第3章杆件的强度刚度与稳定性介绍共40页
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第3章 杆件的强度、刚度和稳定性
问题引入
3.1 应力与强度
细杆
（材料相同） 粗杆
（轴力 N 相同） 细杆 粗杆
易断 （有关） 杆之截面
难断
形状大小
木杆
（粗细一致） 钢杆
（轴力 N 相同） 木杆 钢杆
易断 难断
（有关）
杆之材料
杆之截面 形状大小
截面 应力
杆之 材料
材料 强度
3.1.1 应力的概念
截面分成同样大小（共25个）的单位正方形
N图
(a) (b)
(c)
【解】（1）求轴力并画轴力图
最大轴力 Nmax= 6 P
（2）求应力: 腰部：A1＝2ht =240mm 4.5mm ＝360mm2
孔处：A2＝2(H-d) t =2（65-30）mm 4.5mm =315mm2
ma x N A m 2 a x 6 3 21 0 5 3 0.1 8 0 N/2m 3.1 m 8 MP最条a 大的应钉力孔在之链处
如均匀分布的 应力 （＝ 1＝ 2＝…＝ 25），截面面积为 A，轴向内力为 N，
则 N A，或 NA 。
② 当 A 越小，在 N 不变之下， 分布的密集程度就越高，即数值越大，反之亦然。
故应力为内力在一点处的集度。
垂直于截面的应力 ③ 应力
平行于截面的应力
正应力 ，与 N 相同正负号 。
剪应力 ，与 V 相同正负号 。
1
N1 A1
50103 0.87N/m2m 57600
0.87MPa
N图
BC段：A2＝370370mm＝136900mm2
2
N2 A2
150103 1.1N/m2m 136900
1.1MPa
注意：计算时，将轴力 N 的正负号代入，结果为正则为拉应力，负即为压应力。
【例3.2】图 (a) 为一斗式提升机。斗与斗之间用链条连接，链条的计算简图如图 (b)所示，每个料斗连同物料的总重量 P=2000N。钢链由两层钢板构成，如图(c)所示。 每个链板厚 t =4.5mm，宽 h = 40mm，高H =65mm，钉孔直径 d=30mm。试求链板的 最大应力。
【例3.1】在例2.2中，砖柱上段截面尺寸为 240mm240mm，承受荷 P1=50kN； 下段 370mm370mm，承受荷载 P2＝100kN，现试求各段之应力。
【解】 （1）作轴力图 AB段： N150kN
BC段： N2 15k0N
3m
（2）求应力
4m
AB段：A1＝240240mm＝57600mm2
④ 应力单位：牛顿/米2（N/m2），用“帕（Pa）”示之，即1Pa＝
1KPa＝103Pa＝10－3N/mm2；1MPa＝106Pa＝1N/mm2；1GPa＝10
如何通过改变几何形状或尺寸，来改变应力的大小？
雪橇鞋
体重 W 不变，脚下的应力可随鞋与地面的接触面积不同而改变。
硬板凳
高背软椅的低应力使人感到舒适，而硬板凳的高应力却使人不爽。
大头盖使拇指产生舒适应力，针尖产生非常高的应力
图钉一按即
3.1.2 轴向拉（压）杆的应力及强度计算
1)轴向拉（压）杆的应力
拉伸前
拉伸后
画两线段 ab 、cd
ab a b，cd cd
① a b 和 cd 仍然保持直线 ② 纵向伸长量 l 都相同
a a c c
b b d d ·· l
N
平面假设：变形前横截面为平面，变形后仍保持为平面，且垂直于杆轴线
（3）若内力 V 平行于截面，则 便“帖”在截面上， 的大小还可能出现呈抛物线形 变化，即在截面中间的 5 个方格内的 （如 3 、… 、23 ）为最大值，而在截面的 两对边的方格内的 （如 1 、 …、21 或 5 、…、25 ）为小，在边缘上 0 。
讨论：
N
N
max
V
（如
① 应力是单位面积上的力，单位面பைடு நூலகம்力的数值之和＝截面上的合力。
NmaxA
结构的最大容许荷载
【例3.3】现有一高度为 24m 的正方形截面花岗岩石柱，在其顶部作用一轴向荷载
N
N
内力在各正方形的分布 应力
max
（如
、…、
V
（1）若内力 N 垂直于截面且过形心，则从 1 到 25 皆相等，即 25 个单位面积力是
均匀分布的。
