高二数学选修空间向量试卷及答案

A

A 1 D

C

B B 1

C 1

图

高二数学（选修2-1）空间向量试题

宝鸡铁一中 司婷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后

的括号内（每小题5分，共60分）． 1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝

2BB 1

，则AB 1

与C 1

B 所成的角的大小为（ ）

A ．60°

B ．90°

C ．105°

D ．75°

2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝

4

11B A ，则BE 1与DF 1

所成角的

余弦值是（ ）

A ．

1715 B ．

21 C ．17

8 D ．

2

3 3．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、

A 1C 1的中

点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）

A ．

1030 B ．

2

1 C ．15

30 D ．

10

15

4．正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长2AB =，则异面直线BD 和SC 之间的距离（ ）

A ．5

15 B ．5

5 C ．

5

5

2 D ．

10

5 5．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧

棱1CC 的

中点．点1C 到平面1AB D 的距离（ ） A ．

a 42

B ．

a 82 C ．a 4

2

3 D ．

a 2

2 6．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离（ ）

A ．

6

3 B ．

3

3 C ．

3

3

2 D ．

2

3 图

图

7．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝

2

1

PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（ ）

A ．

6

21

B ．

3

3

8 C

60210 D ．30

210

8．在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形， 90=∠ACB ，侧棱

21=AA ，D ，E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面AB D 上的射影是ABD ∆的

重心G ．则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值（ ）

A ．

3

2 B ．

37 C ．2

3 D ．

7

3

9．正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱32

3

1=

AA ，D 是C B 延长线上一点，且BC BD =，则二面角B AD B --1的大小（ ）

A ．

3

π B ．6π C ．

6

5π D ．

3

2π 10．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱

AB ，CD 的中点，G BD EF =⋂．则三棱锥11EFD B -的体积V （ ）

A ．

6

6 B ．

3316 C ．3

16

D ．16

11．有以下命题：

①如果向量b a ,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么b a ,的关系是不共线；

②,,,O A B C 为空间四点，且向量OC OB OA ,,不构成空间的一个基底，则点,,,O A B C 一定共面； ③已知向量c b a ,,是空间的一个基底，则向量c b a b a ,,-+也是空间的一个基底。其中正确的命题是：（ ）

（A ）①② （B ）①③ （C ）②③ （D ）①②③

12. 如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -

中，M 为11C A 与11D B 的交点。若a AB =，b AD =，

c AA =1则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）

（A ） c b a ++-2121 (B)c b a ++21

21

（C ）c b a +--2121 （D ）c b a +-2

1

21

二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共30分）．

13．已知向量(0,1,1)a =-，(4,1,0)b =，||29a b λ+=且0λ>，则λ=

____________.

C1

14．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，则异面直线1D E 和1BC 间的距

离 ．

15． 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是11A B 、CD 的中点，求点B 到截面1AEC F

的距离 ．

16．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点，点A 1到平面D B EF 的距

离 ．

17．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线A E 与平面AB C 1D 1所成角的正弦

值 ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共60分）．

18．（15分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1，求平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的二面角的大

小

19．（15分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 分别是A 1C 1、A 1D 和B 1A 上任一点，求证：平面A 1EF ∥平面B 1MC ．

20．（15分）在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD =90°，AD ∥BC ，AB =BC =a ，AD =2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角． （1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； （2）求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值．

21．（15分）已知棱长为1的正方体A C 1，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 的中点． （1）求证：E 、F 、D 、B 共面；

（2）求点A 1到平面的B DEF 的距离； （3）求直线A 1D 与平面B DEF 所成的角．

参考答案

一、1．C ；2．A ；3．B ；4．A ；5．A ；6．C ；7．A ；8．B ； 9．D ；10．B ； 11．A ；12．C ； 二、13．3 1426

15．3

6 16．1； 17．510 三、

18． 解：如图建立空间直角坐标系，11C A ＝（－1，1，0），B A 1＝（0，1，－1） 设1n 、2n 分别是平面A 1B C 1与平面AB CD 的法向量，

由 011=B A n 可解得1n ＝（1，1，1） 2n ＝（0，0，1）， 所以，2

12121,cos

n n n n n n ⋅=

3

3

所以平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的二面角大小为a rccos

33或 π－a rccos 3

3． z

y

x

D 1

A 1

D

B 1

C 1

C B

A