第三章 系统可靠性模型
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p(Ai )
i 1 n
Fs (t ) p( A) p( Ai ) Fi (t )
i 1 i 1
n
n
由互补定理 Rs (t ) 1 Fs (t ) n 1 Fi (t ) i1 n 1 (1 Ri (t )) i1
当n 2时，Rs (t ) 1 [1 R1 (t )] [1 R2 (t )] R1 (t ) R2 (t ) R1 (t ) R2 (t ) 当n 3时，Rs (t ) 1 [1 R1 (t )] [1 R2 (t )] [1 R3 (t )]
m n
得：
m n
1 1 0.75 0.99513
5 5
（2）对于并－串联系统，由式 Rs t 1 1 R n t
1 1 0.75 Rs 2 t 1 1 R t
n m 5 5
m
得：
0.74192
1 n
Rs t n e 1 e s t t n Rs t 1 1 e
t n 1
7.思考小结
Rs t 越高 1.并联系统的可靠度大于单元可靠度的最大值，n越大，
2.并联系统的平均寿命高于各单元的平均寿命 3.并联系统的失效概率低于各单元的失效概率 4.并联系统各单元服从指数分布，该系统不再服从指数分布。
mn m 则：
Rs t 1 1 R t
m n
3.并串联系统 特征：如图所示并—串联系统由m个子系统并联而成。
每个子系统是由ni个单元串联而成。
问题：如何求并串联系统可靠度?
设每个单元可靠度为Rij(t)，i行，i=1，2，…，m； j列，j=1，2，…，nm， 则第i行子系统的可靠度为： Ris t Rij t
2 1 2
1
1
s t
1e t 2e t (1 2 )e ( )t
1
eபைடு நூலகம்
1t
e
2t
e
( 1 2 ) t
2e t 2 e2t
2e t e2t 2 e t 1 e t
2 e 2 1 e
串联构成的系统。而每一个子系统是由mj个单 元并联而成。
问题：如何求出串并联系统可靠度
设每个单元的可靠度为 Rij(t)，i行，i=1，2，…，mj；j列， j=1，2，…，n，则第j列子系统的可靠度Rjs可由并联公式 m 写出：
R js t 1 1 Rij t
2.特点：只要其中任一个单元正常工作，系统就能
正常工作，只有n个单元全部失效时，系统才失效。
3.怎样求并联系统可靠度
令事件A为系统正常工作；为系统失效； A 令事件Ai 为第i个单元正常工作， Ai 为第i个单元失效。
对于并联系统： A1 A2 An A
p( A) p( A1 A2 An ) p( A1 ) p( A2 ) p( An )
R1 (t ) R2 (t ) R3 (t ) R1 (t ) R2 (t ) R2 (t ) R3 (t ) R1 (t ) R3 (t ) R1 (t ) R2 (t ) R3 (t )
4.特例( 1) ：单元寿命均服从i为常数的指数分布
n 2时 Rs (t ) R1 (t ) R2 (t ) R1 (t ) R2 (t ) t t ( )t e 1 e 2 e 1 2
st e
i 1
思考小结：上式说明了什么问题？
此时 s 1
s
特例(2)：
若1 2 ... n ，则:s n 1
Rs (t ) Rn (t ) ent
1 s s n n 1
思考小结：上式说明了什么问题？
例题 为提高系统的可靠性，液压器中采用2个滤油器组装成串联结 构，在滤油器由滤网堵塞而失效的情况下求系统的可靠度、失效率 及平均寿命。已知两个滤油器的失效率分别为 1 0.00005 (1/h)， (1/h)，工作时间 t 1000 h。 2 0.00001 解：由前面介绍的计算公式得：
2.当阀1与阀2处于闭合状态时，不能截 流为系统失效，其中包括阀门泄露。
4.系统逻辑模型分类
分类依据：单元在系统中所处的状态及其对系统 的影响。
3.2 串联系统的可靠性模型
1.模型：一个系统由N个单元逻辑串联组成。
2.特点：任意一个单元失效则整个系统失效；
只有N个单元均正常工作系统才正常工作。
3.怎样求串联系统的可靠度
令事件A为系统处于正常工作状态；事件 Ai(i=1,2…n)为单元处于正常的工作状态
对于串联系统：A=A1 A2 ... An
求系统可靠度：P(A) P(A1 ) P(A 2 ) ... P(A n ) P(A i )
i 1 n
即系统可靠度与单元可靠度的关系为：
R S (t) P(A) R1 (t) R 2 (t) ... R n (t) R i (t)
e
t
t 2
t
n 3时，可以自行推导
2 e t
6.推导n个相同单元并联情况
Rs t 1 1 R t 1 1 e
n t n
s
0
1 RS (t )dt 2
t
1
1 1 1 1 n 2
结论：在单元数目及单元可靠度相同的情况下，串－并联 系统可靠度高于并－串联系统可靠度。
3.5 表决系统可靠性模型
