两条直线的交点(课堂PPT)
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1.4 两条直线的交点
1
1.理解两直线的位置关系与方程组解的个数之间的 关系.（重点） 2.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.(难 点）
2
我们知道，平面内任意一条直线都会与一个二元 一次方程对应，即直线上的点的坐标是这个方程的解， 反之亦成立．那么两条直线是否有交点与它们对应的 方程所组成的方程组是否有解有没有关系，如果有， 是什么关系？
14
1． 判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标.
(1) l1 : 3x 2 y 7 (2) l1 : 2x 6 y 5 0
l2 : 7x y 1
1
l2 : y
(x 1) 3
(3) l1 : ( 2 1)x y 3 l2 : x (1 2) y 2
答案：(1) 相交 交点坐标为( 9 , 46) . (2) 平行 17 17
10
例3.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线 方程: l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.
11
【变式练习】 求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点， 且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程.
12
拓展探究：过定点的直线系方程 思考1：当λ变化时，方程3x+4y－2+λ（2x+y+2）=0表 示什么图形？图形有何特点？
3
探究 两条直线的交点坐标
在同一平面直角坐标系内画出下列两条直线的图像
l1 : x y 2
l2 : x y 0
y
l1 : x y 2 2
l2 : x y 0
P(a,b)
0
2
x
思考1：两直线是什么位置关系？其交点坐标是多少？
提示：相交，交点坐标为（1,1）
4
思考2：已知直线l1：A1x+B1y+C1=0；l2：A2x+B2y+C2=0， 若他们相交，如何求交点坐标？ 提示：问题转化为二元一次方程组求解的问题；两条 直线相交，交点一定同时在这两条直线上，交点坐标 是这两个方程组的唯一解；反之，如果这两个二元一 次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐 标的点，必是直线l1和l2的交点，因此求两条直线的交 点，就是求这两个直线方程的公共解.
13
思考2：方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)表 示怎样的直线？ 提示：若l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0相 交于M(x0,y0)， 则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)表 示过l1与l2交点的直线系方程(但不包括直线l2).
(3) 垂直 交点坐标为 (5 2 4 , 6 2 )
4
4
15
2.经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点，且平行 于直线x+2y-3=0的直线方程是_3_x_+_6_y_-_2_=_0__. 3.直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标 是（ A ） A.（-2,1） B.（2,1） C.（1,-2） D.（1,2） 4.经过两直线2x-3y-3=0 和x+y+2=0 的交点且与直 线3x+y-1=0 垂直的直线方程为__5_x_-_1_5_y_-_1_8_=_0___．
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5. （2013·四川高考）在平面直角坐标系内，到点 A(1,2) ， B(1,5) ， C(3, 6) ， D(7, 1) 的 距 离 之 和 最 小 的 点 的 坐 标 是 _______。 【解析】由题可知 A(1, 2) ，B(1,5) ，C(3,6) ，D(7,1) ，四边形 ABCD 对角线的交点到四点距离之和最小，直线 AC 的方程为 2x y 0，直线 BD 的方程为 x y 6 0 ，所以其交点为 (2, 4) 答案： (2, 4)
5
【提升总结】 两条直线的公共点个数与两条直线的位置关系
Байду номын сангаас
方程组
A1x+B1y+C1=0 的解
A2x+B2y+C2=0
一组 无数组 无解
两条直线l1, l2的公共点
一个 无数个 零个
直线l1, l2间的位置关系
相交 重合 平行
6
例1.求下列两条直线的交点：
l1:x 2y 1 0,
l2: x 2y 2 0.
思考: 点（1，-1）在直线l1上吗？在直线l2上吗？
在直线l1上，不在直线l2上.
7
【变式练习】
求下列两条直线的交点：
（1） l1 : x y 5 ,
(2) l1 : y
1x 2, 2
答案：（1） ( 5 , 5) 22
l2 : x y 0 . l2 : y 3x 7 . （2）（-2，1）
8
例２．设三条直线 l1:x y 1 0,l2:kx 2y 3 0,
17
求两直线交点坐标的步骤： 首先判断两直线是否平行，若不平行，再解方 程组求其交点坐标.
18
不为失败找理由，要为成功找方法.
19
l3:x (k 1)y 5 0.
