第二章多变量最优化
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– 给定定义在n维空间 R
n
3.推导模型的数学表达式
由上述分析与基本假设，原问题的数学模型如下：
P R C ps qt 400 000 195s 225t 339 0.01s 0.003t s 339 0.04 s 0.01t t 400 000 195s 225t
第四步中的计算有点繁琐，这种情况下，可以 采用计算机代数系统来进行所需的计算。计算机 代数系统可以求导数、求积分、解方程组、化简 代数表达式。大多数的软件还可以进行矩阵运算、 画图、求解微分方程组。 利用计算机代数系统求解问题有几项优点：它 可以提高效率，结果更准确。
4.利用第二步确定的标准过程求解
图2.2给出了函数P的3维图象，图象显示，y在内部达到 最大值；图2.3给出了P的水平集图，从中我们可以估计出y的 最大值出现在x1=5000,x2=7000附近。函数y是一个抛物面， 其最高点为方程组的唯一解。
图2.1 彩电问题的利润y关于19英寸彩电的生产量s和 21英寸彩电的生产量t的3维图象
2.2拉格朗日乘子
本节我们开始讨论具有更复杂结构的最优化问题 。我们在上一节开始就提到，当寻找最优解的集 合变得复杂时，多变量最优化问题的求解就会复 杂化。在实际问题中，由于存在着对独立变量的 限制条件，是我们不得不考虑这些更复杂的模型 。
问题2：
在问题1中，我们假设公司每年有能力生产任何数量的彩电。现在 我们根据允许的生产能力引入限制条件。公司考虑投产者两种新产品 是由于计划停止黑白电视机的生产。这样装配厂就有了额外的生产能 力。这些额外的生产能力就可以用来提高那些现有产品的产量，但公 司认为新产品会带来更高的利润。据估计，现有的生产能力允许每年 可以生产10000台电视（约每周200台）。公司有充足的19英寸、21英 寸彩色显像管、底盘及其他标准配件。但现在生产电视所需要的电路 板供给不足。此外，19英寸彩电所需要的电路板与21英寸彩电的不同 ，这是由于其内部的结构造成的。只有进行较大的重新设计才能改变 这一点，但公司现在不准备做这项工作。电路板的供应商每年可以提 供8000块21英寸彩电的电路板和5000块19英寸彩电的电路板。考虑到 所有这些情况，彩电公司应该怎样确定其生产量？
ds a S ( s, a ) da s
S (s, a)
同理可得：
S (t , a)
ds a 1.14 da s
如果19英寸彩电的价格弹性系数在0.01美元/台的基 础上提高10%，则我们应该将19英寸彩电的生产量在4735台 上缩小11%，21英寸彩电的生产量在7043台上扩大2.7%。
问题1中的全部常量包括：
1.两种彩电的初始定价：339美元和399美元； 2.其对应的成本分别为：195美元和225美元； 3.每种彩电多销售一台，平均售价下降系数a=0.01 美元（称为价格弹性系数），两种彩电之间的销售 相互影响系数分别为0.004美元和0.003美元； 4.固定成本为400000美元。
图2.7 利润关于a的灵敏性
wenku.baidu.com
灵敏性分析
在计算dy/da除了前面直接对(2-3)式的单变量求导 外，还可以利用多变量函数的链式法则：
dy y dx1 y dx2 y da x1 da x2 da a (2-4)
由于在极值点 P x1 与P x2都为零，则有 dy y x12 da a 这样可直接得到dy/da，进而求出 S ( y, a) 0.40 . (2-4) 式中的：y dx1 y dx2 0 有其实际意义
灵敏性分析
例如：设a=0.01, 但实际的价格弹性系数比它高出了 10%.我们用原来算出的最优生产量(4735,7043),与a=0.011 算出的最优生产量(4251,7212)相比，我们会少生产出11% 的19英寸彩电,而多生产约3%的21英寸彩电.而且利润也会 比最优值低4%. 但我们仍采用该模型的结果实际会损失什么呢？采用 原来算出的最优生产量(4735,7043), 会得到利润为531219 美元，而采用现在算出的最优生产量(4251,7212)会得到最 优利润为533514美元。因此，采用我们模型的结果，虽然 现在的生产量与最优生产量有相当的差距，但获得的利润 仅仅比可能的最优利润损失了0.43%。在这意义下，我们的 模型显示了非常好的稳健性。
图2.2 彩电问题中关于19英寸彩电的生产量x1和 21英寸彩电的生产量x2的利润函数有的水平集图
5.回答第一步中提出的问题
简单来说，这家公司今年可以通过生产4735台19 英寸彩电和7043台21英寸彩电来获得最大利润，每年 获得的净利润为553641美元。 19英寸彩电的每台平均售价为270.52美元；21英 寸彩电的每台平均售价为309.63美元；生产总支出为 2907950美元，相应的利润率为19%。这些数据显示 有利可图，因此建议公司推出新产品。
S x1 , x2 : x1 0, x2
y f x1 , x2 339 0.01x1 0.003 x2 x1 339 0.04 x1 0.01x2 x2 400 000 195 x1 225 x2
