函数的傅里叶级数展开

1 [ f ( x + 0) + f ( x 0)] 2
例1 在 [ π , π ] 上展开函数 f ( x ) = x为傅里叶级数。 例2 在 [ π , π ] 上展开函数
c1 ,π < x < 0 f (x) = c2 , 0 < x < π
为傅里叶级数。
例3 在 [0,2π ] 上展开 f ( x ) = x 为傅里叶级数。
b b p →+∞ a
局部性定理 函数 f ( x ) 的傅里叶级数在 x 点的收敛和发 散情况，只和 f ( x ) 在这一点的充分领近区域的值有关。
3、迪尼判别法及其推论 、 迪尼定理（迪尼判别法） 迪尼定理（迪尼判别法） 设能取到适当 s ，使由函 数 f ( x ) 以及 x 点所作出的 (u ) = f ( x + u ) + f ( x u ) 2s 满足条件：对某正数 h ，使在 [0, h] 上， u 为可积 和绝对可积，那么 f ( x ) 的傅里叶级数在 x 点收于 s 。 利普希茨判别法（地理判别法的一个推论） 利普希茨判别法 如果函数 f ( x ) 在 x 点连续，并且对于充分小的正数 在 x 点的利普希茨条件 f ( x ± u ) f ( x ) < Lu (0 < u ≤ h )成 立，其中 L,α 皆是正数，且 α ≤ 1 ，那么 f ( x ) 的傅里 叶级数在 x 点收敛于 f ( x ) ，更一般地，如果对于充 分小的 u 成立
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∫ (k = 1,2L), π π sin kxdx = ∫ sin kxdx = 0,
0 2 0 c + 2π
(1)
利用积化和差的三角公式容易证明
∫c c + 2π sin kx sin lxdx = 0 (k ≠ l ; l = 1,2,L) ∫c c + 2π ∫c cos kx cos lxdx = 0 sin kx cos lxdx = 0
1
π
∫ π f ( x )sin kxdx(k = 0,1,2,L) π
1
π
自然，这些系数也可以 沿别的长度为 2π 的区间来积 分。 以上是在 f ( x ) 已展开为一致收敛的三角级数的假定 下得到系数的表达式的。然而从欧拉-傅里叶公式的形 式上看，只要周期为 2π 的函数 f ( x ) 在区间 [ π , π ]上 可积和绝对可积（如果 f ( x ) 式有界函数，则假定它是 可积的。这时它一定式绝对可积的；如果 f ( x ) 是无界 函数，就假定他是绝对可积，因而也是可积的，这样， 不论在哪一种情形，都是可积和绝对可积了），就可 ak，从而作 , bk 以按欧拉-傅里叶公式来确定所有的数 出三角级数
如果记 a0 = c0 , an ibn = cn , an + ibn = cn (n = 1,2,L) 那么上面 的傅里叶级数就化成一个简洁的形式
c 为复振幅， 这就是傅里叶级数的复数形式，n 为复振幅 cn 与 cn 是一对共轭复数
1 +∞ cn e inωt ∑ 2 n=∞
六、收敛判别法的证明 1、狄利克雷积分 、 为了研究傅里叶级数的收敛性问题，我们必须把傅 里叶级数的部分和表示为一个特定形式的反常积 分 ——狄利克雷积分。 狄利克雷积分。 狄利克雷积分 设 f ( x ) 在 [ π , π ] 上可积和绝对可积，它的傅里叶级数 为 a0 ∞
(2 )
还有
∫
c + 2π
c
cos kxdx = ∫ cos kxdx = ∫
2 2
2π
2π
∫
0 c + 2π c
0
1 + cos 2kx dx =π 2
sin 2 kxdx = π 12 dx = 2π
∫
c + 2π
c
我们考察三角函数系
(3) (k = 1,2,L)
{1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x,L, cos nx, sin nx,L}
α
(u )
u
f ( x ± u ) f ( x ± 0) < Lu α
L, α 同前，那么 f ( x ) 的傅里叶级数在 x 点收敛于
f ( x + 0) + f ( x 0) 2