（2）若内力 N 垂直于截面但偏于一边，则 靠近 N 的 （如 21 、…、 25 ）为大， 远离 N 的 （如 1、…、 5 ）为小，且呈三角形变化。
牌号 Q235 Q345
C20 C30
轴向拉伸 [ ]
170 230 34～54 0.44 0.6 5～7 8～10
容许应力
轴向压缩 [ ]
170 230 160～200
7 10.3 8～12 12～16
受剪 [ ]
100 140
1 2
注： [ ] 为容许拉应力；[ ] 为容许压应力； [ ] 为容许剪应力。
2)强度条件
判断
最大应力与材料强度 比较
杆是否会因强度不足而破坏
等截面轴向拉（压）杆的强度条件：
max
Nmax[]
A
[ ] —— 材料在拉伸（压缩）时的容许应力。
表3.1常用材料的容许应力值（MPa）
（适用于常温、静荷载和一般工作条件下的杆）
材料名称
低碳钢 低合金钢 灰口铸铁
混凝土 混凝土 松、杉（顺纹） 栎木、桦木等（顺纹）
问题：欲使 max，可 A，但不经济；有时 max可稍大于 ，但不能超过5%。
（2）截面选择： 已知内力、材料（
N
√
max
√
、
），根据强度条件选
A?。
A
N max
由 A可选型钢（工字钢、槽钢、角钢）之型号
（3）容许荷载： 已知材料、尺寸（
√ 、√A），根据强度条件确定
N
？
max
。
（内力与荷载关系）
3)强度计算
强度条件
maxNAmax
Nmax 之截面为危险截面
为材料的容许应力
强度计算 三种类型
（1）强度校核： 已知材料、尺寸（ √ 、√A）和所受之荷载（ N√max），校核杆
之强度是否满足要求。
maxNAmax
若 max，则杆满足强度要求 若 max，则杆之强度就不够
安全 不安全
N —— 轴力；
平面 假设
纵向伸长 △l 相同
各点 内力相等
应力 均匀分布
N A —— 横截面积；
A —— 正应力
讨论：
(拉为正，压为负)
① 对于等直杆，当 N 不变时，若杆截面（A）细小，则 就大，细杆易断；
当轴向外力较多时，应求得最大轴力 Nmax ，此时 maxNmaxA。
② 对于变截面杆（ A 非常量），N max 所在截面的应力不一定为最大，因还需 考虑 A 是否为最小。
问题引入
3.1 应力与强度
细杆
（材料相同） 粗杆
（轴力 N 相同） 细杆 粗杆
易断 （有关） 杆之截面
难断
形状大小
木杆
（粗细一致） 钢杆
（轴力 N 相同） 木杆 钢杆
易断 难断
（有关）
杆之材料
杆之截面 形状大小
截面 应力
杆之 材料
材料 强度
3.1.1 应力的概念
截面分成同样大小（共25个）的单位正方形
N图
(a) (b)
(c)
【解】（1）求轴力并画轴力图
最大轴力 Nmax= 6 P
（2）求应力: 腰部：A1＝2ht =240mm 4.5mm ＝360mm2
孔处：A2＝2(H-d) t =2（65-30）mm 4.5mm =315mm2
ma x N A m 2 a x 6 3 21 0 5 3 0.1 8 0 N/2m 3.1 m 8 MP最条a 大的应钉力孔在之链处
如均匀分布的 应力 （＝ 1＝ 2＝…＝ 25），截面面积为 A，轴向内力为 N，
则 N A，或 NA 。
② 当 A 越小，在 N 不变之下， 分布的密集程度就越高，即数值越大，反之亦然。
故应力为内力在一点处的集度。
垂直于截面的应力 ③ 应力
平行于截面的应力
正应力 ，与 N 相同正负号 。
剪应力 ，与 V 相同正负号 。
1
N1 A1
50103 0.87N/m2m 57600
0.87MPa
N图
BC段：A2＝370370mm＝136900mm2
2
N2 A2
150103 1.1N/m2m 136900
1.1MPa
注意：计算时，将轴力 N 的正负号代入，结果为正则为拉应力，负即为压应力。
【例3.2】图 (a) 为一斗式提升机。斗与斗之间用链条连接，链条的计算简图如图 (b)所示，每个料斗连同物料的总重量 P=2000N。钢链由两层钢板构成，如图(c)所示。 每个链板厚 t =4.5mm，宽 h = 40mm，高H =65mm，钉孔直径 d=30mm。试求链板的 最大应力。