1.模型：指由n个单元组成的系统中，
至少有K 个单元正常工作， 系统才正常工作。记为K / n[G ]
2.特例：串联系统是n / n[G], 并联系统是1/ n[G]。
机械系统、电路系统和自动控制系统 等常用最简单的2 / 3[G ]表决系统
i 1
j
整个系统可靠度可用串联系统公式得到：
mj Rs t R js t 1 1 Rij t j 1 j 1 i 1 n n
若每个单元的可靠度相等，均为 Rij t Rt
且：m1 m2
分类：按修复与否划分为 不可修复系统 可修复系统
2. 系统可靠性框图的建立 步骤：由系统的工程结构图 系统的可靠性框图。 工程结构图：是表示组成系统的各单元之间的物理 关系和工作关系。 可靠性框图：又称为功能逻辑图，是表示系统的功能与 组成系统的单元之间的可靠性功能关系。
3.系统逻辑的最基本类型:
1
1
1
Fs ' (t ) R' s (t ) s (t ) Rs (t ) Rs (t )
5特例( 2) : 单位寿命均服从指数分布且失效率均为 n 2时，Rs t e1t e2t e(12 )t 2et e2t
s
1 2 1 3 3 1 2 1 2 2 2 2
串联系统 如果系统中的任何一个单元失效，系 统就失效，或者说系统中每个单元都正常工作， 系统才能完成其规定的功能。 并联系统 只有当所有的单元都失效，系统才丧 失其规定的功能，或者说着要有一个单元正常 工作，系统就能完成其规定的功能。
例： 1.当阀1与阀2处于开启状态时，液体不 流通为系统失效，其中包括阀门关闭。
j 1 ni
整个系统可靠度可用并联系统公式得到：
ni Rs t 1 1 Rij t i 1 j 1 m
若n1 n2
ni n， 且Rij t R t ，则：
Rs t 1 1 R t
n m
例题： 若在 m n 5 的串－并联系统与并－串联系统中， 单元可靠度均为 Rt 0.75 ，试分别求出这两个系统的可靠度。
解：（1）对于串－并联系统，由式 Rs t 1 1 Rt
Rs1 t 1 1 R t
e 1t e 2t e 3t e (12 )t e (13 )t (12 3 )t
(2 3 )t
e
e
MTBF s RS (t )dt
0
1 1 1 2 3 1 2 3 2 1 1 1 3 1 2 3
i 1 n
4. 特例( 1)：假定各单元寿命服从指数分布，n 个单元失效
都属于偶然失效。令单元失效率为 （常数），单元可靠度为 i Ri (t ) e it .则：
n it n n it 系统可靠度RS (t ) e e i1 (令s i )
i 1
3.4 混联系统
1.一般混联系统模型
问题：如何计算可靠度？
1. R123 t R1 t R2 t R3 t R45 t R4 t R5 t
R12345 t 1 1 R123 t 1 R45 t 2. R67 t 1 1 R6 t 1 R7 t
1 2
e 1t e 2t e ( 1 2 )t
n 3时 Rs (t ) R1 (t ) R2 (t ) R3 (t ) R1 (t ) R2 (t ) R2 (t ) R3 (t )
R1 (t ) R3 (t ) R1 (t ) R2 (t ) R3 (t )
第三章 系统可靠性模型
一.系统定义和可靠性框图的建立 二.串联系统的可靠性模型 三.并联系统的可靠性模型 四.混联系统的可靠性模型 五.表决系统的可靠性模型 六.旁联系统的可靠性模型 七.复杂系统（桥式）的可靠性模型
3.1 系统的定义和可靠性框图的建立
1. 系统 定义：是为了完成某一特定功能，由若干个彼此有联系 的而且又能相互协调工作的单元所组成的综合体。
s 1 2 0.00005 0.00001 0.00006 （ 1/ h）
Rs (t ) e st e 0.000061000 0.94176
s 1/ s 1/ 0.00006 16667h
3.3 并联系统的可靠性模型
1.模型
如下图所示n个相互独立单元组成的并联系统
3. R12345678 t R12345 t R67 t R8 t
如何计算 （ ） , s ? s t
Rs t s t Rs t
s Rs t dt
0
2.串并联系统模型
特征：图2-7所示串—并联系统是由n个（列）子系统
MTBF s RS (t )dt
0
[e e e 0 1 1 1 1 2 1 2 R' s (t ) Fs ' (t ) s (t ) Rs (t ) Rs (t )
1 2
1t
2t
(12 )t
]dt
1e t 2e t (1 2 )e ( )t
i 1 n
Fs (t ) p( A) p( Ai ) Fi (t )
i 1 i 1
n
n
由互补定理 Rs (t ) 1 Fs (t ) n 1 Fi (t ) i1 n 1 (1 Ri (t )) i1
