用向量证明线面垂直的方法
32(二)向量方法证明空间线面垂直关系
学习目标 1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.知识点一 向量法判断线线垂直思考 若直线l 1的方向向量为μ1＝(1，3，2)，直线l 2的方向向量为μ2＝(1，－1，1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？答案 l 1与l 2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是两直线的方向向量，所以l 1与l 2垂直.判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上分别取两点A 、B 与C 、D ，计算向量AB →与CD →的坐标，若AB →·CD →＝0，则两直线垂直，否则不垂直.(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直. 梳理 设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 知识点二 向量法判断线面垂直思考 若直线l 的方向向量为μ1＝⎝⎛⎭⎫2，43，1，平面α的法向量为μ2＝⎝⎛⎭⎫3，2，32，则直线l 与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案 垂直，因为μ1＝23μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l 与平面α垂直.判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线l 的方向向量与平面α的法向量共线⇒l ⊥α.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内. (3)直线l 的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直⇒l ⊥α.梳理 设直线l 的方向向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量μ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ(k ∈R ).知识点三 向量法判断面面垂直思考 平面α，β的法向量分别为μ1＝(x 1，y 1，z 1)，μ2＝(x 2，y 2，z 2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？ 答案 x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.梳理 若平面α的法向量为μ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为ν＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.类型一 证明线线垂直例1 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .证明 设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OO 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0，B ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32，0，N ⎝⎛⎭⎫0，32，14，B 1⎝⎛⎭⎫12，0，1， ∵M 为BC 中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫14，34，0.∴MN →＝⎝⎛⎭⎫－14，34，14，AB 1→＝(1，0，1)，∴MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0.∴MN →⊥AB 1→， ∴AB 1⊥MN .反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求证：AC ⊥BC 1.证明 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直.如图，以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则C (0，0，0)，A (3，0，0)，C 1(0，0，4)，B (0，4，0)， ∵AC →＝(－3，0，0)，BC 1→＝(0，－4，4)， ∴AC →·BC 1→＝0.∴AC ⊥BC 1. 类型二 证明线面垂直例2 如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点.求证：AB 1⊥平面A 1BD .证明 如图所示，取BC 的中点O ，连接AO .因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， 所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，以OB →，OO 1→，OA →分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0). 所以AB 1→＝(1，2，－3)，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0). 因为AB 1→·BA 1→＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0. AB 1→·BD →＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0.所以AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →，即AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD . 又因为BA 1∩BD ＝B ，所以AB 1⊥平面A 1BD . 反思与感悟 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 方法一：(1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量. (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 方法二：(1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示. (3)求出平面的法向量.(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.跟踪训练2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点.求证：直线PB 1⊥平面P AC .证明 如图建系，C (1，0，0)，A (0，1，0)，P (0，0，1)，B 1(1，1，2)，PC →＝(1，0，－1)，P A →＝(0，1，－1)，PB 1→＝(1，1，1)，B 1C →＝(0，－1，－2)，B 1A →＝(－1，0，－2).PB 1→·PC →＝(1，1，1)·(1，0，－1)＝0， 所以PB 1→⊥PC →，即PB 1⊥PC .又PB 1→·P A →＝(1，1，1)·(0，1，－1)＝0， 所以PB 1→⊥P A →，即PB 1⊥P A .又P A ∩PC ＝P ，所以PB 1⊥平面P AC . 类型三 证明面面垂直例3 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明 由题意知直线AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以点B 为原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，0，0)，A 1(2，0，1)，C (0，2，0)，C 1(0，2，1)，E (0，0，12)，故AA 1→＝(0，0，1)，AC →＝(－2，2，0)，AC 1→＝(－2，2，1)，AE →＝(－2，0，12).设平面AA 1C 1C 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0.令x ＝1，得y ＝1，故n 1＝(1，1，0). 设平面AEC 1的法向量为n 2＝(a ，b ，c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＋c ＝0，－2a ＋12c ＝0. 令c ＝4，得a ＝1，b ＝－1，故n 2＝(1，－1，4). 因为n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0， 所以n 1⊥n 2.所以平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C . 反思与感悟 证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练3 在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝30°，E 、F 分别是AC 、AD 的中点，求证：平面BEF ⊥平面ABC .证明 以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设A (0，0，a )，则易得B (0，0，0)，C ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，D (0，3a ，0)，E ⎝⎛⎭⎫34a ，34a ，a 2，F (0，32a ，a 2)，故AB →＝(0，0，－a )，BC →＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0.设平面ABC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－az 1＝0，x 1＋y 1＝0，取x 1＝1，∴n 1＝(1，－1，0)为平面ABC 的一个法向量. 设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面BEF 的一个法向量， 同理可得n 2＝(1，1，－3).∵n 1·n 2＝(1，－1，0)·(1，1，－3)＝0， ∴平面BEF ⊥平面ABC .1.下列命题中，正确命题的个数为( )①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ⇔ n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的法向量，a 与平面α平行，则n ·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直. A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C解析 ①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确. 2.已知两直线的方向向量为a ，b ，则下列选项中能使两直线垂直的为( ) A.a ＝(1，0，0)，b ＝(－3，0，0) B.a ＝(0，1，0)，b ＝(1，0，1) C.a ＝(0，1，－1)，b ＝(0，－1，1)D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)答案 B解析因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B.3.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为μ＝(－2，0，－4)，则()A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交答案 B解析∵a∥μ，∴l⊥α.4.平面α的一个法向量为m＝(1，2，0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系是()A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.不能确定答案 C解析∵(1，2，0)·(2，－1，0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面垂直.5.已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1，0，5)，ν＝(t，5，1)，则t的值为________.答案 5解析∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直，∴μ·ν＝0，即(－1)×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.空间垂直关系的解决策略40分钟课时作业一、选择题1.设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2，2，1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( ) A.－2 B.2 C.6 D.10 答案 D解析 因为a ⊥b ，故a ·b ＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m ＝0，解得m ＝10.2.若平面α，β的法向量分别为a ＝(－1，2，4)，b ＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为( )A.10B.－10C.12D.－12答案 B解析 因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直， 所以a ·b ＝(－1，2，4)·(x ，－1，－2)＝0， 解得x ＝－10.3.已知点A (0，1，0)，B (－1，0，－1)，C (2，1，1)，P (x ，0，z )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为( )A.(1，0，－2)B.(1，0，2)C.(－1，0，2)D.(2，0，－1) 答案 C解析 由题意知AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2，0，1)，AP →＝(x ，－1，z )，又P A ⊥平面ABC ，所以有AB →·AP →＝(－1，－1，－1)·(x ，－1，z )＝0，得－x ＋1－z ＝0， ① AC →·AP →＝(2，0，1)·(x ，－1，z )＝0，得2x ＋z ＝0，②联立①②得x ＝－1，z ＝2，故点P 的坐标为(－1，0，2).4.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A.AC B.BD C.A 1D D.A 1A 答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则A (0，1，0)，B (1，1，0)，C (1，0，0)，D (0，0，0)，A 1(0，1，1)，C 1(1，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，∴CE →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，1，AC →＝(1，－1，0)， BD →＝(－1，－1，0)，A 1D →＝(0，－1，－1)，A 1A →＝(0，0，－1)， ∵CE →·BD →＝(－1)×(－12)＋(－1)×12＋0×1＝0，∴CE ⊥BD .5.若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是( ) A.n 1＝(1，2，1)，n 2＝(－3，1，1) B.n 1＝(1，1，2)，n 2＝(－2，1，1) C.n 1＝(1，1，1)，n 2＝(－1，2，1) D.n 1＝(1，2，1)，n 2＝(0，－2，－2) 答案 A解析 ∵1×(－3)＋2×1＋1×1＝0， ∴n 1·n 2＝0，故选A.6.两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z )，v ＝(－2，－y ，1)，若α⊥β，则y ＋z 的值是( )A.－3B.6C.－6D.－12 答案 B解析 α⊥β⇒μ·v ＝0⇒－6＋y ＋z ＝0，即y ＋z ＝6. 二、填空题7.在三棱锥S －ABC 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，则异面直线SC 与BC 是否垂直________.(填“是”或“否”) 答案 是解析 如图，以A 为原点，AB ，AS 分别为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29， 得B (0，17，0)，S (0，0，23)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫21317，417，0， SC →＝⎝⎛⎭⎪⎫21317，417，－23，CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－21317，1317，0. 因为SC →·CB →＝0，所以SC ⊥BC .8.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1).对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________.(填序号) 答案 ①②③解析 ∵AP →·AB →＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，∴AP ⊥AB ，即①正确；∵AP →·AD →＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，∴AP ⊥AD ，即②正确； 又∵AB ∩AD ＝A ， ∴AP ⊥平面ABCD ，即AP →是平面ABCD 的一个法向量，即③正确； ∵AP →是平面ABCD 的法向量， ∴AP →⊥BD →，即④不正确.9.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点P (2cos x ＋1，2cos 2x ＋2，0)和点Q (cos x ，－1，3)，其中x ∈[0，π].若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________. 答案 π2或π3解析 由题意得OP →⊥OQ →，∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos 2x ＋2)＝0. ∴2cos 2x －cos x ＝0， ∴cos x ＝0或cos x ＝12.又x ∈[0，π]， ∴x ＝π2或x ＝π3.10.在△ABC 中，A (1，－2，－1)，B (0，－3，1)，C (2，－2，1).若向量n 与平面ABC 垂直，且|n |＝21，则n 的坐标为________________. 答案 (－2，4，1)或(2，－4，－1)解析 据题意，得AB →＝(－1，－1，2)，AC →＝(1，0，2).设n ＝(x ，y ，z )，∵n 与平面ABC 垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋2z ＝0，x ＋2z ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4z ，y ＝－2x . ∵|n |＝21，∴x 2＋y 2＋z 2＝21，解得y ＝4或y ＝－4.当y ＝4时，x ＝－2，z ＝1；当y ＝－4时，x ＝2，z ＝－1.三、解答题11.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点.证明：CD ⊥平面P AE .证明 如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设P A ＝h ，则相关各点的坐标为A (0，0，0)，B (4，0，0)，C (4，3，0)，D (0，5，0)，E (2，4，0)，P (0，0，h ).易知CD →＝(－4，2，0)，AE →＝(2，4，0)，AP →＝(0，0，h ).因为CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP ，而AP ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE .12.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动.求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .证明 建立如图所示空间直角坐标系，则P (0，0，1)，B (0，1，0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，12，D ()3，0，0，设BE ＝x (0≤x ≤3)，则E (x ，1，0)，PE →·AF →＝(x ，1，－1)·⎝⎛⎭⎫0，12，12＝0， 所以x ∈[0， 3 ]时都有PE ⊥AF ，即无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .13.已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点.(1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置.(1)证明 以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a ，则 A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a ).设E (0，a ，e ) (0≤e ≤a )，A 1E →＝(－a ，a ，e －a )，BD →＝(－a ，－a ，0)，A 1E →·BD →＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0，∴A 1E →⊥BD →，即A 1E ⊥BD .(2)解 设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2). ∵DB →＝(a ，a ，0)，DA 1→＝(a ，0，a )，DE →＝(0，a ，e )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0. 取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝(1，－1，a e)， 由平面A 1BD ⊥平面EBD 得n 1⊥n 2，∴2－a e ＝0，即e ＝a 2. ∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。
向量法证明线面垂直
向量法证明线面垂直
可以直接证明它们的夹角为90°；证明其它两个角互余。
如果是高中生的话,还可以
证明两条直线的斜率的乘积等于-1，常见的有：等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂
直于底边；三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角；在一个三角
形中，若有两个角互余，则第三个角是直角；邻补角的平分线互相垂直。
垂直，是指一条线与另一条线相交并成直角，这两条直线互相垂直。
通常用符号“⊥”表示。
建有两个向量a和b，a⊥b的充要条件就是a·b=0，即为(x1x2+y1y2)=0 。
对于立体几何中的垂直问题，主要涉及到线面垂直问题与面面垂直问题，而要解决相
关的问题，其难点是线面垂直的定义及其对判定定理成立的条件的理解；两平面垂直的判
定定理及其运用和对二面角有关概念的理解。
①在同一平面内，过一点存有且只有一条直线与未知直线横向。
横向一定会发生90°。
② 连接直线外一点与直线上各点的`所有线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短。
③点至直线的距离：直线外一点至这条直线的垂线段的长度，叫作点至直线的距离。
向量法证明垂直
BD＝AD－AB＝ b－ a， 1 → → 1→ 1 1 OG＝OC＋CG＝ (AB＋AD)＋ CC1＝ (a＋ b)－ c， 2 2 2 2 1 1 1 ∴A1O·BD＝ (c＋ a＋ b)· (b－ a)＝ c· (b－ a)＋ (a＋ b)· (b－ a) 2 2 2 1 2 2 1 2 ＝ c· b－ c· a＋ (b － a )＝ (|b | － |a |2)＝ 0. 2 2 ∴A1O⊥BD，∴ Α1O⊥ BD. 同理可证，A1O⊥OG，∴ A1O⊥ OG. 又∵ OG∩ BD＝ O，且 A1O⊄面 GBD， ∴ A1O⊥面 GBD.
