高数PPT课件第三节 三重积分

极坐标不等式表示
, 1( ) 2( ).
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三重积分
再确定Ω的下, 上边界面
z z1( , ), z z2( , )
从而 : ,1( ) 2( ),
z1 ( , ) z z2 ( , )
故 f ( cos , sin , z)dd dz
d
2( )d z2( , ) f ( cos , sin , z)dz
a
y1 ( x )
z1 ( x, y )
8
三重积分
f ( x, y, z)dv
b
dx
y2 ( x) dy
z2( x, y) f ( x, y, z)dz
a
y1 ( x )
z1 ( x, y )
注
这是平行于 z 轴且穿过闭区域
内部的直线与闭区域 的边界曲面 S
相交不多两点情形.
9
三重积分
直角坐标系下计算三重积分 (直角坐标体积元素 dv dxdydz )
柱面坐标系下计算三重积分 (柱面坐标与直角坐标的关系
x cos , y sin , z z
柱面坐标体积元素 dxdydz dd dz )
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三重积分
作业
习题10-3 (164页） 1.(2) 5. 9.(2) 12.(3) 其他题目请同学们根据自己的喜 好和能力自我把握
1 ( )
z1 ( , )
注 通常是先积 z、再积 、后积 .
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三重积分
例 计算 z x2 y2dv,其中Ω由半圆柱面
x2 y2 2x 0( y 0)及平面y 0, z 0, z a 0
所围成. 解 积分域用柱坐标表示为
z
zzaa
: 0 z a, 0 2cos ,
再计算 F ( x, y)在闭区间 D 上的二重积分
F ( x, y)d [ z2( x,y) f ( x, y, z)dz]d
D
z1 ( x, y ) D
D : y1( x) y y2( x), a x b, X－型
得 f ( x, y, z)dv
b
dx
y2 ( x)dy z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz
例 计算三重积分 zdxdydz,其中为
三个坐标面及平面x y z 1所围成的闭区域 .
解 截面法(先二后一法)
1
zdxdydz 0 zdz dxdy
Dz
Dz {( x, y) | x y 1 z}
z
1 x yz1
1O
x
Dz
1y
1
dxdy 2(1 z)(1 z)
Dz
原式= 1 z 1(1 z)2dz 1 .
2 x2
I dx
dy
f ( x, y, z)dz
1
1 x2
x22 y2
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三重积分
截面法(先二后一法)
截面法的一般步骤
(1)把积分区域向某轴(如z轴) 投影,
得投影区间[c1,c2 ];
(2)对z [c1,c2 ]用过z轴且平行xOy的平面去截 ,
得截面Dz; (红色部分)
z
c2
(3) 计算二重积分 f ( x, y, z)dxdy z
b x
z z2( x, y)
z2 S2
z1 S1
z z1( x, y)
D
(x, y)
y
y y2( x)
y y1(x)
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三重积分
先将 x, y 看作定值, 将 f ( x, y, z)只看作 z 的函数, 则
F ( x, y) z2( x,y) f ( x, y, z)dz z1 ( x, y )
0
2
原式 z d d dz
2 d
2cos 2d
a zdz 8 a2 .
0
0
0
9
O
x
y
x2 y2 2x 0
y 2cos
O
2x 21
三重积分
选择题
曲面 x2 y2 之z2内及2曲z 面
z x2 y2
之外所围成的立体的体积 V ( D ).
2
1
1 2
( A) d d dz.
其中积分区域为由曲面 z x2 2 y2 及z 2 x2
所围成的闭区域.
解
由z z
x2 2 y2 得交线投影区域 2 x2
D : x2 y2 1
z z x2 2y2
1 x 1
故： 1 x2 y 1 x2
x2 2 y2 z 2 x2
O
x
y
z 2 x2
1
1 x2
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三重积分
x cos , y sin , z z
dv d d dz
f ( x, y, z)dxdydz
f ( cos , sin ,z)dd dz
如何计算柱坐标系下三重积分
回想 直角坐标系下计算三重积分方法.
将三重积分化为 三次积分(累次积分)
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三重积分
柱坐标系下三重积分的计算, 只要把被积
• M(x, y,z)
直角坐标与柱面坐标的关系为
x cos , y sin , z z
o
•
y
P(, )
x
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三重积分
如图, 在柱面坐标系中,
z
wk.baidu.com
若以三坐标面分割空间区域 ,
得小柱体 V (红色部分). 即
V z
z
柱面坐标系中的体积元素为 o
y
dv dd dz
x
直角坐标系下三重积分与 柱(面)坐标系下三重 积分的关系是
02
24
z
1 x yz1
1O
1y
x
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三重积分
cylindrical coordinates
2.利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点, 并设点M在xOy
面上的投影P的极坐标为 , , 则这样的三个数
, , z 就叫点M的柱面坐标.
