线性代数第四章课件,数学

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证 因为R(A)=r<n, 所以A中至少有 一个r阶子式不为零,不妨设A中位于左上 角的r阶子式不为零,按照与推导定理 4.2.1同样的方法,方程组有无穷多解,并 且
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x1 x 2 xr x r +1 x n
= c1,r +1 x r +1 = c 2,r +1 x r +1
4.3.2非齐次线性方程组解的结构 4.3.2 设n元非齐次线性方程组 AX = b （4.3.3） 其中A=(aij)m×n为系数矩阵, X = (x1, x2, … ,xn)T , b = (b1,b2, …,bn)T. 在(4.3.3)中,令b=0,得到的齐次方程组 AX=0称为方程组(4.3.3)的导出组,或称为方 程组(4.3.3)的对应齐次线性方程组.
k1 c1, r +1 c1, r + 2 c1n k 2 c 2 , r +1 c2 ,r + 2 c2 n M M M M k r c r , r +1 cr ,r + 2 c rn k = k r +1 + 0 k r + 2 + L + 0 k n r +1 1 kr+2 0 1 0 M M M M 0 1 k 0 n
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关于非齐次线性方程组解的结构,我 们有如下定理 定理4.3.2 设非齐次线性方程组AX=b 满足 R( A) = R( A ) = r < n ,X0是它的一个解向 量,a1,a2, …,an-r是它的导出组AX=0的一个 a AX=0
α 1 , α 2 , L, α n− r
那么AX=0的通解（或全部解）为
k1α 1 + k 2α 2 + L k n − r α n − r
其中k1,k2,…,kn-r为任意常数.
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若齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A
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的秩R(A)=n,则它的解空间M={0},这 时,dim M=0,因为空间{0}没有基,故AX=0 没有基础解系.
即
α = k r +1α1 + k r + 2α 2 + L + k nα n − r
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这意味着方程组的任意解向量 a 均可由 a1,a2,…,an-r线性表出.于是我们证明了,当 R(A)=r<n 时,方程组(4.3.1)存在基础解系, 它的基础解系中含有n-r个解向量. 证毕. 由定理4.3.1,若n元齐次线性方程组 AX=0的系数矩阵A的秩R(A)=r<n,则它的 解空间M={X|AX=0}是n-r维向量空间,即 dim M=n-r,它的任意n-r个线性无关的解 向量都是它的基,因此,它的任意n-r个线 性无关的解向量都是它的基础解系.由此 可知,如果齐次线性方程组AX=0的基础解 系为
的一个基础解系, 并写出解的结构. 解 对系数矩阵A作行初等行变换,化 为最简阶梯形.
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1 −1 5 −1 1 1 1 −2 3 0 A= → 3 −1 8 1 0 1 3 −9 7 0 1 − 1 5 − 1 1 2 −7 4 → → 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
设A为m×n矩阵, B为n×k
矩阵. 若AB=0,证明 R(A)+R(B)≤n. 证 设B=(B1,B2,…,Bk) 由AB = 0,则
AB = A(B1 , B2 , L, Bk ) = ( AB1 , AB2 , L, ABk ) = 0
，
即
AB1 = 0, AB2 = 0, L , ABk = 0
，
从而B的列向量B1,B2,…,Bk均为齐次线性方 程组AX=0的解向量.
若R(A)=r<n, 则方程组AX=0有基础解 系a1, a2, …, an-r,于是B1, B2,…, Bk都可由a1, a2,…,an-r线性表出,由定理3.3.2
R{B1 , B2 , L , Bk } ≤ R{α 1 , α 2 ,L , α n − r }.
−1 2 2 4
0 1 0 0
−1 −7 4 −7 4 −14 8 3 1 2 7 − 2 2 0 0 0 0 5
，
原方程组的同解方程组为
3 + x3 + x4 = 0, x1 2 7 x2 − x3 + 2 x4 = 0. 2
因R(A)=2,方程组有基础解系,其中含 有n-R(A)=4-2=2个线性无关的解向量.取 x3 1 0 x3,x4为自由未知量,分别令 x = 0 , 1 ,得
我们先介绍非齐次线性方程组解的一 些性质： 性质1 设X1,X2是非齐次线性方程组 AX=b的任意两个解向量，则X1-X2是其导 出组AX=0的解向量. 事实上, A( X 1 − X 2 ) = AX 1 − AX 2 = b − b = 0 性质2 非齐次线性方程组AX=b的某 一个解向量X0与其导出组的任意一个解向 量a之和仍为AX=b的解向量. 事实上，A( X 0 + α ) = AX 0 + Aα = b + 0 = b
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（4.3.2）
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逐次取自由未知量 ( xr+1, xr+2 ,…,xn ) 为 (1,0,0, …,0),(0,1,0, …,0),…, (0,0,0, …,1) 则得
c1,r +1 c1,r + 2 c1n c 2,r +1 c 2,r + 2 c2n M M M c r ,r +1 cr ,r + 2 c rn α1 = , α 2 = 0 , L, α n −r = 0 1 0 1 0 M M M 0 0 1
R(B ) ≤ n − r = n − R( A),
即 所以
R ( A) + R ( B ) ≤ n
若R(A) = n,则AX = 0只有零解,此时B1 =…= Bk= 0,即B=0,从而R(B)=0,结论依然 成立.