→
→
→
→
误区警示
审题不清致误
【示例】 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱BB1
的中点，在棱DD1上是否存在点P，使MD⊥平面PAC?
[错解] 如图建立空间直角坐标系，则 A(1 ， 0，0)， C(0，1， 0)， D(0， 0， 0)， 1 M(1，1， )， 2 假设存在 P(0，0，x)满足条件， 则PA＝(1，0，－x)，AC＝(－1，1，0)．
→
→
题型三
证明面面垂直
在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝ 【 例 3】 90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点， 求证：平面BEF⊥平面ABC.
[规范解答 ]建系如图，取 A(0，0，a)， 则易得 B(0，0，0)，C( 3 3 a， a，0)， 2 2
→
→
3 3 a， a， 0)＝ 0 2 2
→ ∴ n⊥CD，∴平面 BEF⊥平面 ABC.
【变式3】 在正棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是 △PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝ PF∶FB＝1∶2. 求证：平面GEF⊥平面PBC； 证明 如图，以三棱锥的顶点P为原
专题07 立体几何中的向量方法(解析版)
专题07 立体几何中的向量方法【要点提炼】1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)，则 (1)线面平行l ∥α⇔a ⊥μ⇔a ·μ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. (2)线面垂直l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2. (3)面面平行α∥β⇔μ∥v ⇔μ＝λv ⇔a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3. (4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v ⇔μ·v ＝0⇔a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝0. 2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)(以下相同). (1)线线夹角设l ，m 的夹角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |＝|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|a 21＋b 21＋c 21a 22＋b 22＋c 22. (2)线面夹角设直线l 与平面α的夹角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，则sin θ＝|cos a ，μ|＝|a ·μ||a ||μ|.(3)面面夹角设平面α，β的夹角为θ(0≤θ＜π)， 则|cos θ|＝|cosμ，v|＝|μ·v ||μ||v |.考点考向一 利用空间向量证明平行、垂直【典例1】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.证明：(1)BE ⊥DC ； (2)BE ∥平面P AD ； (3)平面PCD ⊥平面P AD .证明 依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2).由E 为棱PC 的中点，得E (1，1，1).(1)向量BE →＝(0，1，1)，DC →＝(2，0，0)，故BE →·DC →＝0. 所以BE ⊥DC .(2)因为AB ⊥AD ，又P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥P A ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ， 所以AB ⊥平面P AD ，所以向量AB→＝(1，0，0)为平面P AD 的一个法向量， 而BE →·AB →＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以BE ⊥AB ， 又BE ⊄平面P AD ， 所以BE ∥平面P AD .(3)由(2)知平面P AD 的法向量AB →＝(1，0，0)，向量PD →＝(0，2，－2)，DC →＝(2，0，0)，设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·DC →＝0，即⎩⎨⎧2y －2z ＝0，2x ＝0，不妨令y ＝1，可得n ＝(0，1，1)为平面PCD 的一个法向量. 且n ·AB →＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以n ⊥AB →. 所以平面P AD ⊥平面PCD .探究提高 1.利用向量法证明平行、垂直，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素). 2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的定理，如在(2)中忽略BE ⊄平面P AD 而致误.【拓展练习1】 如图，在直三棱柱ADE －BCF 中，平面ABFE 和平面ABCD 都是正方形且互相垂直，点M 为AB 的中点，点O 为DF 的中点.证明：(1)OM ∥平面BCF ； (2)平面MDF ⊥平面EFCD .证明 (1)由题意，得AB ，AD ，AE 两两垂直，以点A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .设正方形边长为1，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，1，0)，F (1，0，1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12.OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，BA →＝(－1，0，0)， ∴OM →·BA →＝0，∴OM →⊥BA →. ∵棱柱ADE －BCF 是直三棱柱，∴AB ⊥平面BCF ，∴BA →是平面BCF 的一个法向量， 且OM ⊄平面BCF ，∴OM ∥平面BCF .(2)在第(1)问的空间直角坐标系中，设平面MDF 与平面EFCD 的法向量分别为 n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2).∵DF →＝(1，－1，1)，DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，0，DC →＝(1，0，0)，CF →＝(0，－1，1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DF→＝0，n 1·DM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－y 1＋z 1＝0，12x 1－y 1＝0，令x 1＝1，则n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－12.同理可得n 2＝(0，1，1).∵n 1·n 2＝0，∴平面MDF ⊥平面EFCD . 考向二 线线角、线面角的求解【典例2】 (2020·浙江卷)如图，在三棱台ABC －DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，∠ACB ＝∠ACD ＝45°，DC ＝2BC .(1)证明：EF ⊥DB ；(2)求直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值.(1)证明 如图(1)，过点D 作DO ⊥AC ，交直线AC 于点O ，连接OB .图(1)由∠ACD ＝45°，DO ⊥AC ，得 CD ＝2CO .由平面ACFD ⊥平面ABC ，得DO ⊥平面ABC ， 所以DO ⊥BC .由∠ACB ＝45°，BC ＝12CD ＝22CO ，得BO ⊥BC . 所以BC ⊥平面BDO ，故BC ⊥DB .由ABC －DEF 为三棱台，得BC ∥EF ，所以EF ⊥DB .(2)解 法一 如图(1)，过点O 作OH ⊥BD ，交直线BD 于点H ，连接CH .由ABC －DEF 为三棱台，得DF ∥CO ，所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角.由BC ⊥平面BDO ，得OH ⊥BC ，故OH ⊥平面DBC ， 所以∠OCH 为直线CO 与平面DBC 所成角. 设CD ＝22，则DO ＝OC ＝2，BO ＝BC ＝2，得BD ＝6，OH ＝233，所以sin ∠OCH ＝OH OC ＝33.因此，直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值为33.法二 由ABC －DEF 为三棱台，得DF ∥CO ，所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角，记为θ.如图(2)，以O 为原点，分别以射线OC ，OD 为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz .图(2)设CD ＝22，由题意知各点坐标如下：O (0，0，0)，B (1，1，0)，C (0，2，0)，D (0，0，2). 因此OC→＝(0，2，0)，BC →＝(－1，1，0)，CD →＝(0，－2，2). 设平面DBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·CD →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，－2y ＋2z ＝0，可取n ＝(1，1，1)，所以sin θ＝|cos 〈OC →，n 〉|＝|OC →·n ||OC →|·|n |＝33.因此，直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值为33.探究提高 1.异面直线所成的角θ，可以通过两直线的方向向量的夹角φ求得，即cos θ＝|cos φ|.2.直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sin θ＝|cos φ|，有时也可分别求出斜线与它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).【拓展练习2】 (2020·全国Ⅱ卷)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .(1)证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；(2)设O 为△A 1B 1C 1的中心.若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO ＝AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.(1)证明 因为侧面BB 1C 1C 是矩形且M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以MN ∥CC 1.又由已知得AA 1∥CC 1，故AA 1∥MN . 因为△A 1B 1C 1是正三角形，所以B 1C 1⊥A 1N . 又侧面BB 1C 1C 是矩形，所以B 1C 1⊥MN . 又A 1N ∩MN ＝N ，A 1N ，MN ⊂平面A 1AMN ， 所以B 1C 1⊥平面A 1AMN .又B 1C 1⊂平面EB 1C 1F ， 所以平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F .(2)解 由已知及(1)得AM ⊥BC ，MN ⊥BC ，AM ⊥MN .以M 为坐标原点，MA →的方向为x 轴正方向，|MB →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系M －xyz ，则AB ＝2，AM ＝ 3.连接NP ，AO ∥平面EB 1C 1F ，AO ⊂平面A 1AMN ， 平面A 1AMN ∩平面EB 1C 1F ＝PN ，故AO ∥PN . 又AP ∥ON ，则四边形AONP 为平行四边形，故PM ＝233，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，13，0.由(1)知平面A 1AMN ⊥平面ABC .作NQ ⊥AM ，垂足为Q ，则NQ ⊥平面ABC . 设Q (a ，0，0)，则 NQ ＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫233－a2， B 1⎝⎛⎭⎪⎫a ，1，4－⎝ ⎛⎭⎪⎫233－a2. 故B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233－a ，－23，－4－⎝ ⎛⎭⎪⎫233－a 2， |B 1E →|＝2103.又n ＝(0，－1，0)是平面A 1AMN 的一个法向量， 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－〈n ，B 1E →〉＝cos 〈n ，B 1E →〉＝n ·B 1E →|n |·|B 1E →|＝1010.所以直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值为1010. 考向三 利用向量求二面角【典例3】 (2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE ＝ED 1，BF ＝2FB 1.(1)证明：点C 1在平面AEF 内；(2)若AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，求二面角A －EF －A 1的正弦值.解 设AB ＝a ，AD ＝b ，AA 1＝c .如图，以C 1为坐标原点，C 1D 1→的方向为x 轴正方向， 建立空间直角坐标系C 1－xyz .(1)证明 连接C 1F ，C 1(0，0，0)，A (a ，b ，c )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，0，23c ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b ，13c ，EA→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b ，13c ，C 1F →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b ，13c ，得EA →＝C 1F →， 因此EA ∥C 1F ，即A ，E ，F ，C 1四点共面， 所以点C 1在平面AEF 内.(2)由已知得A (2，1，3)，E (2，0，2)，F (0，1，1)，A 1(2，1，0)，AE →＝(0，－1，－1)，AF →＝(－2，0，－2)，A 1E →＝(0，－1，2)，A 1F →＝(－2，0，1). 设n 1＝(x ，y ，z )为平面AEF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AE →＝0，n 1·AF →＝0，即⎩⎨⎧－y －z ＝0，－2x －2z ＝0，可取n 1＝(－1，－1，1).设n 2为平面A 1EF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1E →＝0，n 2·A 1F →＝0，同理可取n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，1.设二面角A －EF －A 1的平面角为α，所以cos α＝cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－77，则sin α＝1－cos2α＝42 7，所以二面角A－EF－A1的正弦值为42 7.探究提高 1.二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角.2.利用向量法求二面角，必须能判定“所求二面角的平面角是锐角或钝角”，否则解法是不严谨的.【拓展练习3】(2020·沈阳一监)如图，已知△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，AB⊥BD.平面ABC⊥平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且CE∥BD，BD＝2CE.点F为AD的中点，连接EF.(1)求证：EF∥平面ABC；(2)求二面角C－AE－D的余弦值.(1)证明取AB的中点为O，连接OC，OF，如图.∵O，F分别为AB，AD的中点，∴OF∥BD且BD＝2OF.又CE∥BD且BD＝2CE，∴CE∥OF且CE＝OF，∴OF綊EC，则四边形OCEF为平行四边形，∴EF∥OC.又OC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)解∵△ABC为等边三角形，O为AB的中点，∴OC⊥AB.∵平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，BD ⊥AB ，BD ⊂平面ABD ，∴BD ⊥平面ABC .又OF ∥BD ，∴OF ⊥平面ABC .以O 为坐标原点，分别以OA ，OC ，OF 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨令正三角形ABC 的边长为2，则O (0，0，0)，A (1，0，0)，C (0，3，0)，E (0，3，1)，D (－1，0，2)，∴AC→＝(－1，3，0)，AE →＝(－1，3，1)，AD →＝(－2，0，2). 设平面AEC 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧AC →·m ＝－x 1＋3y 1＝0，AE →·m ＝－x 1＋3y 1＋z 1＝0. 不妨令y 1＝3，则m ＝(3，3，0). 设平面AED 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧AD →·n ＝－2x 2＋2z 2＝0，AE →·n ＝－x 2＋3y 2＋z 2＝0. 令z 2＝1，得n ＝(1，0，1). ∴cos 〈m ，n 〉＝323×2＝64.由图易知二面角C －AE －D 为钝角， ∴二面角C －AE －D 的余弦值为－64. 考向四 利用空间向量求解探索性问题【典例4】 (2020·武汉调研)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 是AC 与BD 的交点，点E 是线段OD 1上的一点.(1)若点E 为OD 1的中点，求直线OD 1与平面CDE 所成角的正弦值；(2)是否存在点E ，使得平面CDE ⊥平面CD 1O ？若存在，请指出点E 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 解 (1)不妨设正方体的棱长为2.以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则D (0，0，0)，D 1(0，0，2)，C (0，2，0)，O (1，1，0). 因为E 为OD 1的中点， 所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1.则OD 1→＝(－1，－1，2)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，DC →＝(0，2，0).设p ＝(x 0，y 0，z 0)是平面CDE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧p ·DE→＝0，p ·DC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x 0＋12y 0＋z 0＝0，2y 0＝0，取x 0＝2，则y 0＝0，z 0＝－1，所以p ＝(2，0，－1)为平面CDE 的一个法向量. 设直线OD 1与平面CDE 所成角为θ， 所以sin θ＝|cos 〈OD 1→，p 〉|＝|OD 1→·p ||OD 1→||p |＝|－1×2＋（－1）×0＋2×（－1）|（－1）2＋（－1）2＋22×22＋（－1）2＝23015， 即直线OD 1与平面CDE 所成角的正弦值为23015.(2)存在，且点E 为线段OD 1上靠近点O 的三等分点.理由如下. 假设存在点E ，使得平面CDE ⊥平面CD 1O .同第(1)问建立空间直角坐标系，易知点E 不与点O 重合，设D 1E →＝λEO →，λ∈[0，＋∞)，OC →＝(－1，1，0)，OD 1→＝(－1，－1，2). 