高中数学不等式中最值问题全梳理

3 4
，cos2
1 4
9 时“=”成立，故 sin 2
1 cos2
的最小值为 16.
【小结】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为积为定值，才能用基本不等式求最
值，属于基础题.
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例题 3 已知函数 y＝loga x＋1(a>0 且 a≠1)图象恒过定点 A，若点 A 在直线 x ＋y－4＝0(m>0，n>0)上，则 mn
cos2
1
将
9 sin2
1 cos2
变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值.
【解析】∵ sin 2
cos2
9 1 ，∴ sin2
1 cos2
sin2 cos2
9 sin2
1 cos2
10
sin2 cos2
9 cos2 sin2
10 6
16
，当且仅当 sin 2
等式即可求得最值.
【解析】因为 a1a2 2 ，由等差数列通项公式,设公差为 d ,可得 a1
a1 d
2
，变形可得
d
a1
2 a1
因为数列{an} 为递增数列,所以 d
a1
2 a1
0 ，即
a1
0
，而由等差数列通项公式可知 a3
a1
2d
a1
2
a1
2 a1
a1
4 a1
，由
a1
0
,
B．1
C．2
3
D．
2
【分析】画出可行域，根据目标函数
z
最大值求
m,
n
关系式
m
2n
3
，再利用不等式求得
1 2m
1 n
最小
值.
【解析】画出可行域如下图所示，由于 m 0, n 0 ，所以基准直线 mx ny 0 的斜率为负数，故目标函
数在点 A1, 2 处取得最大值，即 m 2n 2 1，所以 m 2n 3 .
4
4
4
2
∴m＋n 的最小值为 1.
题型二 基本不等式与线性规划相结合的最值问题
例题 4
x 2y 3 0 已知 x, y 满足约束条件 2x 3y 4 0 ，若目标函数 z mx ny 2 的最大值为 1（其中
y 0
m 0, n 0 ），则 1 1 的最小值为（ ）
2m n
A．3
m＋n 的最小值为________．
【解析】由题意可知函数 y＝loga x＋1 的图象恒过定点 A(1,1)，∵点 A 在直线 x ＋y－4＝0 上，∴ 1 ＋1＝4，
mn
mn
∵m>0，n>0，∴m＋n＝1(m＋n)
1 ＋1 mn
＝1
2＋ n ＋m mn
≥1
2＋2
n ·m mn
＝1，当且仅当
m＝n＝1时等号成立，
故可得 In
x1x2
0 ，解得 x2
1 x1
，则 x12
x22 = x12
1 x12
2
x12
1 x12
2 ，故选：C.
【小结】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题.
例题 2
9 1 的最小值为（ sin2 cos2
）
A．2
B．16
C．8
D．12
【分析】利用 sin 2
uuur AB
1 3
uuur uuur AC , AG
1 3x
uuuur AM
1 3y
uuur AN .
又 M , G , N 三点共
线,
1 3y
1 3x
1.
x
>
0 , y 0,
3x
y
3x
y
1 3x
1 3y
4 3
x y
y 3x
4 3
2
x y
4+2
3
.
y 3x 3
3x y 的最小值为 4+2 3
不等式中最值问题全梳理
模块一、题型梳理
题型一 基本不等式与函数相结合的最值问题
例题 1 若方程 ln x m 有两个不等的实根 x1 和 x2 ，则 x12 x22 的取值范围是（ ）
A． 1, B． 2,
C． 2,
D． 0,1
【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围.
【解析】因为 ln x m 两个不等的实根是 x1 和 x2 ，不妨令 x1 0,1, x2 1, ， Inx1 m, Inx2 m
题型三 基本不等式与数列相结合的最值问题
例题 5 已知递增等差数列{an} 中， a1a2 2 ，则 a 3 的（ ）
A．最大值为 4 B．最小值为 4
C．最小值为 4
D．最大值为 4 或 4
【分析】根据等差数列的通项公式可用 a1 表示出 d .由数列单调递增可得 a1 0 .用 a1 表示出 a 3 ,结合基本不
3
,当且仅当
x y
y 3x
时“ ”成立.故答案为：
4+2 3
3.
【小结】本题主要考查了基底向量与向量的共线定理性质运用,同时也考查了基本不等式应用,属于中等题型.
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题型五 基本不等式与圆锥曲线相结合的最值问题
2a＋b 【解析】由于 2 是 2a，b 的等差中项，故 2a＋b＝4，又 a，b 均为正数，故 2ab≤ 2 2＝4，
当且仅当 2a＝b＝2，即 a＝1，b＝2 时取等号，所以 1 的最小值为1.
ab
2
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题型四 基本不等式与向量相结合的最值问题
例题 7 如图所示,已知点 G 是 ABC 的重心,过点 G 作直线分别交 AB ， AC 两边于 M ， N 两点，且 uuur uuur uuur uuur AM xAB， AN y AC ，则 3x y 的最小值为______.
【分析】根据重心的性质有
uuur AG
1 3
uuur AB
1 3
uuur AC ,再表达成
AM ,
AN
的关系式,再根据
M
,G,
N
三点共线可
得系数和为 1,再利用基本不等式求解即可.
【解析】根据条件：
uuur AC
1 y
uuur AN ,
uuur AB
1 x
uuuur AM ,又
uuur AG
1 3
1 2m
1 n
1 3
1 2m
1 n
m
2n
1 3
5 2
n m
m n
1 3
5 2
2
n m
m n
1 3
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9 2
3 2
，当且仅当
n m , m n 1时等号成立，所以 1 1 的最小值为 3 .故选：D
mn
2m n
2
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【小结】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想 方法，属于中档题.
4 a1
0 结合基本不等式可得
a3
a1
4 a1
2
a1
4 a1
4
，当且仅当
a1
2
时取得等号，所以
a3
的最小值为
4。
【小结】本题考查了等差数列通项公式与单调性的应用,基本不等式在求最值中的用法,属于中档题.
例题 6 已知 a，b 均为正数，且 2 是 2a，b 的等差中项，则 1 的最小值为________． ab