单纯形法在线性规划中的应用。

单纯形法在线性规划中的应用

摘要

求解线性规划问题，就是在各项资源条件的限制下，如何确定方案，使预期的目标达到最优。本文重点介绍了求解线性规划问题目前最常见的两种方法，图解法和单纯形法。图解法适合于只含两个变量的线性规划问题，文中只做了简单的描述。而单纯形法是求解线性规划问题的通用方法，适合于求解大规模的线性规划问题，本文作了重点描述，对单纯形法中的基本概念如基变量、非基变量、基向量、非基向量、可行基以及基本可行解等概念作了详细的陈述，在此基础上，介绍了线性规划问题的标准化、单纯形法的基本原理、确定初始可行解、最优性检验、解的判别、基本可行解的改进、换入变量的确定-最大增加原则、换出变量的确定-最小比值原则、表格单纯形法、大M法、两阶段法等。

关键词：线性规划图解法单纯形法基变量基向量可行基基本可行解

正文

引言

在生产管理和经济活动中，经常遇到这些问题，如生产计划问题，即如何合理利用有限的人、财、物等资源，以便得到最好的经济效果；材料利用问题，即如何下料使用材最少；配料问题，即在原料供应量的限制下如何获取最大利润；劳动力安排问题，即如何用最少的劳动力来满足工作的需要；运输问题，即如何制定调运方案，使总运费最小；投资问题，即从投资项目中选取方案，使投资回报最大等等。对于这些问题，都能建立相应的线性规划模型。事实上，线性规划就是利用数学为工具，来研究在一定条件下，如何实现目标最优化。

解线性规划问题目前最常见的方法有两种，图解法和单纯形法。单纯形法是求解线性规划问题的通用方法。

1 线性规划问题的求解方法

1.1 图解法解线性规划问题

只含两个变量的线性规划问题，可以通过在平面上作图的方法求解，步骤如下：

(1)以变量x

1为横坐标轴，x

2

为纵坐标轴，适当选取单位坐标长度建立平面

坐标直角坐标系。由变量的非负性约束性可知，满足该约束条件的解均在第一象限内。

(2)图示约束条件，找出可行域（所有约束条件共同构成的图形）。

(3)画出目标函数等值线，并确定函数增大（或减小）的方向。

(4)可行域中使目标函数达到最优的点即为最优解。

然而，图解法虽然直观、简便，但当变量数多于三个以上时，其实用意义不大。

1.2 单纯形法解线性规划问题

它的理论根据是：线性规划问题的可行域是 n 维向量空间Rn 中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。

单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。

单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。

1.3 线性规划问题的标准化

使用单纯形法求解线性规划时，首先要化问题为标准形式 所谓标准形式是指下列形式：

∑==

n

j j j

x c

z 1

max

⎪⎩⎪⎨⎧=≥==⋅⋅∑=),,2,1(0),,1(1n j x m i b x a t s j

n

j i j ij

当实际模型非标准形式时，可以通过以下变换化为标准形式： ①当目标函数为∑==n

j j j x c z 1min 时，可令Z ′=-Z ，而将其写成为

∑=-='n

j j j x c z 1

min

求得最终解时，再求逆变换Z=-Z ′即可。

②当s ·t ·中存在i n in i i b x a x a x a ≤+++ 2211形式的约束条件时，可引进变量

⎩⎨

⎧≥+++-=++0)

(1

22111n n in i i i n x x a x a x a b x 便写原条件成为

⎩⎨

⎧≥=++++++01

12211n i

n n in i i x b x x a x a x a 其中的x n +1称为松驰变量，其作用是化不等式约束为等式约束。

同理，若该约束不是用“≤”号连接，而是用“≥”连接，则可引进松驰变量

⎩⎨

⎧≥-+++=++0)(1

22111n i

n in i i n x b x a x a x a x 使原条件写成

⎩⎨

⎧≥=-++++0

1111n i

n n in i x b x x a x a 2 单纯形法

2.1单纯形法的基本原理

单纯形法迭代原理： （1） 确定初始可行解

① 当线性规划问题的所有约束条件均为≤号时，松弛变量对应的系数矩阵即为单位矩阵，以松弛变量为基变量可确定基可行解。 ② 对约束条件含≥号或=号时，可构造人工基，人为产生一个m ×m 单位矩阵用大M 法或两阶段法获得初始基可行解。

（2） 最优性检验与解的判别（目标函数极大型）

① 当所有变量对应的检验数均非正时，现有的基可行解即为最优解。若存在某个非基变量的检验数为零时，线性规划问题有无穷多最