一个重要推论
' f ( x ) 在 x 点有有限导数 f ( x ) ，或是有两个单 如果
侧的有限导数
f (x + u ) f (x) f ( x ) = lim u →+0 u f (x u ) f (x) f ' ( x ) = lim u →+0 u
2n + 1 sin u 1 π 2 S n [ f ( x )] = ∫ f ( x + u ) du π u π 2 sin 2 2n + 1 sin u 1 π 0 2 = [∫ ∫ ] f (x + u ) du 0 π u π 2 sin 2 2n + 1 sin u 1 π 2 = ∫ [ f ( x + u ) f ( x u )] du 0 u π 2 sin 2
' +
甚至只是有更一般的有限导数
f ( x u ) f ( x + 0) f ( x u ) f ( x 0) lim , lim u →+0 u →+0 u u 那么 f ( x ) 的傅里叶级数在 x 点收敛于 f ( x ) 或 f ( x + 0) + f ( x 0) 2 因为这时对于函数 f ( x ) 在 x 点的 α = 1 的利普希茨条
1 iθ cosθ = (e + e iθ ) 2 i iθ 1 iθ iθ sin θ = (e e ) = (e eiθ ) 2i 2
得
a0 ∞ + ∑ (an cos nωt + bn sin nωt ) 2 n=1
a0 ∞ an ibn inωt an + ibn inωt = + ∑ e + e 2 n=1 2 2
a0 ∞ + ∑ (ak cos kx + bk sin kx ) 2 k =1
我们称这级数是 f ( x ) 关于三角函数系 {1, cos x, sin x,L} 的傅里叶级数，而 ak , bk 称为 f ( x ) 的傅里叶系数 傅里叶系数，记为 傅里叶系数
a0 ∞ f ( x ) ~ + ∑ (ak cos kx + bk sin kx ) 2 k =1
f (x) ~
1
2
π
+ ∑ (ak cos kx + bk sin kx )
k =1
其中
ak = bk =
∫ π f (t )cos ktdt (k = 0,1,2,L) π
∫ π f (t )sin ktdt (k = 0,1,2,L) π
1
π
傅里叶级数的部分和
a0 ∞ S n [ f ( x )] ~ + ∑ (ak cos kx + bk sin kx ) 2 k =1 1 π 1 n = ∫ f (t ) + ∑ (cos kt cos kx + sin kt sin kx ) dt π π 2 k =1 1 π 1 n = ∫ f (t ) + ∑ cos k (t x ) dt π π 2 k =1
∞ 0 k =1 k k
π
= ∫ an cos 2 nxdx = anπ
π
π
即
an =
∫ π f ( x )cos nxdx π
1
π
同样可得
bn =
∫ π f ( x )sin nxdx π
1
π
因此得到欧拉-傅里叶公式
ak = bk =
∫ π f ( x )cos kxdx(k = 0,1,2,L) π
f ( x + x ) f ( x + 0 ) f ( x + x ) f ( x 0 ) lim , lim x→+0 x→0 x x 都存在，则 f ( x ) 的傅里叶级数在 x 点收敛。当 x 是 f ( x )
的连续点时它收敛与 f ( x ) ，当 x 是 f ( x ) 的间断点（一 定是第一类间断点）时收敛于
上面 S n [ f ( x )]的几种积分表达式都称为狄利克雷积分。 狄利克雷积分。 狄利克雷积分
2、黎曼引理 、 黎曼引理 设函数ψ (u ) 在区间 [a, b] 上可积和绝对可积， 那么以下的极限式成立
p →+∞ a
lim
∫ ψ (u )sin pudu = 0, lim ∫ ψ (u )cos pudu = 0
四、收敛判别法 傅里叶级数的收敛判别法。设函数 f ( x ) 在 [ π , π ] 上可 傅里叶级数的收敛判别法 积和绝对可积 ∞
a0 f ( x ) ~ + ∑ (ak cos kx + bk sin kx ) 2 k =1
