卡诺图化简所应用的逻辑代数原理与方法

题目：卡诺图化简所应用的逻辑代数原理与方法
Topic：Cano figure reduction applied logic algebra principle and method
摘要：对卡诺图化简所应用的逻辑代数原理进行讨论，并总结化简的方法，以及卡诺图在其他方面的作用。

关键字：卡诺图，原理，方法，作用。

Abstract：Cano figure reduction of applied logic algebra theory discussed and summarized reduction method, and the carnot chart in other roles.
Key word：Cano figure, principle, method, effect.
正文：
1、卡诺图化简所应用的逻辑代数原理：
卡诺图是逻辑函数真值表的图形表示。

图1—1是有2、3、4个变量的逻辑函数的卡诺图。

（1）二变量卡诺图
（2）三变量卡诺图
（3）四变量卡诺图
图1—1
卡诺图的行和列都做了标记，以便容易的确定该单元对应的输入组合。

单元中的小数字是真值表中相应的最小项编号，假设真值表的输入是从左到右按字母顺序标记的，而且行是按二进制计数顺序计数的.例如四变量卡诺图中单元14对应于真值表的A B C D=1110行。

卡诺图中每个单元都包含函数真值表对应行的信息。

如果对应输入组合的函数值为0时，图中单元内也是0，否则为1.
卡诺图的行号和列号采用的是格雷码，才用的这种编码的原因是格雷码的任意两个相邻的代码之间只有一位不同，而且格雷码是循环码。

在卡诺图中的实际用途就是，例如，4变量图的单元13和15是相邻的，它们只有C值不同。

在最小化“积之和”时，因为“项+0=项”，所以“积之和”时函数值为0的项对逻辑函数是没有作用的，只会增加逻辑函数表达式的项，从而增加成本。

故在最小化“积之和”时，只考虑函数值为1的项。

同理可得，当最小化“和之积”时，因为“项*1=项”，所以最小化“积之和”时，只考虑函数值为0的项。

对于最小化“积之和”时，在卡诺图中的相邻单元，其最小项只有一个变量不同。

根据“项*X+项*X非=项*（X+X非）=项*1=项”，将这一对最小项合并成单个乘积项。

最小化“和之积”时同理。

所以，我们能用卡诺图来简化逻辑函数的标准和式，降低制造成本。

在最小化“积之和”时，如果逻辑函数的i个变量具有所有2的i次方，则2的i次方个“1”单元集可被合并，而剩余的n-i个变量值不变。

相应的乘积项有n-i个变量，若变量在“1”单元中为0，则对其求反，若为1则不求反。

2、化简方法
2.1.与或逻辑化简
①根据给定的逻辑函数确定变量的个数，然后画出相应的卡诺图；
②圈出无相邻项的孤立1格；
③圈出只有一种圈法，即只有一种合并可能的1格的合并圈；
④余下的1格都有两种或两种以上的圈法，此时的原则是在保证有没有圈到
1格的前提下，合并圈越大越好，圈的数目越少越好，所有1格至少被圈过一次；
⑤将所有合并圈对应的乘积项相加，即得到化简后的最简与或式。

例1化简F=BCD+BC+A CD+A BC。

解第一步：用卡诺图表示该逻辑函数。

BCD：对应m3、m11
BC：对应m4、m5、m12、m13
A CD：对应m1、m5
A BC：对应m10、m11
卡诺图如图例1—1所示。

上述方格填入“1”，其他方格可不填入。

第二步：画卡诺圈圈住全部“1”方格。

图例1—1
具体过程见图例1—2
第三步：组成新函数。

每一个卡诺圈对应一个与项，然后将各与项“或”起来得新函数。

故化简结果为：F=BC+A BC+A BD
图例1—2
2.2与非逻辑化简
所谓与非式，就是全由与非门实现该逻辑，将与或式两次求反即得与非式。

2.3或与逻辑化简
首先从卡诺图上求其反函数，其方法是圈“0”方格，然后再用摩根定律取反即得或与式。

例2 求F=∑(0,4,5,7,8,12,13,14,15)的反函数和或与式。

解: 求反函数的过程如图例2所示。

F=BD+BC+AC D
其次，再由反函数求的原函数，利用摩根定律就得或与式。

F=F
=BD+BC+AC D
=BD·BC·AC D
=(B+D)(B+C)(A+C+D)
上述化简结果可直接由卡诺图上得到。

2.4或非逻辑化简
将或与逻辑两次求反即得或非表示式。

2.5与或非逻辑化简
与或非逻辑形式可以从两种途径得到：一种是从与或式得到，将与或式两次求反，不用摩根定律处理，即得与或非式。

另一种是求得反函数后，再求一次反，即不用摩根定律处理，也可得与或非式。

3、卡诺图在其他方面的作用。

3.1利用卡诺图检验电路中的竞争冒险
在卡诺图上用满足画圈原则的卡诺圈圈出待化简处理的逻辑函数的相邻最小项，则各卡诺圈对应的乘积项的相或表达式亦为该函数的最简与或式。

