(完整版)高中数学必修1函数单调性和最值专题

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函数专题:单调性与最值

一、增函数

1、观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:

y 的值有什么变化? ○

2 能否看出函数的最大、最小值? ○

3 函数图象是否具有某种对称性? 2、从上面的观察分析,能得出什么结论?

不同的函数,其图象的变化趋势不同,同一函数在不同区间上变化趋势也不同,函数图象的这种变化规律就是函数的单调性。

3.增函数的概念

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1

注意:

① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;

②必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2;当x 1

二、函数的单调性

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做y=f(x)的单调区间。

【判断函数单调性的常用方法】

1、根据函数图象说明函数的单调性.

例1、 如图是定义在区间[-5,5]上的函数

y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以

及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?

y

x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 y x

1 -1 1 -1

【针对性练习】

下图是借助计算机作出函数y =-x 2 +2 | x | + 3的图象,请指出它的的单调区间.

2.利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤:

① 任取x 1,x 2∈D ,且x 1

② 作差f(x 1)-f(x 2);

③变形(通常是因式分解和配方);

④定号(即判断差f(x 1)-f(x 2)的正负);

⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性).

例2、证明函数x

x y 1+

=在(1,+∞)上为减函数.

例3、函数f (x )=-x 3+1在R 上是否具有单调性?如果具有单调性,它在R 上是增函数还是

减函数?试证明你的结论.

例4、已知f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,并且f(m-1)-f(1-2m)>0,求实数m的取值范围.

例5、判断一次函数y kx b

=+(0)

k≠单调性.

例6、利用函数单调性的定义,证明函数在区间(0,1]上是减函数.

【归纳小结】

函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机,求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步:取值→作差→变形→定号→下结论

〖针对性练习〗

1.函数

1

y

x

=-的单调区间是()

A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)(1,∞,)C.(-∞,1)、(1,∞) D. (-∞,1)U(1,∞)

2. 下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( ).

A.32

y x

=-+B.

3

y

x

= C.245

y x x

=-+D.2

3810

y x x

=+-

3.函数y=的增区间是()。

A.[-3,-1] B.[-1,1] C.

1

1

3

a

-<<-(,3)

-∞- D.(1,)

-∞

4、已知函数

1

()

f x x

x

=+

判断()

f x在区间〔0,1〕和(1,+∞)上的单调性。

5、定义在(-1,1)上的函数()

f x是减函数,且满足:(1)()

f a f a

-<,求实数a的取值范围。

6、函数f(x)=-x3+1在R上是否具有单调性?如果具有单调性,它在R上是增函数还是减

函数?试证明你的结论.

☆☆☆复合函数的单调性☆☆☆

1、定义:

设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域中变化时,u=g(x)的值在y=f(u)的定义域内变化,因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系,记为

y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数,其中x称为自变量,u为中间变量,y为因变量(即函数)

2、复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:

函数 单调性

()u g x = 增 增 减 减

()y f u = 增 减 增 减

[]()y f g x = 增 减 减 增

例1、已知()1,()32y f u u u g x x ==+==-+,求[]()y f g x =的单调性。

例2、已知2()1,()1y f u u u g x x ==+==+,求函数[]()y f g x =的单调性。

〖针对性训练〗

1、已知2()1,()1y f u u u g x x ==+==-+,求函数[]()y f g x =的单调性。

2、已知2()82f x x x =+-,如果2()(2)g x f x =-,那么()g x ( )

A. 在区间(-1,0)上是减函数

B. 在区间(0,1)上是减函数

C. 在区间(-2,0)上是增函数

D. 在区间(0,2)上是增函数

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