第二章：光波的叠加与分析

第二章：光波的叠加与分析
光在真空中总是独立传播的，从而服从叠加原 理。
光在普通玻璃中，只要不是太强，也服从叠 加原理。
波在其中服从叠加原理的媒质称为“线性媒 质”。此时，对于非相干光波：
N
I (P) Ii (P) i 1
即N列非相干光波的强度满足线性迭加关系。
第二章：光波的叠加与分析
成振幅加倍。
当 20 10 时，两个波处处时时完全抵消，
和振幅为零，合成波不再存在。
20 1为0 其它值时，振幅介于2E10与零之间。
在相同条件下，得到相同结论。
§2-1 两个频率相同、振动方向相同的单 色光波的迭加
三、相幅矢量加法：
相幅矢量：长度代表振动的振幅大小，它 与ox轴的夹角等于该振动的位相角。
一、代数加法：
设两个频率相同、振动方向相同的单色光
波分别发自光源S1、S2，P点是两光波相遇 区域内的任意一点，P到S1和S2的距离分别 为r1和r2且其初位相为零。当两原光波都沿 同一条直线传播时，则两光波各自在P点产
生的光振动可以写为：
E1 a1 cos(k r1 t)
r1 r2
频率、振幅和位相都不相同的光波的叠加， 情形很复杂。
本章只限于讨论频率相同或频率相差很小的 单色光波的叠加，这种情况下可以写出结果 的数学表达式。
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本章所讨论内容的理论基础： 一、波的独立传播定律： 两列光波在空间交迭时，它的传播互不
干扰,亦即每列波如何传播，就像另一列 波完全不存在一样各自独立进行.此即波 的独立传播定律。 必须注意的是：此定律并不是普遍成立 的，例，光通过变色玻璃时是不服从独 立传播定律的。
§2-1 两个频率相同、振动方向 相同的单色光波的迭加
δ = α 2 -α 1是两光波在P点的位相差.此式 表明在P点叠加后的光强度决定于位相差。

显然，由 当δ =±2mπ
(Im=4I00 、cos12(、2 22…1 )
4I0 cos
)时，
2

2
P点光强最大 ；I=4I0 当δ =±2（m+1/2) π(m=0、1、2… )时，
第二章：光波的叠加与分析
二、波的叠加原理：
当两列(或多列)波在同一空间传播时， 空间各点都参与每列波在该点引起的振 动。若波的独立传播定律成立，则当两 列(或多列)波同时存在时，在它们的交迭 区域内每点的振动是各列波单独在该点 产生振动的合成.此即波的迭加原理。
与独立传播定律相同，叠加原理适用性 也是有条件的。这条件,一是媒质,二是波 的强度。
A：合成波振幅不是常数，与各点坐标有关，
当
kz 20 10 mm=0、1、 2
2
的位置上振幅最大，为2E10。
当 kz 20 10 (m 1 ) m=0、1、 2
的位置上振2幅为零。 2
§2-2驻波
B：合成波上任意点的振动位相都相同， 即波的位相与z无关。亦即不存在位相的 传播问题，故把这种波叫做驻波。反之 称为行波。
§2-1 两个频率相同、振动方向 相同的单色光波的迭加
[E10 exp(i10) E20 exp(i20)] E0 exp i0
其中
E120 E220 2E10E20 cos(20 10 ) E02
tg 0

E10 sin 10 E10 cos10
E20 sin 20 E20 cos 20
进一步：若两个单色光波在P点振幅相等。
即a1=a2=a 则P点的合振幅：
A2
I
a12
a22 4I0
2a1a2 cos(2 1) 4a2 cos
cos2 ( 2
1
2
)

4I0
2 (2
2 cos 2
1 )

2

4a2
cos2

2
I0 a2
2 1
合成波为：
E(z, t) [E10 exp(i10) E20 exp(i20)]exp[i(kz t)] E0 exp[i(kz t)]
这个波仍然是一个平面简谐波，波的复振幅 可以分成两部分，其中与z有关的部分与原光 波一样，时间（圆）频率也与原光波相同。 并且其它空间、时间参量和位相速度也都没 有变化。所不同的只是合成波有自己的振幅 和初位相。
相差有密切关系。
2
§2-1 两个频率相同、振动方向 相同的单色光波的迭加
E(
z,t)

2E10
exp[
i(10
2
20
)
] cos( 20
2
10
)
exp[i(kz

t)]
E0 exp(i0 ) exp[i(kz t)]
当 20 10 时，两个波处处时时完全相加，合
二、复数方法： 仍考虑两束同向传播的平面波的叠加问题：
原光波的波函数可以分别写成 ：
E1 E10 exp[i(kz t 10 )]
E2 E20 exp[i(kz t 20 )]
§2-1 两个频率相同、振动方向相同的 单色光波的迭加
式中z是两原光波传播方向上的坐标，
a1 cos1 a2 cos2 Acos
即
a1 sin 1 a2 sin 2 Asin
A
a2 a1
α2
A2 a12 a22 2a1a2 cos(2 1)
α1 α
tg a1 sin 1 a2 sin 2
P点的合振动为a1 co：s1 a2 cos2
利用相幅矢量的概念，通过简单的矢量求 和运算，也可以得到与前相同的结论。
A2 a12 a22 2a1a2 cos(2 1)
tg a1 sin 1 a2 sin 2 a1 cos1 a2 cos 2
a2 a
o
a1
x
α2 α α1
§2-2驻波——两个频率相同、振动方向
i
如果，E10=E20 则有
0

