§1.5、向量函数的积分

f (x) fx (x)i fy (x) j fz (x)k 若 l 的法向量的单位向量为：nl (cos, cos , cos )
则：l lnl
所以：
f (x) dl f (x) nldl
l
l
fx (x) cos fy (x) ห้องสมุดไป่ตู้os fz (x) cos dl
f (x)dV
V
在R3空间，f (x) 可以表示为：
f (x) fx (x)i fy (x) j fz (x)k
则：
f (x)dV ( fx (x)dV )i ( fy (x)dV ) j ( fz (x)dV )k
V
V
V
V
T
fx (x)dV , fy (x)dV , fz (x)dV
§1.5、向量函数的积分
1、体积分
设D是R3中的一个体积元V，f (x) 在V中定义的函数。
定义（体积分）：设 V1, , Vn 是V的一个分割，
V maxV1,
, Vn ，任取点 xi Vi ，作和式：
n
f (xi )Vi
i 1
当 V 0, n 时，若和式的极限存在，且与V的划分与
xi 的选取无关，则称这个极限为 f (x)在V上的积分，记做
则：S SnS
所以：
f (x) dS f (x) nSdS
S
S
fx (x) cos fy (x) cos fz (x) cos dS
S
fx (x) cosdS fy (x) cos dS fz (x) cos dS
S
fx (x)dydz fy (x)dxdz fz (x)dxdy
S
例2：设 S 是平面 x y z 1 和三个坐标平面 x 0, y 0, z 0所围的闭曲面，求 r (x, y, z)T 沿 S 的外侧的曲面
积分。
解： S如图表示，S1, S2 , S3 是分别表示三角形
OAB,OBC,OCA所围平面，S4 代表ABC的
所围三角形，则：
r (x) dS xdydz ydxdz zdxdy
(3) 设 a 为常向量，f (x)为向量函数，则：
a f (x)dV a f (x)dV
V
V
例1：设V是平面 x y z 1 和三个坐标平面x=0,y=0
z=0所围的区域，求 r (x, y, z)T在V上的体积分。
解： V如图表示，则：
T
r (x)dV xdV , ydV , zdV
S
S
对于S1 ，z=0，dz=0，则：
r (x) dS 0
S1
同理：
r (x) dS r (x) dS 0
S2
S3
对于S4 ，则：
r (x) dS xdydz ydxdz zdxdy
S4
S4
而：
xdydz (1 y z)dydz
S4
S4
dydz ydydz zdydz
l
fx (x) cosdl fy (x) cos dl fz (x) cos dl
l
fx (x)dx fy (x)dy fz (x)dz
l
例4：设 l 为平面 x y z 1 与三个坐标平面的交线所围的
闭曲线，曲线方向如图所示，求函数
1 24
最后得：
V
r (x)dV
1 24
,
1 24
,
1 24
T
1 1,1,1T
24
2、曲面积分
设D是R3中的一块简单、分块光滑的空间有向曲面S ， 我们可以定义 f (x)沿 S一侧的积分。
定义(曲面积分)：设 f (x)在空间曲面S上有定义，S1, , Sn
为 S 的任意一个分割，记 S maxS1, , Sn，任取点
线段，定义 li Mi1Mi ，记 l maxl1, , ln，任取点
xi li，作和
n
f (xi ) li
i 1
当 l 0, n ，和式的极限存在且和曲线的划分与 xi 的 选取无关，则称这个极限为 f (x) 沿曲线 l 的曲线积分，记作
f (x) dl
l
在R3空间， f (x)可以表示为：
V
V
V
V
分别计算三个分量的积分，首先：
xdV xdxdydz
V
V
1
1 x
1x y
0 xdx0 dy0 dz
1
1 x
0 xdx0 (1 x y)dy
1 0
xdx
1
x
y
y2 2
1 x 0
1 2
1 x(1 x)2 dx
0
1 24
同理：
V
ydV
V
ydxdydz
1 24
V
zdV
V
zdxdydz
xi Si，作和式：
n
f (xi ) Si
i 1
当S 0, n 时，若和式的极限存在，且与S 的划分与
xi的选取无关，则称这个极限为 f (x)在 S上的积分，记做
f (x) dS
S
在R3空间，f (x) 可以表示为：
f (x) fx (x)i fy (x) j fz (x)k 若 S 的法向量的单位向量为：nS (cos, cos , cos )
(x) dS
1 2
例3：设 S 是球面 x2 y2 z2 1，求 r (x, y, z)T
沿球面外侧的积分。
解：对于球面来说，其任意点 x 的法向分量为 r 0
所以，沿球面外侧的积分为：
r (x) dS
S
r (x)
S
r(x) r
dS
rdS rr2d
S
S
4
3、曲线积分
设l是R3中的一条简单、分段光滑的空间有向曲线 l ， 我们可以定义 f (x)在曲线 l 上的积分。 定义(曲线积分)：设 l 为空间内由点A到点B的一条有向光滑曲 线，任取分段点A M0, M1, , M n B ，把 l分成n个有向
V
V
V
T
fx (x)dV , fy (x)dV , fz (x)dV
V
V
V
体积分的计算规则：
(1) 设 a 为常向量，u(x)为数量函数，则：
au(x)dV a u(x)dV
V
V
(2) 设 a 为常向量，f (x)为向量函数，则：
a f (x)dV a f (x)dV
V
V
S4
S4
S4
1
1 y
1
1
ydydz 0 ydy0
S4
dz 0 y(1 y)dy
6
1
1 y
1
zdydz 0 dy0
S4
zdz 6
1
1 y
1
dydz 0 dy0
S4
dz 2
所以：
111 1
xdydz
S4
266 6
同理：
1
ydzdx zdxdy
S4
S4
6
最后得：
S
r