高中数学精品讲义第十章第八节离散型随机变量的均值与方差正态分布Word版含答案

第八节离散型随机变量的均值与方差、正

态分布

1.均值

一般地，若离散型随机变量X的分布列为：

X x1x2…x i…x n

P p1p2…p i…p n

则称E(X)＝x1p1＋x22i i n n.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.,(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态.,(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.

2.方差

设离散型随机变量X 的分布列为：

则(x i －E (X ))2

描述了x i (i ＝1,2，…，n )相对于均值E (X )的偏离程度.而D (X )＝∑i ＝1

n

(x i －

E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度.称D (X )为随机变量X 的方差，并称其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差.

(1)随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.D (X )越大，表明平均偏离程度越大，X 的取值越分散.反之，D (X )越小，X 的取值越集中在E

(X )附近.,(2)方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负.

3.两个特殊分布的期望与方差

4.正态分布 (1)正态曲线的特点

①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1

σ2π；

④曲线与x 轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.

(2)正态分布的三个常用数据 ①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 6； ②P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)≈0.954 4； ③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)≈0.997 4.

[熟记常用结论]

若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 是常数，X 是随机变量，则 (1)E (k )＝k ，D (k )＝0，其中k 为常数； (2)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )； (3)E (X 1＋X 2)＝E (X 1)＋E (X 2)；

(4)D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2；

(5)若X 1，X 2相互独立，则E (X 1·X 2)＝E (X 1)·E (X 2).

(6)若X ～N (μ，σ2)，则X 的均值与方差分别为：E (X )＝μ，D (X )＝σ2.

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)随机变量的均值是常数，样本的均值是随机变量.( )

(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小.( )

(3)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× 二、选填题

1.已知X 的分布列为：

设Y ＝2X ＋3，则E (Y )A.7

3 B.

4 C.－1

D.1 解析：选A ∵E (X )＝－12＋16＝－1

3，

∴E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝7

3

.

2.已知ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，1

3，并且η＝2ξ＋3，则方差D (η)＝( ) A.32

9 B.89 C.439

D.599 解析：选A 由题意知，D (ξ)＝4×1

3×⎝⎛⎭⎫1－13＝89， ∵η＝2ξ＋3，∴D (η)＝4·D (ξ)＝4×89＝32

9

.

3.设随机变量X 服从正态分布N (0,1)，若P (X ＞1)＝p ，则P (－1＜X ＜0)＝( ) A.1

2＋p B.1－p C.1－2p

D.12

－p 解析：选D 因为随机变量X 服从正态分布N (0,1)，所以正态分布曲线关于直线x ＝0对称，

所以P (X ＞0)＝P (X ＜0)＝1

2，P (X ＞1)＝P (X ＜－1)＝p ，

所以P (－1＜X ＜0)＝P (X ＜0)－P (X ＜－1)＝1

2

－p .

4.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X 表示取到次品的次数，则D (X )＝________.

解析：∵X ～B ⎝⎛⎭⎫3，14，∴D (X )＝3×14×34＝916. 答案：

916

5.一个正四面体ABCD 的四个顶点上分别标有1分，2分，3分和4分，往地面抛掷一次记不在地面上的顶点的分数为X ，则X 的均值为________.

解析：X 的分布列为：

∴E (X )＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝5

2.

答案：5

2

考点一 离散型随机变量的均值与方差[师生共研过关]

[典例精析]

为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，2

3

；两人滑雪时间都不会