10
20
2
E0

2E10

cos(
20
10 )
2
E0
E20 20
0
E10
R
10
§2-1 两个频率相同、振动方向相同的 单色光波的迭加
E(z, t) [E10 exp(i10 ) E20 exp(i20 )]exp[i(kz t)]
对于相干光波 ：
~
N ~
E(P) Ei (P)
i 1
即N列相干光波的振幅满足线性迭加关系。
波在其中不服从迭加原理的媒质称为“非 线性媒质”。
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§2-1 两个频率、振动方向、传播方向 相同的单色光波的迭加
§2-1 两个频率相同、振动方向 相同的单色光波的迭加

或式：中为2光(r源2 在r1)介质中的波长，

0
0为真空中的波长，n为介质折射率 . n
§2-1 两个频率相同、振动方向
相同的单色光波的迭加
这样


2 0
n(r2
r1)
式中n(r2–r1)是光程差,以后用符号△表示。
光程:光波在某一介质中所通过的几何路程
相同而传播方向相反的单色波的叠加
两个频率相同、振动方向相同而传播方向相反 的单色波产生驻波：
一、驻波源自文库波函数：
两束反向传播的原光波的波函数：
EE12

E10 exp[i(kz t E20 exp[i(kz t
10 )] 20
)]
设定E10=E20 ，则合成波为：
E Acos cost Asin sin t Acos( t)
§2-1 两个频率相同、振动方向 相同的单色光波的迭加
E Acos cost Asin sin t Acos( t)
可见：P点的振动也是一个简谐振动，振动
频率和振动方向都与两单色光波相同，而 振幅A和初位相分别由上两式决定。
为 /2，（ k z z ） 若考虑反射面是z=0平面2，z的方向指向入射
波 的所折在射介率质为n，2，介且质n折2﹥射n率1，为则n有1；反20射面10 后 介质 (在垂直入射时有 的位相跃变)则有书上的结
果。
y
0
λ
2λ
z
n2
λ/2 n1<n2
3λ/2
P点光强最小;I=0

δ 介于上两者之间时, 间。
P点光强在0
~
4I0之
§2-1 两个频率相同、振动方向 相同的单色光波的迭加
从前面假定条件知,我们很容易把位相差表

示 由故为于：P：点1到2 光k源1的rk1 距(r离22rr11)之k r2r差2 ：
) r2
a2


a2 cos(k
cos(2
r2
t)

t
)
展开上式：

E (a1 cos1 a2 cos1) cost (a1 sin 1 a2 sin 2 ) sin t
§2-1 两个频率相同、振动方向
相同的单色光波的迭加
E令(a：1 cos1 a2 cos1) cost (a1 sin 1 a2 sin 2 )sin t

E0
exp[i(10
20
2
)] exp[ i(k z
t)]
E(z,
t
)

2E10
exp[
i(10
2
20
)
]
cos(20
2
10
)
exp[i(kz

t
)]
E0 exp(i0 ) exp[i(kz t)]
合成波的初位相等于原光波初位相的平均值；
合成波的振幅为2E10cos( 20 10 )与原光波的位
由于驻波不仅与z有关，而且还与两原光 波的初位相差有关。因此，尽管我们只 能测量驻波在各个点的振幅（或强度）， 也仍有可能从中获得关于两原光波的初 位相差的信息。这正是驻波现象最有用 的地方。
§2-2驻波
振幅为零的点称为驻波的波节，两波节间距
为 /2，（k z z ） 振幅最大的点称为驻波的2波腹，两波腹间距
E2 a2 cos(k r2 t)
K
K
S1
S2
P
§2-1 两个频率相同、振动方向 相同的单色光波的迭加
式中a1和a2分别为两光波在P点的振幅，
由叠加原理:在P点处的合振动为：
E

E1 E2
令 则：有：E1

ka1cro1s(k2r1kt a1 cos(1 t)
5λ/2
§2-2驻波
二、维纳(o.wiener)驻波实验：
第二章：光波的叠加 与分析
第二章：光波的叠加与分析
教学要求： 1.学会用振幅矢量图解法来表示光波的电
振动，并能熟练地用来解决同频率、振动 方向相同的几束光波的叠加问题； 2.掌握光驻波的特点和规律，理解维纳实 验的意义； 3.彻底掌握两个频率相同、有一定位相关 系、振动方向互相垂直的简谐振动叠加规 律；
E(z,
t
)

2E10
cos(kz

20
2
10
)
exp[
i(10
2
20
)
] exp[ it )]
§2-2驻波
E
(
z,
t
)

2E10
cos(kz


20
2
10
)
exp[
i(10
2

20
)
]
exp[
it
)]
此式表明：合成波上任意一点都作圆频率
为 的简谐振动。但：
和这介质的折射率的乘积。
从上式中看出:光程差与相位差相对应。
∆= n(r2–r1)=±λ0 (m=0、1、2… ) 时 P点光强最大。
∆= n(r2–r1)=±2（m+1/2 ) λ0 (m=0、1、2… ) P点光强最小。
§2-1 两个频率相同、振动方向 相同的单色光波的迭加
干涉:在叠加区域出现的光强度稳定的强弱分 布现象称为光的干涉，把产生干涉的光波称 为相干光波，把光源称为相干光源 。
第二章：光波的叠加与分析
4.掌握光波的三类偏振态； 5.理解光学拍现象，牢固掌握群速度和相速
度的概念； 6.理解光波单色性的意义并掌握描述光波的
单色性的方法，了解光波的分析方法。
第二章：光波的叠加与分析
二、本章概述：
由于任何复杂的光波都可以分解为一组由余 弦函数和正弦函数表示的单色光波，因此讨 论两个（或多个）光波在空间某一区域相遇 时，所发生的光波的叠加问题是研究干涉、 衍射、偏振等现象的共同基础。