(完整版)高中数学必修1函数单调性和最值专题
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函数专题:单调性与最值
一、增函数
1、观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:
y 的值有什么变化? ○
2 能否看出函数的最大、最小值? ○
3 函数图象是否具有某种对称性? 2、从上面的观察分析,能得出什么结论?
不同的函数,其图象的变化趋势不同,同一函数在不同区间上变化趋势也不同,函数图象的这种变化规律就是函数的单调性。
3.增函数的概念
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1 注意: ① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ②必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2;当x 1 二、函数的单调性 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做y=f(x)的单调区间。 【判断函数单调性的常用方法】 1、根据函数图象说明函数的单调性. 例1、 如图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以 及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数? y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 【针对性练习】 下图是借助计算机作出函数y =-x 2 +2 | x | + 3的图象,请指出它的的单调区间. 2.利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤: ① 任取x 1,x 2∈D ,且x 1 ② 作差f(x 1)-f(x 2); ③变形(通常是因式分解和配方); ④定号(即判断差f(x 1)-f(x 2)的正负); ⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性). 例2、证明函数x x y 1+ =在(1,+∞)上为减函数. 例3、函数f (x )=-x 3+1在R 上是否具有单调性?如果具有单调性,它在R 上是增函数还是 减函数?试证明你的结论. 例4、已知f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,并且f(m-1)-f(1-2m)>0,求实数m的取值范围. 例5、判断一次函数y kx b =+(0) k≠单调性. 例6、利用函数单调性的定义,证明函数在区间(0,1]上是减函数. 【归纳小结】 函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机,求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步:取值→作差→变形→定号→下结论 〖针对性练习〗 1.函数 1 y x =-的单调区间是() A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)(1,∞,)C.(-∞,1)、(1,∞) D. (-∞,1)U(1,∞) 2. 下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( ). A.32 y x =-+B. 3 y x = C.245 y x x =-+D.2 3810 y x x =+- 3.函数y=的增区间是()。 A.[-3,-1] B.[-1,1] C. 1 1 3 a -<<-(,3) -∞- D.(1,) -∞ 4、已知函数 1 () f x x x =+ , 判断() f x在区间〔0,1〕和(1,+∞)上的单调性。 5、定义在(-1,1)上的函数() f x是减函数,且满足:(1)() f a f a -<,求实数a的取值范围。 6、函数f(x)=-x3+1在R上是否具有单调性?如果具有单调性,它在R上是增函数还是减 函数?试证明你的结论. ☆☆☆复合函数的单调性☆☆☆ 1、定义: 设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域中变化时,u=g(x)的值在y=f(u)的定义域内变化,因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系,记为 y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数,其中x称为自变量,u为中间变量,y为因变量(即函数) 2、复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下: 函数 单调性 ()u g x = 增 增 减 减 ()y f u = 增 减 增 减 []()y f g x = 增 减 减 增 例1、已知()1,()32y f u u u g x x ==+==-+,求[]()y f g x =的单调性。 例2、已知2()1,()1y f u u u g x x ==+==+,求函数[]()y f g x =的单调性。 〖针对性训练〗 1、已知2()1,()1y f u u u g x x ==+==-+,求函数[]()y f g x =的单调性。 2、已知2()82f x x x =+-,如果2()(2)g x f x =-,那么()g x ( ) A. 在区间(-1,0)上是减函数 B. 在区间(0,1)上是减函数 C. 在区间(-2,0)上是增函数 D. 在区间(0,2)上是增函数