当n 2时，Rs (t ) 1 [1 R1 (t )] [1 R2 (t )] R1 (t ) R2 (t ) R1 (t ) R2 (t ) 当n 3时，Rs (t ) 1 [1 R1 (t )] [1 R2 (t )] [1 R3 (t )]
m n
得：
m n
1 1 0.75 0.99513
5 5
（2）对于并－串联系统，由式 Rs t 1 1 R n t
1 1 0.75 Rs 2 t 1 1 R t
n m 5 5
m
得：
0.74192
1 n
Rs t n e 1 e s t t n Rs t 1 1 e
t n 1
7.思考小结
Rs t 越高 1.并联系统的可靠度大于单元可靠度的最大值，n越大，
2.并联系统的平均寿命高于各单元的平均寿命 3.并联系统的失效概率低于各单元的失效概率 4.并联系统各单元服从指数分布，该系统不再服从指数分布。
mn m 则：
Rs t 1 1 R t
m n
3.并串联系统 特征：如图所示并—串联系统由m个子系统并联而成。
每个子系统是由ni个单元串联而成。
问题：如何求并串联系统可靠度?
设每个单元可靠度为Rij(t)，i行，i=1，2，…，m； j列，j=1，2，…，nm， 则第i行子系统的可靠度为： Ris t Rij t
2 1 2
1
1
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1e t 2e t (1 2 )e ( )t
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eபைடு நூலகம்
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( 1 2 ) t
2e t 2 e2t
2e t e2t 2 e t 1 e t
2 e 2 1 e
串联构成的系统。而每一个子系统是由mj个单 元并联而成。
问题：如何求出串并联系统可靠度
设每个单元的可靠度为 Rij(t)，i行，i=1，2，…，mj；j列， j=1，2，…，n，则第j列子系统的可靠度Rjs可由并联公式 m 写出：
R js t 1 1 Rij t
2.特点：只要其中任一个单元正常工作，系统就能
正常工作，只有n个单元全部失效时，系统才失效。
3.怎样求并联系统可靠度
令事件A为系统正常工作；为系统失效； A 令事件Ai 为第i个单元正常工作， Ai 为第i个单元失效。
对于并联系统： A1 A2 An A
p( A) p( A1 A2 An ) p( A1 ) p( A2 ) p( An )
R1 (t ) R2 (t ) R3 (t ) R1 (t ) R2 (t ) R2 (t ) R3 (t ) R1 (t ) R3 (t ) R1 (t ) R2 (t ) R3 (t )
4.特例( 1) ：单元寿命均服从i为常数的指数分布
n 2时 Rs (t ) R1 (t ) R2 (t ) R1 (t ) R2 (t ) t t ( )t e 1 e 2 e 1 2
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i 1
思考小结：上式说明了什么问题？
此时 s 1
s
特例(2)：
若1 2 ... n ，则:s n 1
Rs (t ) Rn (t ) ent
1 s s n n 1
思考小结：上式说明了什么问题？
例题 为提高系统的可靠性，液压器中采用2个滤油器组装成串联结 构，在滤油器由滤网堵塞而失效的情况下求系统的可靠度、失效率 及平均寿命。已知两个滤油器的失效率分别为 1 0.00005 (1/h)， (1/h)，工作时间 t 1000 h。 2 0.00001 解：由前面介绍的计算公式得：
2.当阀1与阀2处于闭合状态时，不能截 流为系统失效，其中包括阀门泄露。
4.系统逻辑模型分类
分类依据：单元在系统中所处的状态及其对系统 的影响。
3.2 串联系统的可靠性模型
1.模型：一个系统由N个单元逻辑串联组成。
2.特点：任意一个单元失效则整个系统失效；
只有N个单元均正常工作系统才正常工作。
3.怎样求串联系统的可靠度
令事件A为系统处于正常工作状态；事件 Ai(i=1,2…n)为单元处于正常的工作状态
对于串联系统：A=A1 A2 ... An
求系统可靠度：P(A) P(A1 ) P(A 2 ) ... P(A n ) P(A i )
i 1 n
即系统可靠度与单元可靠度的关系为：
R S (t) P(A) R1 (t) R 2 (t) ... R n (t) R i (t)
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t
t 2
t
n 3时，可以自行推导
2 e t
6.推导n个相同单元并联情况
Rs t 1 1 R t 1 1 e
n t n
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0
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1