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面CD 1O 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·OC →＝0，m ·OD 1→＝0，即⎩⎨⎧－x 1＋y 1＝0，－x 1－y 1＋2z 1＝0，取x 1＝1，则y 1＝1，z 1＝1，所以m ＝(1，1，1)为平面CD 1O 的一个法向量.因为D 1E →＝λEO →，所以点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫λ1＋λ，λ1＋λ，21＋λ， 所以DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ1＋λ，λ1＋λ，21＋λ. 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面CDE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE→＝0，n ·DC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋λx 2＋λ1＋λy 2＋21＋λz 2＝0，2y 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝0，z 2＝－λ2，所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，－λ2为平面CDE 的一个法向量. 因为平面CDE ⊥平面CD 1O ，所以m ⊥n . 则m ·n ＝0，所以1－λ2＝0，解得λ＝2.所以当D 1E →EO →＝2，即点E 为线段OD 1上靠近点O 的三等分点时，平面CDE ⊥平面CD 1O .探究提高 1.空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.但注意空间坐标系建立的规范性及计算的准确性，否则容易出现错误.2.空间向量求解探索性问题：(1)假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论；(2)在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解，是否有规定范围内的解”等.若由此推导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论.【拓展练习4】 (2019·北京卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，P A ＝AD ＝CD ＝2，BC ＝3.E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且PF PC ＝13.(1)求证：CD ⊥平面P AD ； (2)求二面角F －AE －P 的余弦值；(3)设点G 在PB 上，且PG PB ＝23.判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由. (1)证明 因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD . 又因为AD ⊥CD ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ， 所以CD ⊥平面P AD .(2)解 过点A 作AD 的垂线交BC 于点M . 因为P A ⊥平面ABCD ，AM ，AD ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥AM ，P A ⊥AD .建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0，0，0)，B (2，－1，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2).因为E 为PD 的中点， 所以E (0，1，1).所以AE→＝(0，1，1)，PC →＝(2，2，－2)，AP →＝(0，0，2). 所以PF→＝13PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，－23， 所以AF→＝AP →＋PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，43. 设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，23x ＋23y ＋43z ＝0. 令z ＝1，则y ＝－1，x ＝－1. 于是n ＝(－1，－1，1).又因为平面P AD 的一个法向量为p ＝(1，0，0)， 所以cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝－33.由题知，二面角F －AE －P 为锐角，所以其余弦值为33. (3)解 直线AG 在平面AEF 内，理由如下： 因为点G 在PB 上，且PG PB ＝23，PB →＝(2，－1，－2)， 所以PG→＝23PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－23，－43， 所以AG→＝AP →＋PG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－23，23. 由(2)知，平面AEF 的一个法向量n ＝(－1，－1，1)， 所以AG →·n ＝－43＋23＋23＝0.又点A ∈平面AEF ，所以直线AG 在平面AEF 内.【专题拓展练习】一、单选题1．已知三棱锥O -ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且,,OA a OB b OC c ===，用,,a b c 表示MN ，则MN 等于（ ）A ．()12b c a +- B ．()12a b c ++ C ．()12a b c -+D ．()12c a b --【答案】D 【详解】MN MA AO ON =++1122BA OA OC =-+ ()1122OA OB OA OC =--+ 111222OA OB OC =--+()12c a b =--. 故选：D2．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为111,BD B C 的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP CN ⊥，则下列说法正确的是（ ）A ．点P 可以是棱1BB 的中点 B ．线段MP 3C ．点P 的轨迹是正方形D ．点P 轨迹的长度为2+5【答案】D 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，因为该正方体的棱长为1，,M N 分别为111,BD B C 的中点， 则()0,0,0D ，111,,222M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1,12N ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,0C ， 所以1,0,12CN ⎛⎫=⎪⎝⎭，设(),,P x y z ，则111,,222MP x y z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，因为MP CN ⊥， 所以1110222x z ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，2430x z +-=，当1x =时，14z =；当0x =时，34z =； 取11,0,4E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,1,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,1,4G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,0,4H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接EF ，FG ，GH ，HE ，则()0,1,0EF GH ==，11,0,2EH FG ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以四边形EFGH 为矩形，则0EF CN ⋅=，0EH CN ⋅=，即EF CN ⊥，EH CN ⊥， 又EFEH E =，且EF ⊂平面EFGH ，EH ⊂平面EFGH ，所以CN ⊥平面EFGH ， 又111,,224EM ⎛⎫=-⎪⎝⎭，111,,224MG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以M 为EG 中点，则M ∈平面EFGH ， 所以，为使MP CN ⊥，必有点P ∈平面EFGH ，又点P 在正方体的表面上运动，所以点P 的轨迹为四边形EFGH ， 因此点P 不可能是棱1BB 的中点，即A 错； 又1EF GH ==，52EH FG ==，所以EF EH ≠，则点P 的轨迹不是正方形； 且矩形EFGH 的周长为522252+⨯=+，故C 错，D 正确； 因为点M 为EG 中点，则点M 为矩形EFGH 的对角线交点，所以点M 到点E 和点G 的距离相等，且最大，所以线段MP 的最大值为52，故B 错. 3．在空间四边形ABCD 中，AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅＝（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．不确定【答案】B 【详解】 如图，令,,AB a AC b AD c ===， 则AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅，()()()a cb b ac c b a =⋅-+⋅-+⋅-，0a c a b b a b c c b c a =⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅=.故选：B4．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形.PA ⊥底面,2,4ABCD PA AB AD ===.E 为PC 的中点，则异面直线PD 与BE 所成角的余弦值为（ ）A ．35B ．3010C ．1010D ．31010【答案】B 【详解】以A 点为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系如下图所示：则()2,0,0B ，()1,2,1E ，()002P ,,，()0,4,0D ， ()1,2,1BE =-∴，()0,4,2PD =-，设异面直线PD 与BE 所成角为θ，则630cos 10625PD BE PD BEθ⋅===⨯⋅. 5．已知四棱锥,-P ABCD 底面是边长为2的正方形，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，AB ⊥平面PAD ，点E 是线段PD 上的动点(不含端点)，若线 AB 段上存在点F (不含端点)，使得异面直线PA 与 EF 成30的角，则线段PE 长的取值范围是（ ）A ．202⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， B ．603⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， C ．222⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， D ．623，⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【详解】由PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，AB ⊥平面PAD ，取AD 中点G ，建立如图空间直角坐标系，依题意(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,0,1)G A D B P -，设(1,,0)F y ，，设()()1,0,1,0,DE xDP x x x ===，01x <<，故()1,0,E x x -，()2,,EF x y x =--又()1,0,1PA =-，异面直线PA 与 EF 成30的角，故cos30PA EF PA EF ⋅=⋅︒，即()2223222x y x =-++即()222213y x =--+，01x <<，故220,3y ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，又02y <<，故60y ⎛∈ ⎝⎭，. 故选：B.6．已知二面角l αβ--，其中平面的一个法向量()1,0,1m =-，平面β的一个法向量()0,1,1n =-，则二面角l αβ--的大小可能为（ ）A ．60︒B ．120︒C ．60︒或120︒D ．30【答案】C 【详解】11cos ,222m n m n m n ⋅-<>===-⨯，所以,120m n <>=，又因为二面角的大小与法向量夹角相等或互补， 所以二面角的大小可能是60或120. 故选：C7．已知向量(,,)x y z a a a a =，(,,)x y z b b b b =，{},,i j k 是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：()()(),,yz xy xz y z z y z x x z x y y x xy z yz xyxz xyz ij ka a a a a a ab a b a b i a b a b j a b a b k a a a b b b b b b b b b ⎛⎫⨯=-+-+-==-⎪ ⎪⎝⎭其中行列式计算表示为a b ad bc c d=-，若向量(2,1,4),(3,1,2),AB AC ==则AB AC ⨯=（ ）A ．(4,8,1)---B ．(1,4,8)--C ．(2,8,1)--D ．(1,4,8)---【答案】C 【详解】由题意得()()()()1241+4322+21132,8,1AB AC i j k ⨯=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=--， 故选：C.8．长方体1111ABCD A B C D -，110AB AA ==，25AD =，P 在左侧面11ADD A 上，已知P 到11A D ､1AA 的距离均为5，则过点P 且与1A C 垂直的长方体截面的形状为（ ）A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形【答案】B 【详解】以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()120,0,5,25,0,10,0,10,0P A C ，()125,10,10AC ∴=--， 设截面与11A D 交于(),0,10Q Q x ，则()20,0,5Q PQ x =-，()12520500Q AC PQ x ∴⋅=---=，解得18Qx =，即()18,0,10Q ， 设截面与AD 交于(),0,0M M x ，则()20,0,5M PM x =--，()12520500M AC PM x ∴⋅=--+=，解得22Mx =，即()22,0,0M ， 设截面与AB 交于()25,,0N N y ，则()3,,0N MN y =，1253100N AC MN y ∴⋅=-⨯+=，解得7.5Ny =，即()25,7.5,0N ， 过Q 作//QF MN ，交11B C 于F ，设(),10,10F F x ，则()18,10,0F QF x =-， 则存在λ使得QF MN λ=，即()()18,10,03,7.5,0F x λ-=，解得22F x =，故F 在线段11B C 上，过F 作//EF QM ，交1BB 于E ，设()25,10,E E z ，则()3,0,10E EF z =--，则存在μ使得EF QM μ=，即()()3,0,104,0,10E z μ--=-，解得 2.5E z =，故E 在线段1BB 上，综上，可得过点P 且与1A C 垂直的长方体截面为五边形QMNEF . 故选：B.9．在四面体ABCD 中，6AB =，3BC =，4BD =，若ABD ∠与ABC ∠互余，则()BA BC BD ⋅+的最大值为（ ）A ．20B ．30C ．40D ．50【答案】B 【详解】设ABD α∠=，可得2ABC πα∠=-，则α为锐角，在四面体ABCD 中，6AB =，3BC =，4BD =， 则()cos cos 2BA BC BD BA BC BA BD BA BC BA BD παα⎛⎫⋅+=⋅+⋅=⋅-+⋅ ⎪⎝⎭()18sin 24cos 30sin αααϕ=+=+，其中ϕ为锐角，且4tan 3ϕ=. 02πα<<，则2πϕαϕϕ<+<+，所以，当2παϕ+=时，()BA BC BD ⋅+取得最大值30.10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是底面ABCD 上的动点，则()111CE CA D B -⋅的最大值为（ ）A ．22B ．1C ．2D ．6【答案】B 【详解】以点D 为原点，1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则111(0,0,1),(1,1,1),(1,0,1),D B A设(,,0)E x y ，其中[],0,1x y ∈，则()()11111,,1,1,1,0CE CA A E x y D B -==--=， 所以111()11CE CA D B x y -⋅=+-≤，等号成立的条件是(1,1,0)E ，故其最大值为1， 故选：B ．11．如图，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且PA =AB ．若点M 为PD 中点，则直线CM 与PB 所成角的大小为（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．90°【答案】C 【详解】如图所示：以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 为单位向量建立空间直角坐标系A xyz -，设1PA =，则()0,0,0A ，()1,1,0C ，110,,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,0,1P ，()1,0,0B ， 故()1,0,1PB =-，111,,22MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故1132cos ,21111144PB MC PB MC PB MC+⋅===⋅+⋅++， 由异面直线夹角的范围是(]0,90︒︒，故直线CM 与PB 所成角的大小为30. 故选：C.12．如图，在正四面体ABCD 中，,,2BE EC CF FD DG GA ===，记平面EFG 与平面BCD ､平面ACD ､平面ABD ，所成的锐二面角分别为α､β､γ，则（ ）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．βαγ>>D ．γαβ>>【答案】A【详解】 解：(空间向量法)因为,,2BE EC CF FD DG GA ===，所以E ､F 分别为BC ､CD 的中点，G 为AD 上靠近A 的三等分点，取BD 的中点M ，连接CM ，过A 作AO ⊥平面BCD ，交CM 于点O ，在平面BCD 中过O 作//ON BD ，交CD 于N ，设正四面体ABCD 的棱长为2，则33OM =，233CO =，22222326233OA AC OC ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 以O 为原点，OC 为x 轴，ON 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，26A ⎛ ⎝⎭，31,0B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，23C ⎫⎪⎝⎭，3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,02E ⎫-⎪⎝⎭，31,062F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3146,939G ⎛- ⎝⎭，(0,1,0)EF =，53546,8691EG ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，232633AC ⎛=- ⎝⎭，32633AD ⎛=-- ⎝⎭，3261,33AB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，设平面EFG 的一个法向量为()1,,n x y z =，则110n EF n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即05354606y x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，不妨令1z =，则18,0,125n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，同理可计算出平面BCD ､平面ACD ､平面ABD 的一个法向量分别为2(0,0,1)n =，()32,6,1n =，4(22,0,1)n =-，则可得1212517co 1s 5n n n n α⋅==⋅，1313717co 1s 5n n n n β⋅==⋅，14149cos 1751n n n n γ⋅==⋅，所以cos cos cos αβγ<<，又cos y x =在()0.x π∈上递减，所以αβγ>>， 故选：A.13．