证明数列收敛

本文讨论了一类递推数列1()n n x f x +=的单调性与收敛性问题,同时也推广与包含了近期一些文献中的结果.

运用单调有界性来证明收敛，而能用单调有界定理证明收敛的有四种情况：

易知单调递增或递减，需证有上界或下界。 易知有上界或下界，需证单调递增或递减。 易知既有上界又有下界，需证单调。 易知单调，需证既有上界又有下界。

①用导数来求证1()n n x f x +=单调有界性

如果'

()0f x ≥，即函数

()f x 单调递增时，数列{}n x 具有单调

性是可以肯定的，而研究递增递减那要看1x 跟2x 的比较了(如果

12=x x 的话，那么1n =x x )具体的说

若12x x >时，由12()()f x f x >,那么可以判定{}n x 为减数列。

若12x x <时，由12()()f x f x <,那么可以判定{}n x 为增数列。

例题1.

{}1+12=0,n 1=2-cos ,23n n n x x x x ππ⎛⎫

≥ ⎪

⎝⎭

当时，证明数列收敛并且极限值位于，证：记()=2-cos f x x ,则'

()=sin 0f x x >

因为10x =，2=1x ，则120=13x x =<≤，由于[]

()03f x 在，上递增

所以123()()()f x f x f x <<，即2

33x x <≤

那么{}n x 具有单调有界性，上界为3 然后对数列两边取极限，记极限为A 则A -cosA =2.

设函数()=-+cos g x x x 2，其中A 为方程()g x 的根，

由于()g x 在[]03，

上连续，在()03，内可导，则'

()=1-sin 0g x x > 所以函数递增，又由于-4

24-10

()=0,()02236

g g ππππ<=> 所以()g x 的根在223

ππ

⎛⎫

⎪⎝

⎭

，内。

如果'()0f x ≤，即函数()f x 单调递减时，数列{}n x 肯定不具

有单调性的．但是，它的奇数项子数列{}21n x -和偶数项子数列{}2n x 都可以看作是通过单调增加函数g (x ). 其中[[]12()()()n n n n g x f f x f x x ++===] 所以肯定具有单调性，而且其增减性恰好相反．

例题1.当1=11x n ≥，时，11

=1+n n

x x +，证明数列{}n x 收敛，并求

其极限值。

证：设函数1

()1+f x x =,则函数在[)0,∞上连续，在[)0,∞内可导，

易知'

2

1

()=-0(1)

f x x <+。 所以1

()1+f x x

=在[)0,∞上递减。

由于123

12=1,=,=23x x x ,可知132x x x >>，又1

()1+f x x

=在[)0,∞上递减。

所以有()()()132f x f x f x <<,即243x x x <<,

所以2

431x x x x <<<

可推得1352n-12n 642......x x x x x x x x >>>>>>>>>

由此可知奇数项子数列{}21n x -单调递减有下界21

=2

x ，偶数项子数列

{}2n x 单调递增有上界1=1x ，则两子数列都收敛。

设奇数项子数列{}21n x -收敛于P ，偶数项子数列{}2n x 收敛于Q 。

对11=1+n n x x +两边去极限得：1P=1+Q 1Q=

1+P

⎧⎪⎪⎨

⎪⎪⎩

解方程得P=Q=

2

那么数列{}n x

收敛于

2。

②利用不动点与导数的结合来证单调有界性。

定义：对于函数

()f x ,若存在实数C,使得(C)=C f ，则称C 为

()f x 的不动点。

命题1.设函数

()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且'

()0f x >,

(),()f a a f b b >=.设1=x a ，则递推数列1()n n x f x +=收敛。

命题2.设函数

()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且'()0f x >,

()=,()f a a f b b <.设1=b x ，则递推数列1()n n x f x +=收敛。

命题3.如果函数

()f x 在[],a b 有唯一的不动点，那么数列必收敛于

该不动点。

推论：对于递推数列1

n n n ax b x x c ++=+, 如果

1(,123...)ac b a b c x n ≠=、、、都为正数,、、，那么数列收

敛，且收敛于L

，其中L=2

。

例题1.

设10x <<， 13(1)

3n n n x x x ++=+ （

1,2,3,n =），求

证:数列{}n x 收敛,并求其极限。

解：数列{}n x 的迭代方程3(1)()3

x f x x +=+，2

6'()0(3)f x x =>+

f =。

又11()f x x

-111

)

03x x x +=>+，即11()f x x >。

故数列{}n x

在区间1[x 上满足命题1的条件,于是数列{}n x 收

敛。 又()f x

在1[x

上有唯一的不动点

,

于是lim n n x →∞

=

。