m n矩阵,其中aij 表第i行第j列元素.
返回
常记为Am×n 或A=(aij)m ×n.
例如,A
1 1
3 0,
B (1
2
4), 等.
2 1
零矩阵: 如
O22
0 0
0
,
0
O21
0 . 0
m=n时,称A为n阶矩阵(n阶方阵).
行矩阵、列矩阵:
(1
0
1
2),
6 4
3
返回
对角矩阵:
a11
A
a22
diag(a11
, a22
返回
三、矩阵的乘法
例2 某电子集团生产三种型号的彩电,第一季度 各40万台, 20万台, 30万台, 第二季度各30万台, 10万 台, 50万台, 每万台的利润分别是400万元, 300万元, 500万元, 第一,二季度各类产品的利润是多少 ?
返回
解 产量矩阵 A 40 20 30 30 10 50
1.1 矩阵及其运算
一、 矩阵的概念 二、 矩阵的线性运算 三、 矩阵的乘法 四、 矩阵的转置
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1.1 矩阵及其运算 一、矩阵的概念
2x 3y 1 4x 5y 0
2x1 3x2 1 4x1 5x2 0
A 2 3 4 5
B 2 3 1 4 5 0
返回
某航空公司在A,B,C,D四城 市之间开辟了若干航线 ,如 图所示表示了四城市间的航 A 班图,如果从A到B有航班,则 用带箭头的线连接 A 与B.