在正四棱锥P ABCD -中，1PA PB PC PD AB =====，点Q ，R 分别在棱AB ，PC 上运动，当||QR 达到最小值时，||||PQ CQ 的值为（ ） A ．7010B ．355C ．3510D ．705【答案】A 【详解】以P 在底面的投影O 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设1(,,0)2Q a ，(,,)R m n q因为211(0(,0),22P C -，，112(,22PC =-， 又因为R 在PC 上，PR PC λ=所以(,m m q -=，11(,),22λλ-， 所以R 11(,2222λλ=--+，所以2222111222QR a λλ⎛⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭221324a a λλλ=+-++ 因为[]11,,0,122a λ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦设2213()24f a a a λλλ=+-++，2213()24g a a λλλλ=+-++ 对其求导()2f a a λ'=-，1()22g a λλ'=-+当二个导数同时为0时，取最小值，即20a λ-=，1202a λ-+=所以11,36a λ==时取最小值，所以1121,,,1,,02623PQ CQ ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以PQCQ==10，所以当||QR 达到最小值时，||||PQ CQ 的值为10. 14．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 、F 、G 分别为BC 、1CC 、1BB 的中点，则（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为1D ．点C 和点G 到平面AEF 的距离相等 【答案】B 【详解】以D 点为坐标原点，DA 、DC 、1DD 为x ，y ，z 轴建系，则(000)D ，，、(100)A ，，、()010C ，，、1(101)A ，，、1(001)D ，，、 1(10)2E ，，、1(01)2F ，，，1(11)2G ，，， 则()1001DD =，，、1112AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，则112DD AF ⋅=， ∴直线1D D 与直线AF 不垂直，A 错误;则11012A G ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，1102AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，1112AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，， 设平面AEF 的法向量为()n x y z =，，，则10021002x y AE n AF n x y z ⎧-+=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-++=⎪⎩，令2x =，则1y =，2z =，则(212)n =，，，10AG n ⋅=，∴直线1A G 与平面AEF 平行，B 正确; 易知四边形1AEFD 为平面AEF 截正方体所得的截面，且1D F 、DC 、AE 共点于H ，15D H AH ==，12AD =，∴121232(5)()222AD H S ∆=⨯⨯-=，则113948AD HAEFD S S =⋅=四边形，C 错误; (110)AC =-，，，点C 到平面AEF 的距离113AC n d n⋅==， 1012AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，点G 到平面AEF 的距离223AG n d n ⋅==，则12d d ≠，D 错误;故选:B ．15．如图所示，1111ABCD A B C D -是棱长为6的正方体，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE BF =.当1A 、E 、F 、1C 共面时，平面1A DE 与平面1C DF 所成锐二面角的余弦值为（ ）A ．15B ．12C ．32D ．65【答案】B 【详解】以点D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则1(606)A ，，、(000)D ，，、1(066)C ，，，由题意知：当(630)E ，，、(360)F ，，时，1A 、E 、F 、1C 共面， 设平面1A DE 的法向量为1111()n x y z =，，，1(606)DA =，，，(630)DE =，，， 则1111111660{630n DA x z n DE x y ⋅=+=⋅=+=，取11x =，解得1(121)n =--，，，设平面1C DF 的法向量为2222()n x y z =，，，1(066)DC =，，，(360)DF =，，， 则2122222660{360n DC y z n DF x y ⋅=+=⋅=+=，取22x =，解得2(211)n =-，，，设平面1A DE 与平面1C DF 所成锐二面角为θ，则1212121cos cos 266n n n n n n θ⋅====⋅⋅，， ∴平面1A DE 与平面1C DF 所成锐二面角的余弦值为12， 故选：B.二、解答题16．在三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，13AA =AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E 是1B C 的中点.（1）求证：平面1AB C ⊥平面11ABB A ； （2）求直线AE 与平面11AAC C 所成角的正弦值. 【详解】（1）由1B C ⊥平面ABC ，AB 平面ABC ，得1AB B C ⊥，又AB AC ⊥，1CB AC C =，故AB ⊥平面1AB C ，AB 平面11ABB A ，故平面11ABB A ⊥平面1AB C .（2）以C 为原点，CA 为x 轴，1CB 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则()0,0,0C ，()1,0,0A ，()1,1,0B 又2BC =113BB AA ==故11CB =，()10,0,1B ，10,0,2E ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0,0CA = ()111,1,1AA BB ==--，11,0,2AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设平面11AAC C 的一个法向量为(),,n x y z =，则100n CA n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x x y z =⎧⎨--+=⎩，令1y =，则1z =， ()0,1,1n =， 设直线AE 与平面11AAC C 所成的角为θ，故1102sin 1214n AE n AEθ⋅===⨯+，即直线AE 与平面11AAC C 所成角的正弦值为1010.17．如图1，矩形ABCD 中，3AB BC =，将矩形ABCD 折起，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，连接AF 、CE ，以AF 和EF 为折痕，将四边形ABFE 折起，使点B 落在线段FC 上，将CDE △向上折起，使平面DEC ⊥平面FEC ，如图2.（1）证明：平面ABE ⊥平面EFC ；（2）连接BE 、BD ，求锐二面角A BE D --的正弦值. 【详解】（1）证明：在平面ABCD 中，AF =FC ，BF +FC 3AB ， 设3AB a =，则3BC a =，设BF =x ，在BAF △中，()22233x a a x +=-，解得x a =，则2AF FC a ==， 因为点B 落在线段FC 上，所以BC DE a ==，所以BE FC ⊥， 又AB BF ⊥即AB CF ⊥，AB BE B =，,AB BE ⊂平面ABE ，所以CF ⊥平面ABE ，由CF ⊂平面EFC 可得平面ABE ⊥平面EFC ；（2）以F 为原点,FC 为x 轴，过点F 平行BE 的方向作为作y 轴，过点F 垂直于平面EFC 的方向作为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()2,0,0,0,0,0,3,0,,0,0C a F E a a B a ，()0,3,0BE a =， 易得平面ABE 的一个法向量为()2,0,0FC a =，作DG EC ⊥于G ， 因为平面DEC ⊥平面FEC ，所以DG ⊥平面EFC ，则5334a G a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，53334a a D a ⎛ ⎝⎭，13334a a BD a ⎛= ⎝⎭，设平面DBE 的一个法向量为(),,n x y z =，则3013330442n BE ay a an BD ax y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令3z =(3n =-， 因为12239cos ,13239n FC n FC a n FC⋅--===⋅⋅，所以锐二面角A -BE -D 223913113⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭. 18．如图，在三梭柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B ，11AAC C 均为菱形，12AA =，1160ABB ACC ∠=∠=︒，D 为AB 的中点.（Ⅰ）求证：1//AC 平面1CDB ；（Ⅱ）若60BAC ∠=︒，求直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值. 【详解】解：（Ⅰ）连结1BC ，与1B C 交于点O ，连结OD ， 四边形11BB C C 是平行四边形，O 为1B C 中点，D 为AB 中点，得1//AC OD ，又OD ⊂平面1CDB ，故1//AC 平面1CDB ；（Ⅱ）方法一：由12AB AC ==，12AC AB ==，且O 为1B C ，1BC 的中点， 得1AO BC ⊥，1AO B C ⊥，11B C BC =， 又1BC ，1CB 为平面11BB C C 内两条相交直线，得AO ⊥平面11BB C C ，故1AC B ∠即为直线1AC 与平面11BB C C 所成的角； 由60BAC ∠=︒，2AB AC ==，2BC =，得四边形11BB C C 为菱形，又11B C BC =，故四边形11BB C C 为正方形，122BC =则1ABC 为等腰直角三角形，且12BAC π∠=，故14AC B π∠=，12sin 2AC B ∠=， 因此，直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值为22.方法二：以D 为原点，分别以射线DB ，1DB ，CD 为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,0D ，()1,0,0A -，()1,0,0B ，()13,0A -，()13,0B ， 由60BAC ∠=︒，2AB AC ==，ABC 为正三角形， 故CD AB ⊥，又1B D AB ⊥，所以AB ⊥平面1CDB ， 设()0,,C y z ，由2CA =，123CA =，得(22223,38,y z y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩即36,3y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3260,33C ⎛- ⎝⎭， 由11B C BC ，得12326C ⎛- ⎝⎭，所以12326AC ⎛= ⎝⎭，()11,3,0BB =-，3261,,33BC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭； 设平面11BB C C 的一个法向量为()111,,n x y z =，由10,0,n BB n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩得1111130,33260,x y x y z ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩可取()3,1,2n =，设直线1AC 与平面11BB C C 所成角为θ， 则1112sin cos ,2AC n AC n AC nθ⋅===， 因此，直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值为22. 19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 和11BCC B 都是正方形，平面11ABB A ⊥平面11BCC B ，,D E 分别为1BB ，AC 的中点．（1）求证：//BE 平面1A CD ．（2）求直线1B E 与平面1A CD 所成角的正弦值． 【详解】（1）证明：取1A C 中点F ，连接DF ，EF ， ∵,E F 分别为1,AC A C 的中点，∴1//EF AA ，且112EF AA =，又四边形11ABB A 是正方形，∴11//BB AA 且11BB AA =， 即1//EF BB 且112EF BB =，又∵D 为1BB 中点，∴//EF BD 且EF BD =，所以四边形EFDB 为平行四边形，所以//BE DF ，又BE ⊄平面1A CD ，DF ⊂平面1A CD ，所以//BE 平面1A CD .（2）由题意，1,,BA BC BB 两两垂直，所以以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设12BA BC BB ===，则11(0,2,0),(1,0,1),(2,0,0),(0,1,0),(0,2,2)B E C D A . ，11(1,2,1),(2,1,0),(2,2,2)B E CD AC =-=-=-，设平面 1A CD 的法向量为(),,m x y z =， 则100AC m CD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即222020x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩，得()1,2,1m =- 设直线1B E 与平面1A CD 所成角为θ，1111412sin cos ,366B E m B E mB E mθ， 所以直线1B E 与平面1A CD 所成角的正弦值为23.。
从向量角度解释线面垂直判定定理
从向量角度解释线面垂直判定定理嘿，咱今天就来好好唠唠从向量角度解释线面垂直判定定理这事儿。
你想啊，线面垂直，就好像一个大力士稳稳地站直了，谁也推不倒它！那向量又是啥呢？向量就像是有方向的小箭头呀！
咱说线面垂直判定定理，那就是如果一条直线和一个平面内的两条
相交直线都垂直，那这条直线就和这个平面垂直啦。
这就好比在一个
班级里，有个同学能把班上最调皮的两个家伙都镇住，那他在这个班
级里肯定就特别牛，大家都得服他！对吧？
用向量来解释呢，就是如果一条直线的方向向量和平面内两条不平
行的向量都垂直，那这条直线就和这个平面垂直咯。
比如说，你想象
一下，有个小箭头和另外两个小箭头怎么都合不来，一碰上就互相垂直，那这个小箭头代表的直线不就和那两个小箭头所在的平面垂直了嘛！
咱再举个例子啊，就像你走路，你走的方向和路边的两棵树的方向
都成直角，那你不就和那两棵树所在的地面垂直啦？这多形象呀！
哎呀，这么一解释，是不是感觉线面垂直判定定理一下子就好懂了呀！其实数学里很多东西都能找到生活中的例子来帮助理解呢。
所以呀，别觉得数学难，只要咱用心去琢磨，去发现，就能找到其中的乐
趣和奥秘。
我觉得从向量角度解释线面垂直判定定理真的是让这个定理变得更加清晰易懂了呢，它让抽象的概念变得具体可感，就像是给我们打开了一扇通往数学奇妙世界的大门呀！。
直线平面垂直判定定理向量法证明
直线平面垂直判定定理向量法证明直线平面垂直判定定理是解决几何问题中常用的一个定理，它判断了一条直线和一个平面是否垂直。
本文将使用向量法来证明这个定理。
我们需要了解一些基本概念和性质。
1. 向量的定义和性质向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
两个向量可以相加、相减，并且可以与实数相乘。
向量的长度称为模，方向由箭头指示。
2. 内积的定义和性质两个向量u和v的内积定义为：u·v = |u||v|cosθ，其中θ是两个向量之间的夹角。
内积满足交换律：u·v = v·u，并且对于任意实数k，有(ku)·v = u·(kv) = k(u·v)。
3. 垂直的定义和性质两个向量u和v垂直（或正交）当且仅当它们的内积为零：u·v = 0。
如果两个非零向量垂直，则它们互为对方在另一个方向上的单位向量。
4. 平行线与平面一条直线与一个平面垂直当且仅当该线上任意一点到该平面上任意一点的向量与该直线的方向向量垂直。
根据以上基本概念和性质，我们可以证明直线平面垂直判定定理。
证明如下：【第一部分：平行线与平面的垂直性质】假设有一条直线L和一个平面P，我们需要证明L与P垂直的条件。
1. 设L上有一点A，P上有一点B，并且从A到B的向量为u。
2. 设L的方向向量为v。
3. 设P上任意一点C，并且从A到C的向量为w。
根据定义，我们知道u·v = 0。
现在我们需要证明u·w = 0。
由于P是一个平面，所以AC在该平面上。
w是该平面上任意一点到A的向量。
根据定义，我们知道v与w垂直。
根据内积的性质（交换律），我们可以得到：(u + v)·w = u·w + v·w = 0由于v与w垂直，所以v·w = 0。
(u + v)·w = u·w + 0 = u·w = 0u与w也是垂直的。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.2利用向量解决平行、垂直问题讲义