规定 0 , 0 2 ,
z
z
设被积函数 f ( x, y, z) 1,则区域V 的体积为
V 1 dv
V
4
三重积分
(property)
4f.(三x,重y,积z分) 的性f (质x, y, z与) 二( f重( x积, y分,的z)性 质f (类x,似y,.z))
则称f关补于充变三量重z积的分奇对(偶称)性函质数.
若域 关于xOy坐标面对称,则 f ( x, y, z)dv
0
0
2
2
1 1 2
(B) 0 d 0 d 1 dz.
2
1
1
(C ) d d dz.
0
0
2
2
1
2
(D) d d
dz.
0
0
1 1 2
z
O
y
x xy : x2 y2 1
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三重积分
三、小结
三重积分的定义 (四步:分割、取近似、求和、取极限)
三重积分的计算 (思想:计算时将三重积分化为三次积分)
第三节 三重积分
(triple integral)
三重积分的概念 三重积分的计算 小结 思考题 作业
第九章 重积分
1
三重积分
一、三重积分的概念
1. 三重积分的定义 (define)
① 设f ( x, y, z)是空间有界闭区域Ω上的 有界函数. 将闭区域Ω任意分成n个小闭区域
v1, v2 , vn
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函数中的 , , z与x, y, z等同的看为三个变量.
类
f ( x, y, z)dxdydz
比
公 式
b
dx
y2 ( x)dy z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz
a
y1 ( x )
z1 ( x, y )
可得柱坐标系下三重积分化为三次积分
的计算公式. 如,先将Ω在xOy面上的投影域用
记为 f ( x, y, z)dv
Ω
n
即
Ω
f ( x, y, z)dv
lim 0
i 1
f (i ,i , i )vi
体积元素
3
三重积分
2. 三重积分存在性 (existence)
当f ( x, y, z)的三重积分存在性时,称f ( x, y, z) 在Ω上是可积的.
连续函数一定可积 3. 三重积分的几何意义
02
24
14
三重积分
计算三重积分 zdxdydz,其中为
三个坐标面及平面
x
y
z
1所围成的闭区域 .
投影法(先一后二法)
zdxdydz
d
1 y z
zdx
D yz
0
1
1 z
1 yz
0 zdz0 dy0 dx
1
1 z
0 zdz0 (1 y z)dy
1 z 1 (1 z)2dz 1 .
例 计算三重积分 I x3 y4 cos zdxdydz,
其中V是长方体 V
V
( x,
y, z) 0
x
1,
0
y
1,
0
z
2
.
解 由于V是长方体, 三次积分的上、下限
都是常数, 故
z
I 1 x3dx 1 y4dy 2 cos zdz
0
0
0
1 11 1 4 5 20
O
y
x
10
三重积分
例 化三重积分I f ( x, y, z)dxdydz为三次积分,
②其在中每个vi表v示i上第任i个取小一闭点区(域i ,,i也,表i ),示作它乘的积体积.
f (i ,i , i )vi (i 1,2 , n),③并作和
n
④
f (i ,i , i )vi .如当各小闭区域直径中的最大值
i 1
2
三重积分
趋于零时这和的极限总存在, 则称此极限为
函数 f ( x, y, z)在闭区域Ω上的三重积分.
Dz
Dz
其结果为z的函数F (z);
c1
(4) 最后计算单积分 c2 F (z)dz.
c1
x
o
y
12
三重积分
c2
即 f ( x, y, z)dv dz f ( x, y, z)dxdy
c1
Dz
c2
F (z)dz
c1
注当被积函数仅与变量z有关, 且截面Dz易知时, 用上公式简便.
13
三重积分
0
2 Ω1
f
( x,
y, z)dv
f为z的奇函数 f为z的偶函数
其 中 1为在xOy 坐标面的上半部区域.
5
三重积分
二、三重积分的计算
1. 在直角坐标系下计算三重积分 在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的
平面的来划分 , 则 vi x jykzl . ( vi是小长方体 ). 故直角坐标系下的体积元素为
dv dxdydz
在直角坐标系下三重积分可表为
f ( x, y, z)dv f ( x, y, z)dxdydz
6
三重积分
思想是 直角坐标系中将三重积分化为三次积分
投影法 (先一后二法)
如图, 闭区域 在xOy
面上的投影为闭区域D, z
S1 : z z1( x, y),
S2 : z z2( x, y), 过点 ( x, y) D 作直线, 从 z1 穿入, 从 z2 穿出． a O