若 f ( x ) 在 x 点的左右极限 f ( x 0) 和 f ( x + 0) 都存在，并 且两个广义单侧导数
其中每一个函数在长为 2π 的区间上定义，其中任何 两个不同的函数乘积沿区间上的积分等零 (见(1), (2)) ， 而每个函数自身平方的积分非零(见(3)) 。我们称这个 函数系在长为 2π 的区间上具有正交性 具有正交性。 具有正交性
三、傅里叶系数 傅里叶系数 设函数 f ( x ) 已展开为全区间设的一致收敛的三角级 a0 ∞ f ( x ) = + ∑ ak cos kx + bk sin kx 现在利用三角函数 数 2 k =1 系数的正交性来研究系数 a0 , ak , bk (k = 1,2,L) 与 f ( x ) 的 关系。将上述展开式沿区间 [ π , π ] 积分，右边级数可 以逐项积分，由 (1) 得到
§1. 函数的傅里叶级数展开
一.傅里叶级数的引进 傅里叶级数的引进 在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波), 它是形如 Asin (ωt + ) 的波,其中 A 是振幅, ω 是角频率, 是初相位.其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一 系列谐波的叠加表示出来.这就是说,设f (t )是一个周期为T 的波,在一定条件下可以把它写成
由三角公式
2n + 1 1 2 sin + cos + cos 2 + L + cos n = sin 22 2 当 sin ≠ 0 ，有公式 2 2n + 1 sin 1 2 + cos + cos 2 + L + cos n = 2 2 sin 2
当 = 0 时把右边理解为 → 0 时的极限值，值一等式 也就成立。把它应用到 S n [ f ( x )] 的表达式中，得到
f (t ) = A0 + ∑ An sin (nωt + n )
∞
2π n 阶谐波, ω = 其中 An sin (nωt + n ) = an cos nωt + bn sin nωt是 T
n =1
= A0 + ∑ an cos nωt + bn sin nωt
n ∞=1
我们称上式右端的级数是由 f (t ) 数
例4 将 f ( x ) = x 在 [0, π ] 上展开为余弦级数。
例5 将以下函数展开为正弦级数
sin πx ,0 < x < 1 l 2 f (x) = 1 0, < x < l 2
五、傅里叶级数的复数形式 傅里叶级数的 n 阶谐波 an cos nωt + bn sin nωt (n = 1,2,L) 可 以用复数形式表示。由欧拉公式
所确定的傅里叶级 傅里叶级
二. 三角函数的正交性 设 c 是任意实数, [c, c + 2π ] 是长度为 2π 的区间,由于三 角函数 cos kx, sin kx 是周期为 2π 的函数,经过简单计算, c + 2π 2π 有 cos kxdx = cos kxdx = 0,
∫ ∫
c
c+2
c
a0 ∫π f ( x )dx = 2 2π = a0π 1 π a0 = ∫ f ( x )dx
π
即
π
π
又设 n是任一正整数，对 f ( x ) 的展开式两边乘以 cos nx 沿 [ π , π ] 积分，由假定，右边可以逐项积分，由 (1), (2) 和 (3) ，得到
∫ π f ( x )cos nxdx π π a π = ∫ cos nxdx + ∑ (a ∫ cos kx cos nxdx + b ∫ sin kx cos nxdx ) π π 2 π
2n + 1 sin (t x ) 1 π 2 S n [ f ( x )] = ∫ f (t ) dt tx π π 2 sin 2 经过验证知道，被积函数是t 的周期为 2π 的函数，可
以把积分区间换为 [x π , x + π ] ，因此
2n + 1 sin (t x ) 1 x+π 2 S n [ f ( x )] = ∫ f (t ) dt x π tx π 2 sin 2 作代换 t x = u ，得