3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题1．用向量方法证明空间中的平行关系(1)证明线线平行设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔□01a∥b⇔□02 a＝λb⇔□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)证明线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔□04a⊥u⇔□05a·u＝0⇔□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)证明面面平行①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔□07u∥v⇔u＝λv⇔□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．2．用向量方法证明空间中的垂直关系(1)证明线线垂直设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2⇔□09u1⊥u2⇔□10u1·u2＝0⇔□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)证明线面垂直设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔□12 u∥v⇔□13u＝λv(λ∈R)⇔□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)证明面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔□15u ⊥v⇔□16u·v＝0⇔□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( )(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( )答案 (1)× (2)√ (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若直线l 1的方向向量为u 1＝(1,3,2)，直线l 2上有两点A (1,0,1)，B (2，－1,2)，则两直线的位置关系是________．(2)若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________．(3)已知两平面α，β的法向量分别为u 1＝(1,0,1)，u 2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________．(4)若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．答案 (1)垂直 (2)垂直 (3)垂直 (4)－10探究1 利用空间向量解决平行问题例1 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[证明] (1)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0，0,1)，B 1(2,2,2)， 所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →， 即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)因为C 1B 1→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F . 拓展提升利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．【跟踪训练1】 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .证明 证法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .则P (3,0,1)，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S (0,4,1)， PQ →＝(－3,2,1)，RS →＝(－3,2,1)，∴PQ →＝RS →，∴PQ →∥RS →，即PQ ∥RS . 证法二：RS →＝RC →＋CS →＝12DC →－DA →＋12DD 1→，PQ →＝PA 1→＋A 1Q →＝12DD 1→＋12DC →－DA →，∴RS →＝PQ →，∴RS →∥PQ →，即RS ∥PQ . 探究2 利用空间向量解决垂直问题例2 如图，在四棱锥E －ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，AB ＝BC ＝CE ＝2CD ＝2，∠BCE ＝120°.求证：平面ADE ⊥平面ABE .[证明] 取BE 的中点O ，连接OC ，则OC ⊥EB ， 又AB ⊥平面BCE .∴以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz .如图所示．则由已知条件有C (1，0,0)，B (0，3，0)，E (0，－3，0)，D (1,0,1)，A (0，3，2)． 设平面ADE 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则n ·EA →＝(a ，b ，c )·(0,23，2)＝23b ＋2c ＝0，n ·DA →＝(a ，b ，c )·(－1，3，1)＝－a ＋3b ＋c ＝0.令b ＝1，则a ＝0，c ＝－3， ∴n ＝(0,1，－3)．∵AB ⊥平面BCE ，∴AB ⊥OC ，又OC ⊥EB ，且EB ∩AB ＝B ，∴OC ⊥平面ABE ， ∴平面ABE 的法向量可取为m ＝(1,0,0)． ∵n ·m ＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0， ∴n ⊥m ，∴平面ADE ⊥平面ABE . 拓展提升利用向量法证明几何中的垂直问题的两条途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的垂直关系． (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行证明．证明线面垂直时，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．在判定两个平面垂直时，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.【跟踪训练2】 如右图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明 证法一：设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1→＝b ，则EF →＝EB 1→＋B 1F →＝12(BB 1→＋B 1D 1→)＝12(AA 1→＋BD →)＝12(AA 1→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，∵AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b .∴EF →·AB 1→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b ) ＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1，同理，EF ⊥B 1C . 又AB 1∩B 1C ＝B 1， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法二：设正方体的棱长为2，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2,2,1)，F (1,1,2)．∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1,1)．AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)，∴EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF →⊥AB 1→，EF →⊥AC →， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC . 又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法三：同法二得AB 1→＝(0,2,2)，AC →＝(－2,2,0)， EF →＝(－1，－1,1)．设面B 1AC 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则AB →1·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝－1，∴n ＝(1,1，－1)，∴EF →＝－n ，∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC . 探究3 与平行、垂直有关的探索性问题例3 如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得平面AMC ⊥平面BMC ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：如图，以O 为原点，以射线OD 为y 轴的正半轴，射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)， AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，由此可得AP →·BC →＝0，所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC .(2)假设存在满足题意的M ，设PM →＝λPA →，λ≠1，则PM →＝λ(0，－3，－4)．BM →＝BP →＋PM →＝BP →＋λPA →＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC →＝(－4,5,0)．设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧BM →·n 1＝0，BC →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4x 1－(2＋3λ)y 1＋(4－4λ)z 1＝0，－8x 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝2＋3λ4－4λy 1，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，2＋3λ4－4λ.由⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AC →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＋4z 2＝0，－4x 2＋5y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝54y 2，z 2＝－34y 2，可取n 2＝(5,4，－3)，由n 1·n 2＝0，得4－3×2＋3λ4－4λ＝0，解得λ＝25，故PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－65，－85，AM →＝AP →＋PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125，所以AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3. 拓展提升利用向量解决探索性问题的方法对于探索性问题，一般先假设存在，利用空间坐标系，结合已知条件，转化为代数方程是否有解的问题，若有解满足题意则存在，若没有满足题意的解则不存在．【跟踪训练3】 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1)求证：BC 1⊥平面AB 1C ；(2)在AB 上是否存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1.解 (1)证明：由已知AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，因而△ABC 是∠ACB 为直角的直角三角形，由三棱柱是直三棱柱，则CC 1⊥平面ABC ，以CA ，CB ，CC 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，从而CA →＝(3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)，则BC 1→·CA →＝(0，－4,4)·(3,0,0)＝0，则BC 1→⊥AC →，所以BC 1⊥AC .又四边形BCC 1B 1为正方形，因而BC 1⊥B 1C .又∵B 1C ∩AC ＝C ，∴BC 1⊥平面AB 1C .(2)假设存在点D (x ，y,0)，使得AC 1∥平面CDB 1，CD →＝(x ，y,0)，CB 1→＝(0,4,4)， 设平面CDB 1的法向量m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝0，m ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧xa ＋yb ＝0，4b ＋4c ＝0.令b ＝－x ，则c ＝x ，a ＝y ，所以m ＝(y ，－x ，x )，而AC 1→＝(－3,0,4)，则AC 1→·m ＝0，得－3y ＋4x ＝0.① 由D 在AB 上，A (3,0,0)，B (0,4,0)得x －3－3＝y4，即得4x ＋3y ＝12，② 联立①②可得x ＝32，y ＝2，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0，即D 为AB 的中点． 综上，在AB 上存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1，点D 为AB 的中点．1.利用向量证明线线平行的两种思路一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基底思路，通过向量的线性运算，利用共线向量定理证明.2.向量法证明线线垂直的方法用向量法证明空间中两条直线相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量相互垂直．具体方法为：(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其数量积为0.(2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来．利用数量积运算说明两向量的数量积为0.3.向量法证明线面垂直的方法(1)向量基底法，具体步骤如下：①设出基向量，用基向量表示直线的方向向量；②找出平面内两条相交直线的方向向量并分别用基向量表示；③分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.(2)坐标法，具体方法如下：方法一：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示；④分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.方法二：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③求平面的法向量；④说明平面的法向量与直线的方向向量平行.4.证明面面垂直的两种思路一是证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；二是证明两平面的法向量垂直.1．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面( ) A．xOy平行B．xOz平行C．yOz平行D．yOz相交答案 C解析 因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz .2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确 答案 A解析 ∵v ＝－3u ，∴α∥β.3．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z 等于( )A ．3B ．6C ．－9D ．9 答案 C解析 ∵l ⊥α，v 与平面α平行，∴u ⊥v ，即u ·v ＝0，∴1×3＋3×2＋z ×1＝0，∴z ＝－9.4．在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，在如图所示的空间直角坐标系中，下列向量中是平面PAB 的法向量的是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12 B ．(1，2，1) C ．(1,1,1) D ．(2，－2,1) 答案 A解析 PA →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)，设平面PAB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则x －2＝0，即x ＝2；－x ＋y ＝0，即y ＝x ＝2.所以n ＝(2,2,1)．因为⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12＝12n ，所以A正确．5．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱BB 1的中点，在棱DD 1上是否存在点P ，使MD ⊥平面PAC?解 如图，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12.假设存在P (0,0，x )满足条件，则PA →＝(1,0，－x )，AC →＝(－1,1,0)．设平面PAC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－xz 1＝0，－x 1＋y 1＝0.令x 1＝1得y 1＝1，z 1＝1x ，即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，1x ， 由题意MD →∥n ，由MD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1，－12，得x ＝2， ∵正方体棱长为1，且2>1，∴棱DD 1上不存在点P ，使MD ⊥平面PAC .。
用空间向量证明线线垂直与线面垂直
第二节 用空间向量证明线线垂直与线面垂直一、空间向量及其数量积1、 在空间，既有大小又有方向的量称为空间向量。
用AB 或a 表示，其中向量的大小称为向量的长度或或a。
正如平面向量可用坐标(x,y.)表示，空间向量也可用坐标(x,y,z)表示。
若已知点A 坐标为（x 1，y 1，z 1）,点B 坐标为（x 2，y 2，z 2） 则向量AB =（x 2 -x 1，y 2- y 1，z 2 -z 1）即是终点坐标减起点坐标。
在空间，知道向量=（x ，y ，z=222z y x ++2、 空间向量数量积① 已知两个非零向量a 、b ，在空间任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则角∠AOB 叫向量a 与b 的夹角，记作＜a ，b ＞规定，若0≤＜a ，b ＞≤π，若＜a ，b ＞=2π，称a 与b 垂直，记作a ⊥。
② 已知空间两个向量a 、bCOS ＜a ，b ＞叫向量a 、b 的数量积，记作b a ⋅COS＜，＞若⊥⇔a ⋅＝０③ 若已知空间向量a ＝（x 1，y 1，z 1）， b ＝（x 2，y 2，z 2） 则a ∙b ＝x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 ， COS ＜a ，222222212121212121z y x z y x z z y y x x ++⋅++++=例１ 如图，已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=900,D 1、E 1分别为A 1B 1、A 1C 1中点，若BC=CA=CC 1，求向1BD 与1AE 所成角的余弦值。
C 1B 1 Ａ1ＡＣＢ D 1 E 1练习：已知正方体ABCD —1111D C B A 中，11E B =11F D =411B A ，求向量1BE 与1DF 所成角的余弦值。
二 、利用向量证线线垂直与线面垂直例2 在正方体ABCD —1111D C B A 中，求证A 1C ⊥平面AB 1D 1练习：在正方体ABCD —1111D C B A 中，O 为底面ABCD 的中心，P 为DD 1的中点， 求证：B 1O ⊥平面PAC 。
空间向量证明线面垂直
空间向量证明线面垂直
在三维空间中，我们可以使用向量来证明线和面的垂直关系。
假设有一条直线 L，其方向向量为 a，过一点 P 的平面方程为 Ax
+ By + Cz + D = 0。
我们要证明直线 L 与平面的法向量垂直。
首先，我们知道直线 L 上的任意一点可以表示为 P = P0 + ta，其中 P0 是直线上的一个特定点，a 是直线的方向向量，t 是一个
实数。
假设直线 L 与平面的法向量为 n = (A, B, C)。
现在我们来证明直线 L 与平面的法向量垂直。
我们知道如果两
个向量垂直，它们的点积为零。
因此，我们可以计算直线的方向向
量与平面的法向量的点积：
a · n = Aa1 + Ba2 + Ca3。
其中，a1、a2 和 a3 是向量 a 的分量。
由于直线 L 上的任意
一点 P 可以表示为 P0 + ta，我们可以将 P 的坐标代入平面方程中：
A(P0x + tax) + B(P0y + tay) + C(P0z + taz) + D = 0。
展开并整理得到：
t(Aa1 + Ba2 + Ca3) + (AP0x + BP0y + CP0z + D) = 0。
由于上式对于直线 L 上的任意点成立，因此必须有 Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0。
这意味着直线的方向向量与平面的法向量垂直，即直线和平面垂直。
因此，我们使用空间向量证明了直线和平面的垂直关系。
这种方法可以帮助我们在三维空间中分析线和面的相互关系，为我们理解空间中的几何关系提供了有力的工具。
第3章3.2 立体几何中的向量方法(二)垂直关系
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
授人以渔
第6页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
题型一 利用空间向量证明线线垂直 例 1 已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的各棱 长都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC1 上的点，且 CN＝14CC1.求证：AB1⊥MN.