例4.3.3 设A是 m×n 阶实矩阵,证明: R(ATA)=R(A). 证. 作齐次线性方程组 AX=0 或 ATAX=0
2 2 2
，
由于a1,a2,…,am都是实数，所以
，
a1 = a2 = L = am = 0
即
AX 0 = 0
因此 X0 也是 AX =0 的解.
于是AX=0与ATAX=0同解,由于同解线 性方程组的基础解系中含有相同个数的解 向量,所以
R( A) = R( A A)
T
由上面的两个例子可以看出,把矩阵 的求秩问题转化成线性方程组来讨论是十 分方便的.
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其中X=(x1,x2,…,xn)T. 显然,AX=0的解 必定是ATAX=0的解. 反之,若X0是ATAX=0的解,则
AT AX 0 = 0
，
从而
X 0 A AX 0 = 0
T T
即
( AX 0 )T ( AX 0 ) = 0
设 AX0=(a1,a2,…,am)T,由上式
a1 + a2 + L + am = 0
，
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定义4.3.1 设a1,a2,…,ak是齐次线性方 程组(4.3.1)的一组解向量, 并且 （1） a1,a2,…,ak 线性无关；
，
（2）方程组(4.3.1)的任意一个解向量
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均可由a1,a2,…,ak线性表出. 则称a1,a2,…,ak是齐次方程组(4.3.1)的一个 基础解系.
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由定义可知,基础解系是齐次线性方 程组 AX=0 解向量集的极大线性无关组, 是它的解空间的一组基.因为一个向量组 的极大线性无关组不唯一,同一向量组的 不同极大线性无关组所含向量个数相同, 所以齐次线性方程组 AX=0 的基础解系不 唯一,但所含向量个数是唯一确定的. 定理4.3.1 如果齐次线性方程组AX=0 的系数矩阵A的秩R(A)=r<n,则方程组有基 础解系,并且任一基础解系中含有n-r个解 向量.
，
，
此即为方程组的n-r个解向量.
下面证明a1,a2,…,an-r是方程组的一个 基础解系. 首先它可以看成是在n-r个n-r维基本 单位向量(1,0,…,0),(0,1,…,0), …, (0,0,…,1)
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中的每个向量上添加r个分量而得到的, 所以a1,a2,…,an-r线性无关.
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其次,设a=(k1,k2,…,kn)是方程组的任 意一个解向量,将解的表达式写成向量形 式,有

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方程组的一个基础解系
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，Biblioteka Baidu
3 − 2 7 , α1 = 2 1 0
−1 − 2 α2 = 0 1
故原方程组的通解为X=k1a1+k2a2,其中k1, k2为任意常数.
例4.3.2
+ L + c1n x n , + L + c2n xn , c rn x n ,
= c r ,r +1 x r +1 x r +1 , = =
M + L + M
xn .
其中xr+1,xr+2,…,xn为自由未知量.写成解的 向量形式,有
x1 c1,r +1 c1,r +2 c1n x2 c2,r +1 c2,r +2 c2n M M M M xr cr,r +1 cr ,r +2 crn x = xr +1 + 0 xr +2 +L+ 0 xn r +1 1 xr +2 0 1 0 M M M M 0 1 x 0 n
例4.3.1
求齐次线性方程组
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x1 − x 2 + 5 x 3 − x 4 = 0, x + x − 2 x + 3 x = 0, 1 2 3 4 3 x1 − x 2 + 8 x 3 + x 4 = 0, x1 + 3 x 2 − 9 x 3 + 7 x 4 = 0.
，
AX = 0
性质1 齐次线性方程组的两个解向量 的和仍为它的解向量. 证
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设X1,X2为齐次线性方程组AX=0
的两个解向量,则有AX1=0, AX2=0,于是 A(X1+X2)=AX1+AX2=0，即X1+X2为方程 组AX=0的解向量.
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性质2 齐次线性方程组AX=0的一个解 向量乘以常数k仍为它的解向量. 证 设X1为齐次线性方程组 AX=0 的一个解向量,k为任一常数,则 A(kX1)= kAX1= k 0 = 0,即kX1为AX= 0的解向量. 0, kX AX= 0 由性质1和性质2可知,齐次线性方程组 解向量的任意线性组合仍为其解向量.由此 可知,n元齐次线性方程组解向量的集合为 一向量空间,称为它的解空间,它是n维向量 空间的一个子空间.
§4.3线性方程组解的结构 4.3线性方程组解的结构 4.3.1 齐次线性方程组解的结构 设n元齐次线性方程组 （4.3.1） 其中A= (aij)m×n为系数矩阵,X=(x1,x2,…,xn)T. 对于齐次线性方程组AX = 0,如果R(A) < n,它有无穷多个非零解,这些解之间有什 么关系？这些解如何表示出来？下面讨论 这些问题. 首先,我们介绍齐次线性方程组的解 的性质.