贝塞尔函数 柱函数

，令 m 1
则
d dx
[ x m1J m1 ( x)]
xm1Jm (x)
两边积分，故得到
xm1Jm1(x)
x 0
x m1J m
( x)dx
其中取 m 1 ，即为（22.3.18）式。
20.3.2 贝塞尔函数与本征问题
拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量，得到了方程(14.6.7) 即
d2R
( x ) 2k 1) 2
式中 (x) 是伽马函数．满足关系
（20.2.1）
( k 1) ( k)( k 1)L ( 2)( 1)( 1)
当 为正整数或零时， ( k 1) ( k)!
当 取整数时 ( k 1) ,(k 0,1, 2,, 1)
所以当 n 整数时，上述的级数实际上是从 k n
将 (20.3.7)与（20.3.8）相加或相减消去 Z 1 或 Z 1 分别得到
Z
(
x)
x
Z
(
x)
Z
1
(
x)
(20.3.9)
Z
1
(
x)
x
Z
(
x)
Z
(
x)
（20.3.10）
将(20.3.9) 式中的 换成 1，得到
Z
(x)
Z1 ( x)
1 x Z
1 ( x)
（20.3.11）
将 （20.3.10）代入上式，立即得到 Z (x) 满足 阶贝塞尔方程．
Jm (k 0 ) 0 则
J m ( x) 0 就是决定本征值的方程.
若用
x(m) n
表征 Jm (x) 0
的第
n
个正根，于是本征值
(m) n
(m) n
[kn(m) ]2
[
x(m) n
]2
0
(n 1, 2,3,L )
(20.3.26)
施－刘型本征值问题的结论
(1) 本征值存在，且都是非负的实数；
1
2
U
k 2U
0
U |l 0
（20.1.2） （20.1.3）
再令 U (,) R()() ，得到
2 0 (20.1.4)
2R R (k 22 2)R 0 （20.1.5）
令 k x, R() y(x) 于是(20.1.5)得到
x2 d2 y x dy (x2 2 ) y 0 （20.1.6）
Z
v x
Zv
(x)
Z v 1 ( x)
(20.3.6)
从(20.3.5)和(20.3.6)消去 Z 或消去 Z 可得
Zv1(x) Zv1(x) 2Zv (x)
Zv 1 ( x)
Zv 1 ( x)
2v x
Zv
(x)
即为从 Zv1(x) 和 Zv (x) 推算 Zv1 (x) 的递推公式.
上式也可以写成为
（4）
的零点与
的零点是彼此相间分布的，即
的任意两个相邻零点之间必有且仅有一个
的零点
（5）以
表示
的第n个正零点，则
，即
几乎是以
为周期的周期函数．
(6)零点还可以用下面的公式计算
其中
2.第二类齐次边界条件
这个条件就是
（20.3.30）
对于
，则本征值
(20.3.31)
其中
是
的第 个零点.
的零点在一般的数学用表中并未列出.
dx2 dx
边界条件为
y(k) |l y(kl) 0
方程（20.1.6）称为
阶贝塞尔微分方程．这里
x 和
可以为任意数．
20.1.2 贝塞尔方程的解
通过数学物理方程的幂级数求解方法可以得出结论：
（1）当 整数时，贝塞尔方程(20.1.6)的通解为
y(x) AJ (x) BJ (x) （20.1.7）
J
0
(
x)dx]
xJ1
(
x)
2J0
(
x)
c
例 20.3.3 证明下式成立
x 0
xm1Jm
(x)dx
x m1J m1 ( x)
(20.3.17)
特别是
x 0
x2J1(
x)dx
x2J2
(
x)
(20.3.18)
【证明】利用递推公式(20.3.2) 即
d dx
[
xvJv
( x)]
x v J v 1 (
x)
例 20.3.2 求 xJ2 (x)dx
【解】 根据公式 (20.3.8)
Zv1(x) Zv1(x) 2Z (x)有
J2(x) J0(x) 2J1(x)
xJ2(x)dx xJ0(x)dx 2 xJ1(x)dx xJ1(x) 2[xJ1(x) J1(x)dx]
xJ1(x) 2[xJ1(x)
(x ) （20.3.21）
即为 阶贝塞尔(Bessel)方程．
（３） 0 ．记 k 2 0 ，以
代入，并作代换 x k
则方程化为
k2
x2 d2R x dR x2 2 R 0 dx2 dx
(20.3.22)
这叫作虚宗量贝塞尔方程．如把贝塞尔方程（20.3.22）的宗量
(x) x, k 2
x
故施－刘型本征值问题的结论对于贝塞尔方程的本征值问题也 成立．
贝塞尔方程(20.3.24)的通解为
R() AJm ( ) BNm ( )
(20.3.25)
代入边界条件决定本征值及本征函数．因为