第7页
第15页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
探究 2 如何利用向量法证明线面垂直？ 用向量法证明线面垂直的方法步骤： (1)坐标法： ①建立空间直角坐标系，将直线的方向向量用坐标表示． ②求平面内任意两条相交直线的方向向量或平面的法向量． ③证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂 直或与平面的法向量平行．
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
1．若两个不同平面 α，β 的法向量分别为 u＝(2，1，－1)，
v＝(3，2，8)，则( )
A．α ∥β
B．α ⊥β
C．α ，β 相交不垂直 答案 B
D．以上均不正确
解析 ∵v·u＝6＋2－8＝0.
∴v⊥u，∴α⊥β.
第32页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 方法一：(基向量法) 设A→B＝a，A→C＝b，A→A1＝c，则由已知条件和正三棱柱的性 质，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0. A→B1＝a＋c，A→M＝12(a＋b)，A→N＝b＋14c， M→N＝A→N－A→M＝－12a＋12b＋14c， ∴A→B1·M→N＝(a＋c)·(－12a＋12b＋14c) ＝－12＋12cos60°＋14＝0. ∴A→B1⊥M→N，∴AB1⊥MN.
a，0)．
第23页
线面垂直的判定定理的证明方法
线面垂直的判定定理的证明方法线面垂直是三维空间中一个非常重要的概念，不仅在数学中有广泛的应用，而且在工程学和物理学中也有着非常大的作用。
本文将介绍线面垂直的判定定理的证明方法。
一、定义我们先来明确什么是“线面垂直”。
设线段AB的起点为A，终点为B，面平行于向量n，如图所示：若向量AB与向量n垂直，则称线段AB与平面垂直。
二、判定定理现在我们可以给出线面垂直的判定定理：定理：线段AB与平面N垂直的充分必要条件是向量AB与法向量n垂直。
即，AB⊥N⟺AB⊥n三、证明方法下面，我们将给出上述定理的证明方法。
对于任意一点M在平面N上，根据向量的定义，我们可以得到→NM=A→+x*n→其中，A是向量N平面上的任意一点到M的向量，x是实数。
由于向量A在平面N上，所以A⋅n=0所以，x*n⋅n=0因此，x=（-A*n）/ (n*n)，其中“A”点表示向量A的模长。
所以，→NM=A→+[-A*n]/(n*n)*n→由于向量AB=→BM-→BN，所以→AB=→BM-→BN=→NM-→NB因此，→AB=[A→+[-A*n]/(n*n)*n→]-B→= [A→-B→]+[-A*n]/(n*n)*n→由于向量AB与n垂直，我们可以得到→AB⋅n=([A→-B→]+[-A*n]/(n*n)*n→)⋅n=A→⋅n-B→⋅n-[-A*n]/(n*n)*n→⋅n=A→⋅n-B→⋅n-[-A*n]由于A点在平面N上，所以A→⋅n=0因此，→AB⋅n=-B→⋅n-[-A*n]也就是说，→AB⊥n⟺-B→⋅n-[-A*n]=0⟺B→⋅n=[-A*n]B→⋅n 是向量B在n上的投影，[-A*n]是向量A的负向量在n上的投影。
因此，当且仅当向量AB与n垂直时，向量B在n上的投影等于向量A 的负向量在n上的投影，即B→⋅n=[-A*n]。
综上所述，向量AB垂直于平面N的充分必要条件是向量AB垂直于平面N的法向量n，即AB⊥N⟺AB⊥n。
四、总结本文介绍了线面垂直的判定定理及其证明方法。
3.2(二)向量方法证明空间线面垂直关系
学习目标 1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.知识点一 向量法判断线线垂直思考 若直线l 1的方向向量为μ1＝(1，3，2)，直线l 2的方向向量为μ2＝(1，－1，1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？答案 l 1与l 2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是两直线的方向向量，所以l 1与l 2垂直.判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上分别取两点A 、B 与C 、D ，计算向量AB →与CD →的坐标，若AB →·CD →＝0，则两直线垂直，否则不垂直.(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直. 梳理 设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 知识点二 向量法判断线面垂直思考 若直线l 的方向向量为μ1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43，1，平面α的法向量为μ2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，32，则直线l 与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？ 答案 垂直，因为μ1＝23μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l 与平面α垂直.判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线l 的方向向量与平面α的法向量共线⇒l ⊥α.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面. (3)直线l 的方向向量与平面α的两相交直线的方向向量垂直⇒l ⊥α.梳理 设直线l 的方向向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量μ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ(k ∈R ). 知识点三 向量法判断面面垂直思考 平面α，β的法向量分别为μ1＝(x 1，y 1，z 1)，μ2＝(x 2，y 2，z 2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？ 答案 x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.梳理 若平面α的法向量为μ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为ν＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.类型一 证明线线垂直例1 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .证明 设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OO 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，14，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，∵M 为BC 中点， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，0. ∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，14，AB 1→＝(1，0，1)，∴MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0.∴MN →⊥AB 1→，∴AB 1⊥MN .反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求证：AC ⊥BC 1.证明 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直.如图，以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则C (0，0，0)，A (3，0，0)，C 1(0，0，4)，B (0，4，0)， ∵AC →＝(－3，0，0)，BC 1→＝(0，－4，4)， ∴AC →·BC 1→＝0.∴AC ⊥BC 1. 类型二 证明线面垂直例2 如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点.求证：AB 1⊥平面A 1BD .证明 如图所示，取BC 的中点O ，连接AO .因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，以OB →，OO 1→，OA →分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0). 所以AB 1→＝(1，2，－3)，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0). 因为AB 1→·BA 1→＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0.AB 1→·BD →＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0.所以AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →，即AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD . 又因为BA 1∩BD ＝B ，所以AB 1⊥平面A 1BD . 反思与感悟 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 方法一：(1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)找出平面两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量. (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 方法二：(1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示. (3)求出平面的法向量.(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.跟踪训练2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点.求证：直线PB 1⊥平面PAC .证明 如图建系，C (1，0，0)，A (0，1，0)，P (0，0，1)，B 1(1，1，2)，PC →＝(1，0，－1)，PA →＝(0，1，－1)，PB 1→＝(1，1，1)，B 1C →＝(0，－1，－2)，B 1A →＝(－1，0，－2).PB 1→·PC →＝(1，1，1)·(1，0，－1)＝0，所以PB 1→⊥PC →，即PB 1⊥PC .又PB 1→·PA →＝(1，1，1)·(0，1，－1)＝0， 所以PB 1→⊥PA →，即PB 1⊥PA .又PA ∩PC ＝P ，所以PB 1⊥平面PAC . 类型三 证明面面垂直例3 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明 由题意知直线AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以点B 为原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，0，0)，A 1(2，0，1)，C (0，2，0)，C 1(0，2，1)，E (0，0，12)，故AA 1→＝(0，0，1)，AC →＝(－2，2，0)，AC 1→＝(－2，2，1)，AE →＝(－2，0，12).设平面AA 1C 1C 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AA 1→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0.令x ＝1，得y ＝1，故n 1＝(1，1，0). 设平面AEC 1的法向量为n 2＝(a ，b ，c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＋c ＝0，－2a ＋12c ＝0.令c ＝4，得a ＝1，b ＝－1，故n 2＝(1，－1，4). 因为n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0， 所以n 1⊥n 2.所以平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .反思与感悟 证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练3 在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝30°，E 、F 分别是AC 、AD 的中点，求证：平面BEF ⊥平面ABC .证明 以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设A (0，0，a )，则易得B (0，0，0)，C ⎝⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，D (0，3a ，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，a 2，F (0，32a ，a 2)，故AB →＝(0，0，－a )，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0.设平面ABC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－az 1＝0，x 1＋y 1＝0，取x 1＝1，∴n 1＝(1，－1，0)为平面ABC 的一个法向量. 设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面BEF 的一个法向量， 同理可得n 2＝(1，1，－3).∵n 1·n 2＝(1，－1，0)·(1，1，－3)＝0， ∴平面BEF ⊥平面ABC .1.下列命题中，正确命题的个数为( )①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ⇔ n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的法向量，a 与平面α平行，则n ·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直. A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C解析 ①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确. 2.已知两直线的方向向量为a ，b ，则下列选项中能使两直线垂直的为( ) A.a ＝(1，0，0)，b ＝(－3，0，0) B.a ＝(0，1，0)，b ＝(1，0，1)C.a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1)D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)答案 B解析因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B.3.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为μ＝(－2，0，－4)，则( )A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交答案 B解析∵a∥μ，∴l⊥α.4.平面α的一个法向量为m＝(1，2，0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系是( )A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.不能确定答案 C解析∵(1，2，0)·(2，－1，0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面垂直.5.已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1，0，5)，ν＝(t，5，1)，则t的值为________.答案 5解析∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直，∴μ·ν＝0，即(－1)×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.空间垂直关系的解决策略40分钟课时作业一、选择题1.设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2，2，1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A.－2B.2C.6D.10 答案 D解析 因为a ⊥b ，故a ·b ＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m ＝0，解得m ＝10.2.若平面α，β的法向量分别为a ＝(－1，2，4)，b ＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为( )A.10B.－10C.12D.－12答案 B解析 因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直， 所以a ·b ＝(－1，2，4)·(x ，－1，－2)＝0， 解得x ＝－10.3.已知点A (0，1，0)，B (－1，0，－1)，C (2，1，1)，P (x ，0，z )，若PA ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为( )A.(1，0，－2)B.(1，0，2)C.(－1，0，2)D.(2，0，－1) 答案 C解析 由题意知AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2，0，1)，AP →＝(x ，－1，z )，又PA ⊥平面ABC ，所以有AB →·AP →＝(－1，－1，－1)·(x ，－1，z )＝0，得－x ＋1－z ＝0， ① AC →·AP →＝(2，0，1)·(x ，－1，z )＝0，得2x ＋z ＝0，②联立①②得x ＝－1，z ＝2，故点P 的坐标为(－1，0，2).4.