高中数学不等式归纳讲解

第三章不等式

定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。

3-1 不等式的最基本性质

①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；

②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z；

③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y ＋z；

④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z ＜0，那么xz＜yz;（符号法则）

3-2 不等式的同解原理

①不等式F（x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。|

②如果不等式F（x）＜G（x）的定义域被解析式H（

x ）的定义域所包含，那么不等式F（x）＜G（x）与不等式F （x）＋H（x）＜G（x）＋H（x）同解。

③如果不等式F（x）＜G（x）的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）＞0，那么不等式F(x)＜G（x）与不等式H（x）F（x）＜H（x ）G（x）同解；如果H（x）＜0，那么不等式F（x）＜G（x）与不等式H (x)F（x）＞H（x）G（x）同解。

④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式0)x (G 0)x (F >>或0

)x (G 0

)x (F <<同解

不等式解集表示方式

F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的 F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的

3-3 重要不等式

3-3-1 均值不等式

1、调和平均数：

)a 1

...a 1a 1(n

H n

21n +++=

2、几何平均数：

n

1

n 21n )

a ...a a (G =

]

3、算术平均数：

n

)a a a (A n 21n +++=

4、平方平均数： n

)

a ...a a (Q 2n 2221n +++=

这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qn

a1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号

3-3-1-1均值不等式的变形

(1)对正实数a,b ，有2ab b a 22

≥+ (当且仅当a=b 时

取“=”号)

(2)对非负实数a,b ，有ab 2b a ≥

+

(6)对非负数a,b ，有ab )2

b a (b a 2

2

2

≥+≥+ (7) 若,,a b c R +∈，有a b c ++

≥a b c ==时

成立）

(8)对非负数a,b,c ，有

ac bc ab c b a 2

22++≥++ @

(9)对非负数a,b ， 2b a 2b a ab 22

2b

1a 1+≤+≤≤+

3-3-1-1最值定理

当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值。

均值不等式求最值主要方法：

1.常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变

换，常量代换，三角代换等.2.当使用均值定理时等号不能成立时，应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导数法）.

3-3-2 权方和不等式

m n

3211m n 321m n 1m n

m 31m 3m 21m 2m 11m 1)b ...b b (b )a ...a a a (b a ....b a b a b a ++++++++>+++++++++ a,b,n 为正整数。m 为正数。

3-4绝对值不等式

》

|a +b |≤|a |+|b |

||||||a b a b -≤+

3-5 不等式例题解析

3-5-1 绝对值不等式

1、求2|55|1x x -+<的解

2、右边的常数变为代数式

(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x 形如|()f x |<()g x ，|()f x |>()g x 型不等式

这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：

。

①|()f x |<()g x ⇔－()g x <()f x <()

g x

②|()f x |>()g x ⇔()f x >()g x 或()f x <－()g x 3、两个绝对值不等式

解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. 形如|()f x |<|()g x |型不等式

1）此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：

|()f x |<|()g x |⇔22()()f x g x <⇔[()()][()()]f x g x f x g x +-<0 2）所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。 例题．不等式|x+3|-|2x-1|<2

x +1的解集为 。

解：

|

|x+3|-|2x-1|=⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧

-≤-<<-+≥-)3(4)21

3(24)21(4x x x x x x

4、含参数绝对值不等式

解关于x 的不等式

34422+>+-m m mx x

［解题］原不等式等价于 3|2|+>-m m x

当03>+m 即3->m 时， )3(232+-<-+>-m m x m m x 或 ∴333-<+>m x m x 或