各卡诺圈彼此的分布对于函数表示的数字电路输出信号的研究有着密切的关系。

比如卡诺圈之间若存在相切关系，则该电路可能产生险象。

①卡诺图中卡诺圈分布原理
若逻辑函数的最简与或式的两个乘积项间含有一对异或因子或同或因子，则这两个乘积项对应的卡诺圈彼此逻辑相隔。

图3.1—1为逻辑函数F1a、F1b与F1c的卡诺图。

函数F1a的最简与或式为F1a=BCD+C D,两个乘积项单有一对异或因子“CD”,“C D”。

而函数F1b= A BC+ABC+ABC+A BC，乘积项A BC与其它三个乘积项分别有“BC”与“BC”,“A B”与“AB”,“A C”与“AC”同或因子;乘积项ABC与其它三个乘积项分别有“BC”与“BC”,“AC”与“A C”,“AB”与“A B”同或及异或因子……函数F1c=A BC+A BC+ABC+ABC也不难发现各乘积项彼此间的同或与异或因子。

所以，F1a、F1b与F1c的卡诺圈都是彼此相隔的。

图3.1—1 卡诺圈相隔的逻辑函数卡诺图
②卡诺图中卡诺圈相切原理
若逻辑函数的最简与或式的两个乘积项间不含相隔因子，但含有一互补变量(即一个变量在两个乘积项里分别以原变量X和反变量X出现)，则这两个乘积项对应的卡诺圈彼此逻辑相切。

图3.1—2为逻辑函数F2a与F2b的卡诺图。

图3.1—2卡诺圈相切的逻辑函数卡诺图
函数F2a的最简与或式为F2a=A B+AC+BC，乘积项A B与其它一个乘积项分别有变量A及变量B的互补因子;乘积项AC与其它二个乘积项分别有变量A及变量C的互补因子等，所以F2a的三个卡诺圈彼此相切。

而函数F2b=ABC+AD+C D，乘积项ABC与其它二个乘积项分别有变量A及变量D的互补因子;乘积项AD与其它二个乘积项分别有变量A及变量D的互补因子，F2b的卡诺圈彼此相切分布如图16( b)所示。

③卡诺图中卡诺圈相交原理
若逻辑函数的最简与或式的两个乘积项的因子变量或互不相同，或互不相同的因子还附有完全相等的因子系数，则这两个乘积项对应的卡诺圈彼此相交。

图3.1—3为逻辑函数F3a和F3b的卡诺图。

函数F3a的最简与或式为F3a=AB+C D+A BC,乘积C D与乘积项AB的因子变量互不相同;而C D与A BC，因子变量D与A B互不相同外，还附有相等的因子系数C，函数F3a的卡诺圈的相交分布如图17 (a)所示。

F3b=A BC+A CD+BC D+AC，前二个乘积项除B和D因子变量互不相同外，还附有相等的因子系数A C,所以二者的卡诺圈相交。

后二个乘积项除B D和A互不相同外，还附有相等的因子系数C,所以后二者的卡诺圈相交。

图3.1—3卡诺圈相交的逻辑函数卡诺图
若逻辑函数的卡诺圈分布存在相切关系，则对应的电路输出函数表达式在一定条件下可简化为X+X或者X·X的形式，电路可能产生险象。

为避免绘制多变量卡诺图及其卡诺圈识别的困难，若函数的最简与或式满足卡诺圈相切原理所述的卡诺圈相切条件，为克服险象在卡诺图上增加冗余项的方法可转化为仅对二个卡诺圈相切的乘积项“取全去补”形成冗余项，即冗余项的因子组成应为二个相切的卡诺圈的乘积项的全部因子变量，但要去掉引起相切的那一对互补变量X 和X。

卡诺圈相切原理所述的卡诺圈相切的逻辑函数F2a和F2b的增加冗余项的图形法如图3.1—4所示。

但每个冗余项确又是卡诺圈相切的相关乘积项“取全去补”而形成的。

图3.1—4 增加冗余项的逻辑函数卡诺图
原F2a=A B+AC+BC,增加冗余项后为
F’2a=A B+AC+BC+BC+AB+A C;
同理，F’2b =ABC+AD+C D+BCD+AC+ABD。

F’2a中的冗余项BC是相切的卡诺圈对应的乘积项A B和AC的全部因子变量去掉互补因子“A"后形成的。

同理，依据上述的冗余项“取全去补”的增加原则，可以得出为克服险象而添加的其它冗余项。

3.2卡诺图在数据选择器中的应用
数据选择器除了用来选择输出信号，实现时分多路通信时，还可以作为函数发生器，用来实现组合逻辑电路。

实现方法可以用代数法，也可以用卡诺图法。

用卡诺图法比较直观且简便，其方法是：首先选定地址变量；然后在卡诺图上确定地址变量控制范围，即输入数据区；最后由数据区确定每一数据输入端的连接。

参考文献：1、以上图片来自太延电子网。

2、韦克利(Wakerly John F.).数字设计原理与实践（原书第四版），机械工业出版社，2007年5月1日。

3、江晓安，董秀峰，杨颂华.数字电子技术[M].(第二版).西安：西安电子科技大学出版社，2004年3月1日。

4、罗朝杰.数字逻辑设计基础[M].人民邮电出版社，1982年12月26日。

2905102019 王双。