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A.AC B.BD C.A 1D D.A 1A答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则A (0，1，0)，B (1，1，0)，C (1，0，0)，D (0，0，0)，A 1(0，1，1)，C 1(1，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1，AC →＝(1，－1，0)，BD →＝(－1，－1，0)，A 1D →＝(0，－1，－1)，A 1A →＝(0，0，－1)，∵CE →·BD →＝(－1)×(－12)＋(－1)×12＋0×1＝0，∴CE ⊥BD .5.若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是( ) A.n 1＝(1，2，1)，n 2＝(－3，1，1) B.n 1＝(1，1，2)，n 2＝(－2，1，1) C.n 1＝(1，1，1)，n 2＝(－1，2，1) D.n 1＝(1，2，1)，n 2＝(0，－2，－2) 答案 A解析 ∵1×(－3)＋2×1＋1×1＝0， ∴n 1·n 2＝0，故选A.6.两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z )，v ＝(－2，－y ，1)，若α⊥β，则y ＋z 的值是( )A.－3B.6C.－6D.－12 答案 B解析 α⊥β⇒μ·v ＝0⇒－6＋y ＋z ＝0，即y ＋z ＝6. 二、填空题7.在三棱锥S －ABC 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，则异面直线SC 与BC 是否垂直________.(填“是”或“否”) 答案 是解析 如图，以A 为原点，AB ，AS 分别为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，得B (0，17，0)，S (0，0，23)，C ⎝⎛⎭⎪⎫21317，417，0， SC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21317，417，－23，CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－21317，1317，0. 因为SC →·CB →＝0，所以SC ⊥BC .8.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1).对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________.(填序号) 答案 ①②③解析 ∵AP →·AB →＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，∴AP ⊥AB ，即①正确；∵AP →·AD →＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，∴AP ⊥AD ，即②正确；又∵AB ∩AD ＝A ， ∴AP ⊥平面ABCD ，即AP →是平面ABCD 的一个法向量，即③正确； ∵AP →是平面ABCD 的法向量， ∴AP →⊥BD →，即④不正确.9.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点P (2cos x ＋1，2cos 2x ＋2，0)和点Q (cos x ，－1，3)，其中x ∈[0，π].若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________. 答案π2或π3解析 由题意得OP →⊥OQ →，∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos 2x ＋2)＝0. ∴2cos 2x －cos x ＝0， ∴cos x ＝0或cos x ＝12.又x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3. 10.在△ABC 中，A (1，－2，－1)，B (0，－3，1)，C (2，－2，1).若向量n 与平面ABC 垂直，且|n |＝21，则n 的坐标为________________.答案 (－2，4，1)或(2，－4，－1)解析 据题意，得AB →＝(－1，－1，2)，AC →＝(1，0，2).设n ＝(x ，y ，z )，∵n 与平面ABC 垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋2z ＝0，x ＋2z ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4z ，y ＝－2x . ∵|n |＝21，∴x 2＋y 2＋z 2＝21，解得y ＝4或y ＝－4.当y ＝4时，x ＝－2，z ＝1；当y ＝－4时，x ＝2，z ＝－1.三、解答题11.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点.证明：CD ⊥平面PAE .证明 如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设PA ＝h ，则相关各点的坐标为A (0，0，0)，B (4，0，0)，C (4，3，0)，D (0，5，0)，E (2，4，0)，P (0，0，h ).易知CD →＝(－4，2，0)，AE →＝(2，4，0)，AP →＝(0，0，h ).因为CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP ，而AP ，AE 是平面PAE 的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE .12.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动.求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .证明 建立如图所示空间直角坐标系，则P (0，0，1)，B (0，1，0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，D ()3，0，0，设BE ＝x (0≤x ≤3)，则E (x ，1，0)，PE →·AF →＝(x ，1，－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12＝0， 所以x ∈[0， 3 ]时都有PE ⊥AF ，即无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .13.已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点.(1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置.(1)证明 以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a ，则 A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a ).设E (0，a ，e ) (0≤e ≤a )，A 1E →＝(－a ，a ，e －a )，BD →＝(－a ，－a ，0)，A 1E →·BD →＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0，∴A 1E →⊥BD →，即A 1E ⊥BD .(2)解 设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2). ∵DB →＝(a ，a ，0)，DA 1→＝(a ，0，a )，DE →＝(0，a ，e )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0.取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝(1，－1，a e )，由平面A 1BD ⊥平面EBD 得n 1⊥n 2，∴2－a e ＝0，即e ＝a 2. ∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。
线面垂直平行六种关系的证明方法
线面垂直平行六种关系的证明方法
线与面垂直的证明方法：
1.利用垂线相交定理来证明。
根据垂线相交定理，如果一条线与一个
平面相交，并且与平面上的两条相交线垂直，则该线与该平面垂直。
2.利用向量垂直的概念来证明。
如果一条直线的方向向量与平面的法
向量垂直，则该直线与平面垂直。
可以通过计算两个向量的点积来判断它
们是否垂直。
3.利用两个向量叉积为零的性质证明。
如果一条直线上的两个向量的
叉积等于零，则该直线与平面垂直。
这可以通过计算两个向量的叉积并判
断结果是否为零来证明。
面与面垂直的证明方法：
1.利用两个平面的法向量垂直的性质来证明。
如果两个平面的法向量
是垂直的，则这两个平面垂直。
2.利用两个平面的方向向量垂直的性质来证明。
如果两个平面的方向
向量是垂直的，则这两个平面垂直。
线与线平行的证明方法：
1.利用两条直线的方向向量平行的性质来证明。
如果两条直线的方向
向量平行，则这两条直线平行。
2.利用两条直线的斜率相等的性质来证明。
如果两条直线的斜率相等，则这两条直线平行。
面与面平行的证明方法：
1.利用两个平面的法向量平行的性质来证明。
如果两个平面的法向量是平行的，则这两个平面平行。
2.利用两个平面的方向向量平行的性质来证明。
如果两个平面的方向向量是平行的，则这两个平面平行。
这些证明方法可以通过几何图形的性质、向量运算、计算几何等方法来进行证明。
具体的方法选择要根据题目的要求和已知条件来确定。
高中数学证明线面垂直的方法
高中数学证明线面垂直的方法
高中数学中，证明线面垂直的方法有多种。
下面将介绍其中的一些方法，并对其进行拓展。
1. 使用向量法证明线面垂直：
首先，我们可以将直线和平面表示为向量的形式。
如果直线的方向向量与平面的法向量垂直（即两者的内积为0），则可以得出直线与平面垂直。
2. 使用坐标法证明线面垂直：
在直角坐标系中，我们可以将直线和平面的方程表示为一般式或标准式。
通过求解方程组，如果直线的方向向量与平面的法向量垂直（即两者的斜率之积为-1），则可以得出直线与平面垂直。
3. 使用三角法证明线面垂直：
如果直线上的一条边与平面上的一条边分别平行，且这两条边的夹角为直角（90度），则可以得出直线与平面垂直。
这个方法通常用于证明物体在投影过程中的垂直关系。
4. 使用平行四边形法证明线面垂直：
如果直线上的一条边与平面上的一条边构成平行四边形的相邻边，且这两条边的长度相等，则可以得出直线与平面垂直。
这个方法通常用于证明平行四边形的性质，从而推导出线面垂直的结论。
在实际问题中，证明线面垂直的方法还可以根据具体情况进行选择。
例如，在物理学中，我们可以利用力的性质和物体的运动规律来推导出线面垂直的关系；在几何学中，我们可以使用相似三角形或勾股定理等基本几何定理进行推导。
总之，证明线面垂直的方法可以根据具体情况选择不同的数学工具和定理。
通过合理运用这些方法，我们可以推导出线面垂直的结论，并在解决实际问题中应用这一关系。
用向量证明线面垂直
用向量证明线面垂直用向量证明线面垂直是数学中一个重要的问题，它是判断二维和三维空间中两个线段（或面）是否垂直的一种方法。
在判断两条线是否垂直时，我们可以将它们抽象成向量，并利用矢量运算来证明它们是否垂直。
本文将介绍如何用向量证明线面垂直，并给出案例来加深对这一概念的理解。
【向量法则】首先，我们应该明白，用向量来证明线是否垂直的基本法则是：如果两个向量（线）的点积结果为零，则这两个向量垂直。
点积（也称内积）是指将两个向量进行乘积运算，并把结果放在一起形成一个数。
例如，设A=(a1，a2)，B=(b1，b2)，那么A和B的点积就是AB=a1b1+a2b2。
如果结果为0，则说明这两个向量垂直。
【三维向量】当判断两个三维向量是否垂直时，我们可以用同样的方法。
假设A=(a1，a2，a3)，B=(b1，b2，b3)，那么A和B的点积就是AB=a1b1+a2b2+a3b3。
如果结果为0，则说明这两个向量垂直。
【用向量证明线面垂直】用向量证明线面垂直就是用向量证明两个线段（或面）是否垂直。
在理解关于向量与线段（或者面）的垂直性的问题时，可以将它们抽象成一组向量，并对这组向量求点积。
如果结果为0，则说明两个线段（或面）垂直。
【案例分析】下面我们用一个例子来详细讨论用向量证明线面垂直的方法：假设有两个三维空间中的线段，可以用向量表示为A=(1,2,3)和B=(-3,2,-1)，我们可以计算AB，得到结果：AB=1(-3)+2(2)+3(-1) = -7。
由于AB=-7≠0，因此我们得出结论：线段A和B不垂直。
【结论】本文介绍了用向量证明线面垂直的方法，以及一个简单的案例来说明上述方法的实际应用。
用向量证明线面垂直的基本法则是：如果两个向量的点积结果为零，则这两个向量垂直。
在判断两条线是否垂直时，我们可以将它们抽象成向量，并利用矢量运算来证明它们是否垂直。
本文的研究结果将为数学中垂直性的相关研究和应用提供重要的理论支持。
证明平面与平面垂直(空间向量)
1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．.用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.4．若平面α与β的法向量分别是a＝(4,0，－2)，b＝(1,0,2)，则平面α与β的位置关系是( )A．平行 B．垂直C．相交不垂直 D．无法判断解析：∵a·b＝4×1＋0＋(－2)×2＝0.∴a⊥b，∴α⊥β.答案：B面面垂直.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED⊥平面B1BD.【证明】 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，E (0,1，12)，DB 1→＝(1,1,1)，DE →＝(0,1，12)，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，∴n 1＝(1,1，－2)．同理求得平面B 1BD 的法向量为n 2＝(1，－1,0)，由n 1·n 2＝0，知n 1⊥n 2，∴平面B 1DE ⊥平面B 1BD .图3－2－124．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，证明：平面B 1ED ⊥平面B 1BD .[证明] 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，B 1(1，1，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，DB 1→＝(1，1，1)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝1，∴n 1＝(1，1，－2)．同理求得平面B 1BD 的法向量为n 2＝(1，－1，0)，由n 1·n 2＝0，知n 1⊥n 2，∴平面B 1DE ⊥平面B 1BD .例3：如图3－2－12，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .【解答】 由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以B 为原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E (0,0，12)，则AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)，AE →＝(－2,0，12)．设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1→＝0n 1·AC →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0.令x ＝1，得y ＝1，∴n 1＝(1,1,0)．设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·AC 1→＝0n 2·AE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＋z ＝0，－2x ＋12z ＝0. 令z ＝4，得x ＝1，y ＝－1.∴n 2＝(1，－1,4)．∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0， ∴n 1⊥n 2.∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .思路探究：要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n 1，n 2，证明n 1·n 2＝0.[解] 由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直．以B 为原点，BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2，0，0)，A 1(2，0，1)，C (0，2，0)，C 1(0，2，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，则AA 1→＝(0，0，1)，AC →＝(－2，2，0)，AC 1→＝(－2，2，1)，AE →＝(－2，0，12)． 设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)． 则⎩⎨⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AC →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝1.∴n 1＝(1，1，0)．设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 则⎩⎨⎧n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0⇒⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2＋z 2＝0，－2x 2＋12z 2＝0， 令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1.∴n 2＝(1，－1，4)． ∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n 1⊥n 2，∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BB 1的中点，F 为CD 的中点，G 为AB 的中点．求证：平面ADE ⊥平面A 1FG .