03磁场中的高斯定理-安培环路定理讲解

S
7
例1、如图 矩形线圈与载流无限长直导线共面，直导 线电流为I,求线圈的磁通量。 解：选距离电流r处，宽度为dr ,平 行于直导线的面积元 ds=ldr I
a
b

B
0 I dm Bldr ldr 2r a b 0 I m ldr 2r a
l
r
8
0 Il a b ln( ) 2 a
3
直线电流的磁感应线
磁感应线为一组环 绕电流的闭合曲线。
4
圆电流的磁感应线
I
5
通电螺线管的磁感应线
磁感应线的特点：
（1） 磁感应线是连续的，不会相交。 （2） 磁感应线是围绕电流的一组闭合曲线，没有 起点，没有终点。 （3）磁感线密处 B 大；磁感线疏处 B 小。 6
1.穿过一面积元dS的磁通量
得距电流垂直距离为r处的一点磁感应 强度的大小
r
L
0 I B 2r
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问题：能否用安培环路定理求有限长直线电流的B？
设ab为闭合电流 I 中的一段直线电流， 长为 2R。取半径 为R 、圆心为 ab 的中点o、 且垂直于 ab 的圆为回路 L。 有人用安培环路定理求 L 上各点的 B: a 2R
I
0 R L

L
B d l 0 I
B Biblioteka B2 π R 0 I 0 I
2π R
b
对不对？ 【答】不对。
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检验：用毕－萨定理＋叠加原理，可得
a
I
2
2R b
R
L
1


L
Bdl
4πr 0 I 0 I 0 0 P 4 π r cos45 cos135 4 π r 2 B的方向与圆周相切（右手定则）。 所以正确的环流应为：
I4 I3 I2
I1
L
I2
I1
I3
练习：求左图中环路 L的环流 B dl 。
L

L
B d l 0 ( I1 2 I 2 )
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定理说明：
特例：以无限长载流直导线为例。
长直导线周围的B 线为一系列的 同心圆，选取路径方向与 B 线相同；
B
左边: B d l
目的是将:
利用安培环路定理计算磁场 B,要求磁场具有高度的对称性;
L B d l 0 I
写成: 则 B
LBdl cos B dl 0
I
0 I
dl
要求环路上各点 B 大小相等，B 的方向与环路方向一致，
B // dl , cos 1 或
环路要经过所研究的场点。
11.3 磁场的高斯定理
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一. 磁感应线 磁感应线（B线）：
（1） 磁感应线上任一点的切线方向 都与该点的磁感应强度B的方向一致。 （2） 垂直通过单位面积的磁感应线条数等于该处 磁感应强度B 的大小。
B
d m B dS
d m
dS
B
2
磁感应强度大小为磁感线的面密度。
条形磁铁周围的磁感应线
L
I
r
L
L Bdl cos
由于环路上各点的 B 大小相等； 且 B // dl ；θ=0
0 I B dl 2r 0 I 2r L
I 向下时为负值。
定理成立。
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右边： 0 I 0 I
左边=右边
当环路为任意形状时：
I
d
θ
B d l Bdl cos
B dl , cos 0
解题方法：
1.场对称性分析； 3.确定环路内电流的代数和 I 4.应用环路定理列方程求解。 2.选取环路； ；
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例2：利用安培环路定律计算载流无限长直导线外一点 的磁感应强度。
解：以电流为轴，做半径为 r 的环路
B d l B dl 0 I B 2r 0 I
二. 磁通量
dS
n
BdS cos BdS
与磁感线的式子比较，磁通量 的数值就等于磁感线的条数 2.穿过某一曲面S的磁通量
S S
dm B dS

dS

B
enB
m B dS B cos dS
dS

单位： 韦伯（Wb） φm为标量，只有大小正负之分。其 数值等于通过该曲面的磁感线的条数。
L L
由于 Bdl cos Brd
0 I rd I 0 2r 0
当电流不在环路内时 0 I a点 B dl d 2 0 I d b 点 B dl 2
2
r
dl B
L
B d l 0
L
I
d
b
a
L
B dl 0 Ii
L
注意：
1. 安培环路定理表达式中的电流I是指闭合曲线所包 围，并穿过的电流，不包括闭合曲线以外的电流。 2. 安培环路定理表达式中的磁感应强度B是闭合曲线 内外所有电流产生的磁感应强度。
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3. 环路定理只适用于闭合电流或无限电流.有限电流 不适用环路定理，只能用毕奥—萨伐尔定律。 4. 电流的符号规定： 当电流方向与积分路径 的绕行方向构成右手螺旋关 系时电流为正，反之为负。
S
在磁场中通过任意闭合曲面的磁感应强度通量等于零。 2.定理证明： 由于磁感线为闭合曲线，穿入穿出 闭合面的磁感线根数相同，正负通 量抵消。 磁场是无源场，磁感线为闭合曲线， 磁场是涡旋场。
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11.4 磁场的安培环路 定理及应用
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一. 安培环路定理
在真空中恒定电流的磁场中，磁感应强度沿任意闭 合路径 L 的线积分等于被此闭合路径所包围并穿过的电 流的代数和的 0 倍，而与路径的形状和大小无关。
3.穿过闭合曲面S的磁通量
m d m B dS
/2 n
规定闭合面的外法线方向为正 磁感线穿出闭合面时

0

2
B
n

,
通量为正。
磁感线穿入闭合面

2
,
B
通量为负。
0 /2
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三. 磁场中的高斯定理
1.定理表述
S
B dS B cos d 0
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当空间有多个无限长直电流时，利用磁场的叠加原理：
B d l ( B j ) dl
L L j
将积分与求和号交换
B j dl 0
j L
I
i
i
i表示环路内的电流。
由此可得：

L
B d l 0 I
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三、环路定理的应用