双曲线与标准方程(带动画)
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a>b>0，a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
小结 ----双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M M
F2
图象
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点 a.b.c 的关
系
x2 a2
y2 b2
即“平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数 的点的轨迹 ”是什么？
画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=2a
②如图(B)， |MF2|-|MF1|=2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？
3 5 4 (1) a=_______ , c =_______Fra Baidu bibliotek, b =_______
(2) 双曲线的标准方程为______________ (3)双曲线上一点Ｐ， |PF1|=10,
则|PF2|=_4_或__1_6____
双曲线的标准方程与椭圆的 标准方程有何区别与联系?
双曲线与椭圆之间的区别与联系
双曲线及其标准方程
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
法拉利主题公园
花瓶
探索研究
1.回顾椭圆的定义？
平面内与两个定点F1、F2的 距离的和等于常数（大于 ｜F1F2｜）的点轨迹叫做椭圆。
Y
O
F1 c, 0
Mx, y
F2 c, 0 X
思考：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距 离之差”，那么动点的轨迹会是怎样的曲线？
椭圆
双曲线
定义 方程
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y2 1(a 0, b 0) a2 b2 y2 x2 1(a 0,b 0) a2 b2
焦点
a.b.c的关 系
F（±c，0） F（0，±c）
cx a2 a (x c)2 y2
F1
(c2 a2 )x2 a2y2 a2(c2 a2)
令c2－a2=b2
x2 a2
y2 b2
1
y
M
o
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
y
焦点在y轴上 y
M
M
F1 O F2 x
F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
(a 0，b 0)并且c2 =a2 b2
形两边之差小于第三边。此时无轨迹。
③常数等于0时
∵若常数2a= |MF1|－|MF2| =0
则|MF1|=|MF2|
F1
F2
此时点的轨迹是线段F1F2的垂直平 M
分线。
3.双曲线的标准方程
1.段建F系1F.2的以如中F何1点,F求2为所这原在优点的美建直的立线曲直为线角X的轴坐方，标程线？ 系
2.设点．设M（x , y）,双曲线的焦
回2.忆双椭曲圆线的定义
等值于平（常面大数平内于面（与︱内小F两1与于F个2两︱︱定个）F点1定F的F2点1︱点，F）的F1，2轨的的F迹距点2的叫离的距做的轨离椭差迹的圆的叫和绝做为对双一值曲个线定.
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
注意 (1)距离之差的绝对值
双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
图象
M
F1 o F2 x
M F2
x
F1
方程 焦点 a.b.c 的关系
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2 (c a, c b, a与b的大小不确定)
| |MF1| - |MF2| | = 2a
F1 o F2
(2)常数要大于0小于|F1F2|
0<2a<2c
①常数等于|F1F2|时
P
Q
M F1
F2
M
||MF1|－|MF2||=|F1F2|时，M点一定在上图中的射线F1P， F2Q 上，此时点的轨迹为两条射线F1P、F2Q。
②常数大于|F1F2 |时 |MF1|－|MF2| >|F1F2| 是不可能的，因为三角
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
F1
3.列式．|MF1| - |MF2|= 2a
y
M
o F2 x
即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a
4.化简.
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
( (x c)2 y2 )2 ( (x c)2 y2 2a)2
思考：如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在X轴上还是Y轴上？
判断：x2
16
y2 9
1与
y2 9
x2
16
1的焦点位置？
结论：看 x2 , y 2前的系数，哪一个为正，则
焦点在哪一个轴上。
例题分析
例1.已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差的 绝对值等于6，则
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
17
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
小结 ----双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M M
F2
图象
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点 a.b.c 的关
系
x2 a2
y2 b2
即“平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数 的点的轨迹 ”是什么？
画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=2a
②如图(B)， |MF2|-|MF1|=2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？
3 5 4 (1) a=_______ , c =_______Fra Baidu bibliotek, b =_______
(2) 双曲线的标准方程为______________ (3)双曲线上一点Ｐ， |PF1|=10,
则|PF2|=_4_或__1_6____
双曲线的标准方程与椭圆的 标准方程有何区别与联系?
双曲线与椭圆之间的区别与联系
双曲线及其标准方程
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
法拉利主题公园
花瓶
探索研究
1.回顾椭圆的定义？
平面内与两个定点F1、F2的 距离的和等于常数（大于 ｜F1F2｜）的点轨迹叫做椭圆。
Y
O
F1 c, 0
Mx, y
F2 c, 0 X
思考：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距 离之差”，那么动点的轨迹会是怎样的曲线？
椭圆
双曲线
定义 方程
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y2 1(a 0, b 0) a2 b2 y2 x2 1(a 0,b 0) a2 b2
焦点
a.b.c的关 系
F（±c，0） F（0，±c）
cx a2 a (x c)2 y2
F1
(c2 a2 )x2 a2y2 a2(c2 a2)
令c2－a2=b2
x2 a2
y2 b2
1
y
M
o
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
y
焦点在y轴上 y
M
M
F1 O F2 x
F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
(a 0，b 0)并且c2 =a2 b2
形两边之差小于第三边。此时无轨迹。
③常数等于0时
∵若常数2a= |MF1|－|MF2| =0
则|MF1|=|MF2|
F1
F2
此时点的轨迹是线段F1F2的垂直平 M
分线。
3.双曲线的标准方程
1.段建F系1F.2的以如中F何1点,F求2为所这原在优点的美建直的立线曲直为线角X的轴坐方，标程线？ 系
2.设点．设M（x , y）,双曲线的焦
回2.忆双椭曲圆线的定义
等值于平（常面大数平内于面（与︱内小F两1与于F个2两︱︱定个）F点1定F的F2点1︱点，F）的F1，2轨的的F迹距点2的叫离的距做的轨离椭差迹的圆的叫和绝做为对双一值曲个线定.
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
注意 (1)距离之差的绝对值
双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
图象
M
F1 o F2 x
M F2
x
F1
方程 焦点 a.b.c 的关系
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2 (c a, c b, a与b的大小不确定)
| |MF1| - |MF2| | = 2a
F1 o F2
(2)常数要大于0小于|F1F2|
0<2a<2c
①常数等于|F1F2|时
P
Q
M F1
F2
M
||MF1|－|MF2||=|F1F2|时，M点一定在上图中的射线F1P， F2Q 上，此时点的轨迹为两条射线F1P、F2Q。
②常数大于|F1F2 |时 |MF1|－|MF2| >|F1F2| 是不可能的，因为三角
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
F1
3.列式．|MF1| - |MF2|= 2a
y
M
o F2 x
即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a
4.化简.
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
( (x c)2 y2 )2 ( (x c)2 y2 2a)2
思考：如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在X轴上还是Y轴上？
判断：x2
16
y2 9
1与
y2 9
x2
16
1的焦点位置？
结论：看 x2 , y 2前的系数，哪一个为正，则
焦点在哪一个轴上。
例题分析
例1.已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差的 绝对值等于6，则
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
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