【例3.1】在例2.2中，砖柱上段截面尺寸为 240mm240mm，承受荷 P1=50kN； 下段 370mm370mm，承受荷载 P2＝100kN，现试求各段之应力。
【解】 （1）作轴力图 AB段： N150kN
BC段： N2 15k0N
3m
（2）求应力
4m
AB段：A1＝240240mm＝57600mm2
④ 应力单位：牛顿/米2（N/m2），用“帕（Pa）”示之，即1Pa＝
1KPa＝103Pa＝10－3N/mm2；1MPa＝106Pa＝1N/mm2；1GPa＝10
如何通过改变几何形状或尺寸，来改变应力的大小？
雪橇鞋
体重 W 不变，脚下的应力可随鞋与地面的接触面积不同而改变。
硬板凳
高背软椅的低应力使人感到舒适，而硬板凳的高应力却使人不爽。
大头盖使拇指产生舒适应力，针尖产生非常高的应力
图钉一按即
3.1.2 轴向拉（压）杆的应力及强度计算
1)轴向拉（压）杆的应力
拉伸前
拉伸后
画两线段 ab 、cd
ab a b，cd cd
① a b 和 cd 仍然保持直线 ② 纵向伸长量 l 都相同
a a c c
b b d d ·· l
N
平面假设：变形前横截面为平面，变形后仍保持为平面，且垂直于杆轴线
（3）若内力 V 平行于截面，则 便“帖”在截面上， 的大小还可能出现呈抛物线形 变化，即在截面中间的 5 个方格内的 （如 3 、… 、23 ）为最大值，而在截面的 两对边的方格内的 （如 1 、 …、21 或 5 、…、25 ）为小，在边缘上 0 。
讨论：
N
N
max
V
（如
① 应力是单位面积上的力，单位面பைடு நூலகம்力的数值之和＝截面上的合力。
NmaxA
结构的最大容许荷载
【例3.3】现有一高度为 24m 的正方形截面花岗岩石柱，在其顶部作用一轴向荷载
N
N
内力在各正方形的分布 应力
max
（如
、…、
V
（1）若内力 N 垂直于截面且过形心，则从 1 到 25 皆相等，即 25 个单位面积力是
均匀分布的。
（2）若内力 N 垂直于截面但偏于一边，则 靠近 N 的 （如 21 、…、 25 ）为大， 远离 N 的 （如 1、…、 5 ）为小，且呈三角形变化。
牌号 Q235 Q345
C20 C30
轴向拉伸 [ ]
170 230 34～54 0.44 0.6 5～7 8～10
容许应力
轴向压缩 [ ]
170 230 160～200
7 10.3 8～12 12～16
受剪 [ ]
100 140
1 2
注： [ ] 为容许拉应力；[ ] 为容许压应力； [ ] 为容许剪应力。
2)强度条件
判断
最大应力与材料强度 比较
杆是否会因强度不足而破坏
等截面轴向拉（压）杆的强度条件：
max
Nmax[]
A
[ ] —— 材料在拉伸（压缩）时的容许应力。
表3.1常用材料的容许应力值（MPa）
（适用于常温、静荷载和一般工作条件下的杆）
材料名称
低碳钢 低合金钢 灰口铸铁
混凝土 混凝土 松、杉（顺纹） 栎木、桦木等（顺纹）
问题：欲使 max，可 A，但不经济；有时 max可稍大于 ，但不能超过5%。
（2）截面选择： 已知内力、材料（
N
√
max
√
、
），根据强度条件选
A?。
A
N max
由 A可选型钢（工字钢、槽钢、角钢）之型号
（3）容许荷载： 已知材料、尺寸（
√ 、√A），根据强度条件确定
N
？
max
。
（内力与荷载关系）
3)强度计算
强度条件
maxNAmax
Nmax 之截面为危险截面
为材料的容许应力
强度计算 三种类型
（1）强度校核： 已知材料、尺寸（ √ 、√A）和所受之荷载（ N√max），校核杆
之强度是否满足要求。
maxNAmax
若 max，则杆满足强度要求 若 max，则杆之强度就不够
安全 不安全
N —— 轴力；
平面 假设
纵向伸长 △l 相同
各点 内力相等
应力 均匀分布
N A —— 横截面积；
A —— 正应力
讨论：
(拉为正，压为负)
① 对于等直杆，当 N 不变时，若杆截面（A）细小，则 就大，细杆易断；
当轴向外力较多时，应求得最大轴力 Nmax ，此时 maxNmaxA。
② 对于变截面杆（ A 非常量），N max 所在截面的应力不一定为最大，因还需 考虑 A 是否为最小。