5.3二次曲线的切线汇总

奇点:
F1 ( x0 , y0 ) F2 ( x0 , y0 ) 0,
定理 5.3.1
如果 ( (x x0 ) 是二次曲线的正常点， 0 , y0 0)
那么通过 ( x0 , y0 ) 的切线方程是(3)，( x0 , y0 ) 是它的切点.
y00 ) 是二次曲线的奇异点， 如果 (( xx ,,y 00
2 2
上的点 ( x0 , y0 ) 的切线方程. 因为通过 ( x0 , y0 ) 的直线总可写成
(1)
x x0 Xt , y y0 Yt.
(2)
那么根据§5.1 的讨论,知道直线(2)与二次曲线(1)的 交点的参数满足
( X , Y ) t 2 2[ F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y ]t F ( x0 , y0 ) 0,
5 且 F (2,1) 0, 1 2
F2 (2,1) 2 0,
所以 (2,1)是二次曲线上的正常点，因此得在点 (2,1) 的切线方程为
( x x0 )F1( x0 , y0 ) ( y y0 )F2 ( x0 , y0 ) 0.
5 ( x 2) 2( y 1) 0, 2
对比
推论 如果 ( x0 , y0 ) 是二次曲线的正常点， 那么通过 ( x0 , y0 ) 的切线方程是
(5.3-4)
Fra Baidu bibliotek
F ( x, y) a11x2 2a12 xy a22 y 2 2a13x 2a23 y a33 0
公式(5.3-4)便于记忆，记忆的方法是在原方程(1) 2 2 中，把 x 2xy y 2x 2 y
因此
XF1 ( x0 , y0 ) YF2 ( x0 , y0 ) 0.
如果 F1 ( x0 , y0 ) 与
(3)
F2 ( x0 , y0 ) 不全为零，那么得：
X : Y F2 ( x0 , y0 ) : (F1 ( x0 , y0 )),
(3)
当( X , Y ) 0 时，直线(2)成为二次曲线(1) 的切线的条件除了 F ( x0 , y0 ) 0 外，唯一的条件仍 然是(3).
xx ,,y y00) )的 x00 , y0 ) 的切线不确定， 那么通过 ((x 或者说通过点 ( ( 00
每一条直线都是二次曲线的切线.
( x x0 )F1( x0 , y0 ) ( y y0 )F2 ( x0 , y0 ) 0.
正常点才能 用
(3)
a11x0 x a12 ( x0 y xy0 ) a22 y0 y a13 ( x x0 ) a23 ( y y0 ) a33 0
xx xy xy yy x x y y 然后每项中的一个 x 或 y 用 x0 或 y 代入后，写成
写成
0
x0 x x0 y xy0 y0 y x x0 y y0
就得出(5.3-4).
( x x0 )F1( x0 , y0 ) ( y y0 )F2 ( x0 , y0 ) 0.
证 把(5.3-3)改写为
(5.3-3)
xF1 ( x0 , y0 ) yF2 ( x0 , y0 ) [ x0 F1 ( x0 , y0 ) y0 F2 ( x0 , y0 )] 0 F ( x, y) xF1 ( x, y) yF2 ( x, y) F3 ( x, y) 0
这时通过 ( x0 , y0 ) 的任意直线都 和二次曲线相交于
相互重合的两点，
( X , Y ) t 2 2[ F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y ]t F ( x0 , y0 ) 0,
我们就把这样的直线也看成是二次曲线的切线. 定义 5.3.2 二次曲线上满足条件 F1 ( x0 , y0 ) F2 ( x0 , y0 ) 0 的点 ( x0 , y0 ) 叫做二次 曲线的奇异点，简称奇点； 二次曲线的非奇异点叫 做二次曲线的正常点.
容易知道直线成为二次曲线的切线的条件，
(X Y) 00 时 X ,,Y ) 当 (
[ XF1 ( x0 , y0 ) YF2 ( x0 , y0 )] ( X , Y ) F ( x0 , y0 ) 0
2
(x x0 因为 ( F( (x x0 0 , y0 ) 在(1)上， 所以 F 0, y0 ) 0 ；
即 奇点
(3)
F (2,1) 0, 5 F1 (2,1) , 2
5x 4 y 6 0.
F2 (2,1) 2,
如果 F 1 ( x0 , y0 ) F2 ( x0 , y0 ) 0, 那么(3)变为恒等式， 切线的方向 X : Y 不能唯一地被确定, 从而切线不确定，
2
或
( x x0 ) F1( x0 , y0 ) ( y y0 ) F2 ( x0 , y0 ) 0.
例 1 求二次曲线 x 的点 (2,1) 的切线方程. 解法一 因为
xy y 2x 4 y 3 0
2
F (2,1) 4 2 1 4 4 3 0,
X : Y F2 ( x0 , y0 ) : (F1 ( x0 , y0 )),
因此过
( x0 , y0 ) 的切线方程为
x x0 F2 ( x0 , y0 ) t , y y0 F1 ( x0 , y0 ) t ,
或写成
x x0 y y0 F2 ( x0 , y0 ) F1 ( x0 , y0 )
§5.3
定义 5.3.1
二次曲线的切线
如果直线与二次曲线相交于相互重合
的两个点， 那么这条直线就叫做二次曲线的切线，
这个重合的交点叫做切点.
规定：如果直线全部在二次曲线上，我们也称 它为二次曲线的切线。直线上的每一点都可以 看作切点.
切线方程
现在我们来求经过二次曲线
F ( x, y) a11 x 2a11 xy a22 y 2a13 x 2a23 y a33 0