R(0) M 故 B 0
又 R(0 ) 0 ，要 A 0，则必须
2
J
1 2
(
x)
cos x πx
20.3 贝塞尔函数的基本性质
20.3.1 贝塞尔函数的递推公式
由贝塞尔函数的级数表达式（20.2.1）容易推出
d dx
[
J (x) x
]
J
v
1 ( xv
x)
d dx
[xvJv
( x)]
x v J v 1 ( x)
(20.3.1) (20.3.2)
以上两式都是贝塞尔函数的线性关系式. 诺伊曼函数 Nv(x)
第二十章 贝塞尔函数 柱函数
在用分离变量法一章介绍了拉普拉斯方程在柱坐标系下
分离变量得到了一种特殊类型的常微分方程:贝塞尔方程．
通过幂级数解法得到了另一类特殊函数，称为贝塞尔函 数．
贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主
要是引用贝塞尔函数的正交完备性．
20.1 贝塞尔方程及其解
20.1.1 贝塞尔方程
其中 A, B 为任意常数，J (x) 定义为 阶第一类贝塞尔函数
但是当 n 整数时，有 Jn (x) (1)n Jn (x) 故上述解中的 Jn (x)
与 Jn (x) 是线性相关的，所以(20.1.7)成为通解必须是
整数.
（2）当 取任意值时：
定义第二类贝塞尔函数 N (x) ，这样贝塞尔方程的通解可表示为
x 改成虚数 ix ，就 成了方程（20.3.21）
贝塞尔方程本征值问题（即本征值 0 的情况）：
1. 第一类边界条件的贝塞尔方程本征值问题
1
d [ dR] (k 2 2 )R() 0
d d
2
R(0 ) 0 | R(0) | M
(0 0)
(20.3.23)
根据圆柱的周期性边界条件 () (2π+)
L
当x很小时 (x 0，) 保留级数中前几项，可得
J
(x)
( x) 2
1,
( 1)
( 1, 2, 3,)
（20.2.7）
特别是 J0 (0) 1, Jn (0) 0 (n=1,2,3, ) (20.2.8)
当x很大时 J (x)
2
cos(x
π
π
)
o(x
3
2（) 20.2.9）
πx
42
例20.2.1 试证半奇阶贝塞尔函数
(2) 本征值可编成单调递增的序列
本征值 1 2 L n L
即
(
x(m) 1
)2
(
x(m) 2
)2
L
(
x(m) n
)2
L
(20.3.27)
0
0
0
本征函数
(20.3.28)
（3）对于每一个本征值
有一个相应的本征函数
且本征函数 在
区间上有
个零点
Jm1( x)
即
若在区间
，则贝塞尔函数有无穷个零点．
称为第一种和第二种汉克尔函数．
于是贝塞尔方程的通解又可以表示为
y(x AH(1) (x) BH(2) (x)
（20.1.10）
最后，总结 阶贝塞尔方程的通解通常有下列三种形式：
（i） y(x) AJ (x) BJ (x) ( 整数）
（ii） y(x) AJ (x) BN (x) ( 可以取任意数）
d 2
1
dR
d
(
2 2
)R
0
（20.3.19）
在自然周期边界条件下， m 取整数，其它情况下
可取任意复数
对另一本征值 分三种情况： 0 ， 0 和 0进行讨论：
（１） 0
．方程（20.3.19）是欧拉方程；
（２） 0 ．作代换 x ，则得到
x2 d2R x dR x2 2 R 0 dx2 dx
v Zv1(x) Zv1(x) 2 x Zv (x)
Zv1(x) Zv1(x) 2Z (x)
（20.3.7） （20.3.8）
任一满足一组递推关系的函数 Zv (x) 统称为柱函数
例20.3.1 证明柱函数满足贝塞尔方程
【证明】 以满足 （20.3.7）和 （20.3.8）这一组递推公式来进行证明：
所以本征值
，其中
是方程（20.3.33）的第N个根
20.3.3贝塞尔函数正交性和模
1．正交性
对应不同本征值的本征函数分别满足
Jm (ki(jm))
(20.3.34) （20.3.33）
，则方程（20.3.23）中的 m 0,1, 2,3,L
上述方程(20.3.23)可进一步化为施—刘型本征值问题的形式
d
d
[
dR
d
]
(
m2
)R
k
2
R(
)
0
R(0) 0 | R(0) | M
(0 0)
(20.3.24)
相应于施－刘型方程中的
m2 k(x) x, q(x) ,
2
J 1 (x)
2
sin x πx
证明：由公式(20.2.1)有
12k
J1 (x) 2
(1)k
k 0
21 2
2
k
x2 k !( 1
k
1)
2
而
故
J1 (x)
2
(3 k) 135L (2k 1) π
2
2k 1
2 (1)k x2k1 2 sin x
πx k0 (2k 1)!