1 1 1 1 n 2
结论：在单元数目及单元可靠度相同的情况下，串－并联 系统可靠度高于并－串联系统可靠度。
3.5 表决系统可靠性模型
1.模型：指由n个单元组成的系统中，
至少有K 个单元正常工作， 系统才正常工作。记为K / n[G ]
2.特例：串联系统是n / n[G], 并联系统是1/ n[G]。
机械系统、电路系统和自动控制系统 等常用最简单的2 / 3[G ]表决系统
i 1
j
整个系统可靠度可用串联系统公式得到：
mj Rs t R js t 1 1 Rij t j 1 j 1 i 1 n n
若每个单元的可靠度相等，均为 Rij t Rt
且：m1 m2
分类：按修复与否划分为 不可修复系统 可修复系统
2. 系统可靠性框图的建立 步骤：由系统的工程结构图 系统的可靠性框图。 工程结构图：是表示组成系统的各单元之间的物理 关系和工作关系。 可靠性框图：又称为功能逻辑图，是表示系统的功能与 组成系统的单元之间的可靠性功能关系。
3.系统逻辑的最基本类型:
1
1
1
Fs ' (t ) R' s (t ) s (t ) Rs (t ) Rs (t )
5特例( 2) : 单位寿命均服从指数分布且失效率均为 n 2时，Rs t e1t e2t e(12 )t 2et e2t
s
1 2 1 3 3 1 2 1 2 2 2 2
串联系统 如果系统中的任何一个单元失效，系 统就失效，或者说系统中每个单元都正常工作， 系统才能完成其规定的功能。 并联系统 只有当所有的单元都失效，系统才丧 失其规定的功能，或者说着要有一个单元正常 工作，系统就能完成其规定的功能。
例： 1.当阀1与阀2处于开启状态时，液体不 流通为系统失效，其中包括阀门关闭。
j 1 ni
整个系统可靠度可用并联系统公式得到：
ni Rs t 1 1 Rij t i 1 j 1 m
若n1 n2
ni n， 且Rij t R t ，则：
Rs t 1 1 R t
n m
例题： 若在 m n 5 的串－并联系统与并－串联系统中， 单元可靠度均为 Rt 0.75 ，试分别求出这两个系统的可靠度。
解：（1）对于串－并联系统，由式 Rs t 1 1 Rt
Rs1 t 1 1 R t
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(2 3 )t
e
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MTBF s RS (t )dt
0
1 1 1 2 3 1 2 3 2 1 1 1 3 1 2 3
i 1 n
4. 特例( 1)：假定各单元寿命服从指数分布，n 个单元失效
都属于偶然失效。令单元失效率为 （常数），单元可靠度为 i Ri (t ) e it .则：
n it n n it 系统可靠度RS (t ) e e i1 (令s i )
i 1
3.4 混联系统
1.一般混联系统模型
问题：如何计算可靠度？
1. R123 t R1 t R2 t R3 t R45 t R4 t R5 t
R12345 t 1 1 R123 t 1 R45 t 2. R67 t 1 1 R6 t 1 R7 t
1 2
e 1t e 2t e ( 1 2 )t
n 3时 Rs (t ) R1 (t ) R2 (t ) R3 (t ) R1 (t ) R2 (t ) R2 (t ) R3 (t )
R1 (t ) R3 (t ) R1 (t ) R2 (t ) R3 (t )
第三章 系统可靠性模型
一.系统定义和可靠性框图的建立 二.串联系统的可靠性模型 三.并联系统的可靠性模型 四.混联系统的可靠性模型 五.表决系统的可靠性模型 六.旁联系统的可靠性模型 七.复杂系统（桥式）的可靠性模型
3.1 系统的定义和可靠性框图的建立
1. 系统 定义：是为了完成某一特定功能，由若干个彼此有联系 的而且又能相互协调工作的单元所组成的综合体。
s 1 2 0.00005 0.00001 0.00006 （ 1/ h）
Rs (t ) e st e 0.000061000 0.94176
s 1/ s 1/ 0.00006 16667h
3.3 并联系统的可靠性模型
1.模型
如下图所示n个相互独立单元组成的并联系统
3. R12345678 t R12345 t R67 t R8 t
如何计算 （ ） , s ? s t
Rs t s t Rs t
s Rs t dt
0
2.串并联系统模型
特征：图2-7所示串—并联系统是由n个（列）子系统
MTBF s RS (t )dt
0
[e e e 0 1 1 1 1 2 1 2 R' s (t ) Fs ' (t ) s (t ) Rs (t ) Rs (t )
1 2
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