若这三条直线交于一点，求k的值．
9
【变式练习】
1. 三条直线 ax 2y 8 0 , 4x 3y 10 0 与 2x y 10 0 相交于一点，则实数 a __1_. 2.若点（2，1）是直线 l : Ax 4y 2 0 与
1
直线 l : 2x By 2 0 的交点，则 A+B=__7_. 2
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1.理解两直线的位置关系与方程组解的个数之间的 关系.（重点） 2.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.(难 点）
2
我们知道，平面内任意一条直线都会与一个二元 一次方程对应，即直线上的点的坐标是这个方程的解， 反之亦成立．那么两条直线是否有交点与它们对应的 方程所组成的方程组是否有解有没有关系，如果有， 是什么关系？
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1． 判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标.
(1) l1 : 3x 2 y 7 (2) l1 : 2x 6 y 5 0
l2 : 7x y 1
1
l2 : y
(x 1) 3
(3) l1 : ( 2 1)x y 3 l2 : x (1 2) y 2
答案：(1) 相交 交点坐标为( 9 , 46) . (2) 平行 17 17
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例3.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线 方程: l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.
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【变式练习】 求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点， 且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程.
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拓展探究：过定点的直线系方程 思考1：当λ变化时，方程3x+4y－2+λ（2x+y+2）=0表 示什么图形？图形有何特点？
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探究 两条直线的交点坐标
在同一平面直角坐标系内画出下列两条直线的图像
l1 : x y 2
l2 : x y 0
y
l1 : x y 2 2
l2 : x y 0
P(a,b)
0
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x
思考1：两直线是什么位置关系？其交点坐标是多少？
提示：相交，交点坐标为（1,1）
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思考2：已知直线l1：A1x+B1y+C1=0；l2：A2x+B2y+C2=0， 若他们相交，如何求交点坐标？ 提示：问题转化为二元一次方程组求解的问题；两条 直线相交，交点一定同时在这两条直线上，交点坐标 是这两个方程组的唯一解；反之，如果这两个二元一 次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐 标的点，必是直线l1和l2的交点，因此求两条直线的交 点，就是求这两个直线方程的公共解.
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思考2：方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)表 示怎样的直线？ 提示：若l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0相 交于M(x0,y0)， 则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)表 示过l1与l2交点的直线系方程(但不包括直线l2).
(3) 垂直 交点坐标为 (5 2 4 , 6 2 )
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2.经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点，且平行 于直线x+2y-3=0的直线方程是_3_x_+_6_y_-_2_=_0__. 3.直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标 是（ A ） A.（-2,1） B.（2,1） C.（1,-2） D.（1,2） 4.经过两直线2x-3y-3=0 和x+y+2=0 的交点且与直 线3x+y-1=0 垂直的直线方程为__5_x_-_1_5_y_-_1_8_=_0___．
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5. （2013·四川高考）在平面直角坐标系内，到点 A(1,2) ， B(1,5) ， C(3, 6) ， D(7, 1) 的 距 离 之 和 最 小 的 点 的 坐 标 是 _______。 【解析】由题可知 A(1, 2) ，B(1,5) ，C(3,6) ，D(7,1) ，四边形 ABCD 对角线的交点到四点距离之和最小，直线 AC 的方程为 2x y 0，直线 BD 的方程为 x y 6 0 ，所以其交点为 (2, 4) 答案： (2, 4)
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【提升总结】 两条直线的公共点个数与两条直线的位置关系
Байду номын сангаас
方程组
A1x+B1y+C1=0 的解
A2x+B2y+C2=0
一组 无数组 无解
两条直线l1, l2的公共点
一个 无数个 零个
直线l1, l2间的位置关系
相交 重合 平行
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例1.求下列两条直线的交点：
l1:x 2y 1 0,
l2: x 2y 2 0.
思考: 点（1，-1）在直线l1上吗？在直线l2上吗？
在直线l1上，不在直线l2上.
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【变式练习】
求下列两条直线的交点：
（1） l1 : x y 5 ,
(2) l1 : y
1x 2, 2
答案：（1） ( 5 , 5) 22
l2 : x y 0 . l2 : y 3x 7 . （2）（-2，1）
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例２．设三条直线 l1:x y 1 0,l2:kx 2y 3 0,
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求两直线交点坐标的步骤： 首先判断两直线是否平行，若不平行，再解方 程组求其交点坐标.
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不为失败找理由，要为成功找方法.
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l3:x (k 1)y 5 0.
若这三条直线交于一点，求k的值．
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【变式练习】
1. 三条直线 ax 2y 8 0 , 4x 3y 10 0 与 2x y 10 0 相交于一点，则实数 a __1_. 2.若点（2，1）是直线 l : Ax 4y 2 0 与
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直线 l : 2x By 2 0 的交点，则 A+B=__7_. 2