πx
同理可证
y(x) AJ (x) BN (x) （20.1.8）
(3) 当 取任意值时：
由第一、二类贝塞尔函数还可以构成线性独立的
第三类贝塞尔函数 H (x) ，又称为汉克尔函数．
HH((12))
(x) (x)
J J
(x) (x)
iN iN
(x) (x)
（20.1.9）
分别将
H(1)
,
H(2)
（iii） y(x) AH(1) (x) BH(2) (x) ( 可以取任意数）
20.2 三类贝塞尔函数的表示式及性质
20.2.1 第一类贝塞尔函数的表示式
第一类贝塞尔函数 J (x)的级数表示式为
J (x)
(1)k
k 0
1
k !( k
1)
( x ) 2k 2
J
(x)
(1)k
k 0
1
k !( k
（20.1.1）
其中 l 为已知正数，(x, y), (x, y) 为已知函数．
这个定解问题宜于使用柱坐标，从而构成柱面问题．
（由于是二维问题，即退化为极坐标）
设 u(x, y,t) u(,,t) T(t)U(,)
对泛定方程分离变量（取 k 2 ）得
T k 2a2T 0
U
1
U
和汉克尔函数也应该满足上述递推关系
v 若用 Zv (x) 代表
阶的第一或第二或第三类函数,总是有
d dx
[xv
Zv
(
x)]
xv
Zv1
(
x)
(20.3.3)
d dx
[
x
v
Z
v
(
x)]
xv
Zv1
(
x)
(20.3.4)
把两式左端展开, 又可改写为
Z (x)
v x
Zv (x)
Zv1( x)
(20.3.5)
不过，
的特例还是容易得到的：
由公式(20.3.12)得到
这样，
的零点不过就是
的零点，可从许多数学用表中查出．
至于
的情况,
可以利用递推公式(20.3.8)
的零点
这样
的零点可从曲线
和
的交点得出．
对于
的情况,
还可以用下面的公式计算：
＝
其中
的零点
(3) 第三类齐次边界条件
这个条件就是
记 并引用（20.3.5）可将上式改写为
拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量得出了一般的 贝塞尔方程。
考虑固定边界的圆膜振动，可以归结为下述定解问题
uutt
a2 (uxx | x2 y2 l2
0
u
yy
)
u(x, y,t) |t0 (x, y)
ut (x, y,t) |t0 (x, y)
(0 x2 y2 l 2, t 0) (t 0)
的项开始，即
Jn (x)
k 0
(1)k
1 k !(n
( x)n2k , k)! 2
而
(n 0) (20.2.2)
Jn (x)
k n
(1)k
1 k !(n
k
( x)n2k 1) 2
(1)n (1)l
1
( x )n2l ,
l0
l!(n l 1) 2
(20.2.3)
(l k n)
所以 Jn (x) (1)n Jn ( x) （20.2.4）
同理可证
Jn (x) Jn (x)
（20.2.5）
因此有重要关系
Jn (x) (1)n Jn(x)
可得几个典型的贝塞尔函数表示式
（20.2.6）
J0 (x)
1
( x)2 2
1 )2
( x)6 2
L
J1 ( x)
x 2
1 ( x)3 2! 2
1 ( x)5 2!3! 2