证明：连结D 1F ，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，设正方体棱长为1.∴D (0，0，0)，E (1，1，12)，A (1，0，0)，A 1(1，0，1)，G (1，12，0)，F (0，12，0)．∴AE →＝(0，1，12)，A 1G →＝(0，12，－1)，GF →＝(－1，0，0)．∴AE →·A 1G →＝0＋12－12＝0，AE →·GF →＝0＋0＋0＝0. ∴AE →⊥A 1G →，AE →⊥GF →， ∵A 1G ∩GF ＝G ， ∴AE ⊥平面A 1GF . 又AE ⊂平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面A 1GF .6.如图， 正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，EF ∩BD ＝G .求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.[证明] 以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，由题意知：D (0,0,0)、B 1(22，22，4)、E (22，2，0)、F (2，22，0)，B 1E →＝(0，－2，－4)、EF →＝(－2，2，0)． 设平面B 1EF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则n ·B 1E →＝－2y －4z ＝0，n ·EF →＝－2x ＋2y ＝0. 解得x ＝y ，z ＝－24y ，令y ＝1得n ＝(1,1，－24)， 又平面BDD 1B 1的一个法向量为AC →＝(－22，22，0)， 而n ·AC →＝1×(－22)＋1×22＋(－24)×0＝0，即n ⊥AC →.∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. 10.如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BB 1的中点，F 为CD 的中点，G 为AB 的中点．求证：平面ADE ⊥平面A 1FG .证明：连结D 1F ，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，设正方体棱长为1.∴D (0,0,0)，E (1,1，12)，A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，G (1，12，0)，F (0，12，0)．∴AE →＝(0,1，12)，A 1G →＝(0，12，－1)，GF →＝(－1,0,0)．∴AE →·A 1G →＝0＋12－12＝0，AE →·GF →＝0＋0＋0＝0.∴AE →⊥A 1G →，AE →⊥GF →， ∵A 1G ∩GF ＝G ， ∴AE ⊥平面A 1GF . 又AE ⊂平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面A 1GF .11．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面边长为2，侧棱长为3，E 、F 分别是AB 1、CB 1的中点，求证：平面D 1EF ⊥平面AB 1C .证明：把正四棱柱如图放置在坐标系中，则各点坐标为A (2，0,0)，C (0，2，0)，B 1(2，2，3)，D 1(0,0，3)，E (2，22，32)，F (22，2，32)． 假设平面AB 1C 的法向量为n 1＝(1，λ1，u 1)，则n 1应垂直于AC →和AB 1→， 而AC →＝(－2，2，0)，AB 1→＝(0，2，3)，∴n 1·AC →＝－2＋2λ1＝0， n 1·AB 1→＝2λ1＋3u 1＝0. ∴λ1＝1，u 1＝－63. ∴n 1＝(1,1，－63)．再设平面D 1EF 的法向量为n 2＝(1，λ2，u 2)，则n 2应垂直于D 1E →、D 1F →. 而D 1E →＝(2，22，－32)，D 1F →＝(22，2，－32)，n 2·D 1E →＝2＋22λ2－32u 2＝0，∴n 2·D 1F →＝22＋2λ2－32u 2＝0.∴λ2＝1，u 2＝ 6. ∴n 2＝(1,1，6)． 由于n 1·n 2＝1＋1－63·6＝0， ∴n 1⊥n 2.∴平面D 1EF ⊥平面AB 1C .2．三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为三角形A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC .A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 中点．证明：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.[证明] 如图，建立空间直角坐标系．则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)， A 1(0，0，3)，C 1(0，1，3)，因为D为BC的中点，所以D点坐标为(1，1，0)，所以BC→＝(－2，2，0)，AD→＝(1，1，0)，AA1→＝(0，0，3)，因为BC→·AD→＝－2＋2＋0＝0，BC→·AA1→＝0＋0＋0＝0，所以BC→⊥AD→，BC→⊥AA1→，所以BC⊥AD，BC⊥AA1，又AD∩AA1＝A，所以BC⊥平面ADA1，而BC⊂平面BCC1B1，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝3，AB＝2，AC＝2，A1C1＝1，BDDC＝12.证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.证明：如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，3)，C1(0,1，3)．∵BD∶DC＝1∶2，∴BD→＝13BC→，∴D点坐标为(223，23，0)，∴AD→＝(223，23，0)，BC→＝(－2，2,0)，AA1→＝(0,0，3)．∵BC→·AA1→＝0，BC→·AD→＝0，∴BC⊥AA1，BC⊥AD.又A1A∩AD＝A，∴BC⊥平面A1AD.又BC⊂平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.中等难度建系10．如图3-2-16所示，△ABC 是一个正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD ．图3-2-16求证：平面DEA ⊥平面ECA ．【答案】建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，不妨设CA ＝2， 则CE ＝2，BD ＝1，C (0,0,0)，A (3，1,0)，B (0,2,0)，E (0,0,2)，D (0,2,1)．所以EA →＝(3，1，－2)，CE →＝(0,0,2)，ED →＝(0,2，－1)．分别设平面CEA 与平面DEA 的法向量是n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EA →＝0，n 1·CE →＝0，即⎩⎨⎧3x 1＋y 1－2z 1＝0，2z 1＝0，解得⎩⎨⎧y 1＝－3x 1，z 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EA →＝0，n 2·ED →＝0，即⎩⎨⎧3x 2＋y 2－2z 2＝0，2y 2－z 2＝0， 解得⎩⎨⎧x 2＝3y 2，z 2＝2y 2.不妨取n 1＝(1，－3，0)， n 2＝(3，1,2)，因为n 1·n 2＝0，所以n 1⊥n 2. 所以平面DEA ⊥平面ECA ．2017·开封模拟)如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ．图7-7-4求证：平面BCE ⊥平面CDE . 【导学号：97190251】[证明] 设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )．所以BE →＝(a ，3a ，a )，BC →＝(2a,0，－a )，CD →＝(－a ，3a,0)，ED →＝(0,0，－2a )． 设平面BCE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 由n 1·BE →＝0，n 1·BC →＝0可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋3ay 1＋az 1＝0，2ax 1－az 1＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋3y 1＋z 1＝0，2x 1－z 1＝0.令z 1＝2，可得n 1＝(1，－3，2)． 设平面CDE 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 由n 2·CD →＝0，n 2·ED →＝0可得 ⎩⎪⎨⎪⎧－ax 2＋3ay 2＝0，－2az 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3y 2＝0，z 2＝0.令y 2＝1，可得n 2＝(3，1,0)． 因为n 1·n 2＝1×3＋1×(－3)＝0. 所以n 1⊥n 2，所以平面BCE ⊥平面CDE .底面是梯形如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD .证明：(1)P A ⊥BD ；(2)平面P AD ⊥平面P AB .证明 (1)取BC 的中点O ，连接PO ，∵平面PBC ⊥底面ABCD ，△PBC 为等边三角形， ∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝ 3.∴A (1，－2，0)，B (1，0，0)，D (－1，－1，0)，P (0，0，3). ∴BD →＝(－2，－1，0)，P A →＝(1，－2，－3). ∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0， ∴P A →⊥BD→，∴P A ⊥BD . (2)取P A 的中点M ，连接DM ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，32.∵DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，PB →＝(1，0，－3)，∴DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0， ∴DM→⊥PB →，即DM ⊥PB . ∵DM →·P A →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥P A →，即DM ⊥P A .又∵P A ∩PB ＝P ，∴DM ⊥平面P AB .∵DM ⊂平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面P AB .9.如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .证明 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA ，DP ，DC 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz .依题意有Q (1，1，0)，C (0，0，1)，P (0，2，0)，则DQ→＝(1，1，0)，DC →＝(0，0，1)，PQ →＝(1，－1，0). ∴PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC→＝0. 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，又DQ ∩DC ＝D ，∴PQ ⊥平面DCQ ，又PQ ⊂平面PQC ，∴平面PQC ⊥平面DCQ .[跟踪训练] 如图7-7-5所示，已知四棱锥P -ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD ．图7-7-5证明：(1)P A ⊥BD ；(2)平面P AD ⊥平面P AB ．[证明] (1)取BC 的中点O ，连接PO ，∵平面PBC ⊥底面ABCD ，△PBC 为等边三角形，∴PO ⊥底面ABCD ．以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝ 3.∴A (1，－2,0)，B (1,0,0)，D (－1，－1,0)，P (0,0，3)．∴BD →＝(－2，－1,0)，P A →＝(1，－2，－3)．∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0，∴P A →⊥BD →，∴P A ⊥BD ．(2)取P A 的中点M ，连接DM ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，32. ∵DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，PB →＝(1,0，－3)， ∴DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0， ∴DM →⊥PB →，即DM ⊥PB ．∵DM →·P A →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥P A →，即DM ⊥P A ．又∵P A ∩PB ＝P ，∴DM ⊥平面P AB ．∵DM ⊂平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面P AB ．4.在正三棱锥P-ABC 中,三条侧棱PA,PB,PC 两两垂直,G 是△PAB 的重心,E,F 分别为BC 、PB 上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.(1)求证:平面GEF ⊥平面PBC.(2)求证:EG ⊥BC,PG ⊥EG.【证明】(1)如图,以三棱锥的顶点P 为原点,以PA 、PB 、PC 所在直线分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设PA=PB=PC=3,则A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),P(0,0, 0), 方法一:可得=(3,0, 0),=(1,0,0),故=3,所以PA ∥FG.而PA ⊥平面PBC,所以FG ⊥平面PBC.又FG ⊂平面GEF,所以平面GEF ⊥平面PBC.方法二:可得=(0,-1,-1),=(1,-1,-1).设平面GEF 的法向量是n =(x,y,z), 则有n ⊥,n ⊥,所以{y +z =0,x -y -z =0.令y=1,得z=-1,x=0,即n =(0,1,-1).显然=(3,0,0)是平面PBC的一个法向量.又n·=0,所以n⊥.所以平面GEF⊥平面PBC.(2)因为=(1,-1,-1),=(1,1,0),=(0,-3,3),所以·=1-1=0,·=3-3=0.所以EG⊥PG,EG⊥BC.。
空间向量证明线面垂直
空间向量证明线面垂直
空间向量是描述空间中的位置和方向的工具。
线面垂直是指一
条直线与一个平面垂直相交。
现在我们来利用空间向量来证明线面
垂直的性质。
假设有一条直线上的两个点A和B，以及一个平面上的一个点C。
我们可以用空间向量来表示这三个点的位置。
假设向量OA表示点A
的位置，向量OB表示点B的位置，向量OC表示点C的位置。
那么
向量AB可以表示直线AB的方向，而向量AC和向量BC可以表示平
面ABC的法向量。
现在我们来证明线AB与平面ABC垂直。
根据向量的性质，如果
两个向量的点积为0，则它们垂直。
所以我们可以计算向量AB与向
量AC的点积，以及向量AB与向量BC的点积。
如果它们都等于0，
那么我们就证明了线AB与平面ABC垂直。
点积的计算公式为，向量a·向量b = |a||b|cos(θ)，其中
|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长，θ表示向量a和向量b
之间的夹角。
假设向量AB为a，向量AC为b，向量BC为c。
那么我们可以计算点积：
a·b = |a||b|cos(θ1)。
a·c = |a||c|cos(θ2)。
如果θ1和θ2都是90度（即cos(θ1)和cos(θ2)都等于0），那么a·b和a·c都等于0，根据点积的性质，我们就可以得出结论，线AB与平面ABC垂直。
通过空间向量的方法，我们成功地证明了线面垂直的性质。
这种方法可以很好地应用于空间几何中的各种问题，为我们理解空间中的几何关系提供了一种有效的工具。
线面垂直判定定理的向量证明
线面垂直判定定理的向量证明关键信息项证明编号定理定理内容证明目的向量定义证明步骤结论合同或协议证明编号：____________________________定理线面垂直判定定理的向量证明定理内容线面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么直线的方向向量与平面法向量垂直。
如果直线的方向向量与平面法向量垂直，则直线与平面垂直。
证明目的证明直线的方向向量与平面法向量垂直，可以通过向量点积为零来验证。
验证线面垂直判定定理的准确性和可靠性，通过向量运算提供严密的证明。
向量定义直线的方向向量设直线的方向向量为 d = (a, b, c)，其中 a, b, c 为方向向量的分量。
平面的法向量设平面的法向量为 n = (A, B, C)，其中 A, B, C 为法向量的分量。
证明步骤确定垂直条件直线与平面垂直的条件是直线的方向向量与平面的法向量垂直。
向量的垂直性可以通过它们的点积为零来判定。
计算点积计算直线的方向向量 d 和平面法向量 n 的点积：dd⋅n=(a,b,c)⋅(A,B,C)=aA+bB+cC如果点积结果为零，即：aA+bB+cC=0则直线的方向向量与平面的法向量垂直。
逆命题验证反向验证：若直线的方向向量与平面法向量垂直，则直线与平面垂直。
此时点积为零，即：aA+bB+cC=0这表明直线与平面确实垂直。
结论通过上述步骤，已经证明了线面垂直判定定理的向量证明。
具体来说，直线的方向向量与平面法向量垂直等价于直线与平面垂直，且这种垂直性通过向量点积为零进行验证。
附录包括向量点积的基本运算规则、直线和平面的方程表示形式及相关图示。
相关数学论文或资料数学软件使用手册协议方信息证明负责人姓名：____________________________签署日期：____________________________协议签署本证明文档经双方代表签署后生效，文档中的所有条款均需遵守。
任何未尽事宜或文档内容的变更应以书面形式进行补充和修订。