4.利用第二步确定的标准过程求解
y ( x1 , x2 ) （339-ax1 0.003x2 ) x1 (399 0.004 x1 0.01x2 ) x2 (400000 195 x1 225 x2 )
令y关于x1，x2的偏导数为零，则：
1662000 40000a 49 581700 x2 (a) 8700 40000a 49 x1 (a)
数学建模方法与分析
第2章 多变量的最优化
2.1无约束最优化
最简单的多变量最优化问题是在一个比较好的区 域上求一个可微的多元函数的最大值或最小值。 我们在后面会看到，当求最优值的区域比较复杂 时，问题就会变得复杂。
问题1：
一家彩电制造商计划推出两种新产品：一种19英寸立体声彩色电 视机，制造商建议零售价为339美元。另一种21英寸立体声彩色电视机 ，零售价为399美元。公司付出的成本为19英寸彩店每台195美元，21 英寸彩电每台225美元，还要加上400000美元的固定成本。在竞争的销 售市场中，每年售出的彩电数量会影响彩电的平均售价。据估计，对 每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。而且19 英寸彩电的销售会影响21英寸彩电的销售，反之也是如此。据估计， 每售出一台21英寸彩电，19英寸彩电的平均售价会下降0.3美分，而每 售出一台19英寸彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。问题是 ：每种彩电应该各生产多少台？
1.提出问题-变量间相互关系确定
假设
1：对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会 下降1美分,用a表示（即价格弹性系数a=0.01美元/台）。 2：据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均 售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸 彩电的平均售价会下降0.4美分。
2.2灵敏性分析
图2.7 画出了y关于a的曲线图。由图上显示，19英寸 彩电的价格弹性系数a的提高，会导致利润的下降。 dy a 而当a=0.01时有： S ( y, a) da y 0.40 说明当19英寸彩电的价格弹性系数a提高10%时，利润P 只减少4%，a的微小变化对模型结果(利润)的影响很小。
dt a 0.268 da t
灵敏性分析
2）利润对a的灵敏性分析 19英寸彩电的价格弹性系数的变化会对利润造成什么 影响？ 直接把（2-2）带入利润的表达式，得
1662000 581700 1662000 0.003(8700 )) 40000a 49 40000 a 49 40000 a 49 1662000 581700 581700 （2-3） (399 0.004 0.01(8700 ))(8700 ) 40000a 49 40000 a 49 40000 a 49 1662000 581700 (400000 195 225(8700 )) 40000a 49 40000a 49 y (a) （399-a
1.提出问题-变量
问题1中的全部变量包括：
s=19英寸彩电的售出数量（台）； t=21英寸彩电的售出数量（台）； p=19英寸彩电的平均销售价格（美元/台）； q=21英寸彩电的平均销售价格（美元/台）； C=生产彩电的成本（美元）； R=彩电销售的收入（美元）； P=彩电销售的利润（美元）。
1.提出问题-常量
–
– 因此，原问题转化为求s≥0和t≥0，使得y=P
取得最大值。
2.选择建模方法
概述选定的建模方法
– 这个问题我们视为无约束的多变量最优化问题。这类
问题通常在多元微积分得入门课程中都有介绍。我们 这里只给出模型的要点和一般的求解过程。
2.选择建模方法
的子集S上的函数 y f ( x1 , , xn ) 。我们要求 f 在集合S上的最大值或最小值。一个定 理给出：若 f 在S的某个点内 ( x1 , , xn ) 达到极大值或 极小值，设 f 在这点可微，则在这个点上 f 0 。也 就是说，在极值点有 f f ( x1 , , xn ) 0 ( x1 , , xn ) 0 （2-1） xn x1 据此我们可以在求极大或极小点时，不考虑那些在S内 部使 f 的某一个偏导数不为0的点。因此，要求极大或 极小点，我们就要求解方程组(2-1)给出的n个未知数、 n个方程的联立方程组。然后我们还要检查S的边界上的 点,以及那些一个或多个偏导数没有定义的点。
2.2灵敏性分析
由于在模型中我们假设19英寸彩电的价格弹性系数 a=0.01美元/台，所以应该研究它的微小变化对模型结果的 影响。而模型主要求的是生产量以及最大利润，所以我们 只考虑a的微小变化对这两个的影响.
2.2灵敏性分析
1）产量对a的灵敏性分析
在模型中我们假设a=0.01美元/台，将其带入前面利润的 公式中，我们得到：
变量间关系
– 因此，19英寸彩电的销售价格为： –
p=339-a×s-0.003×t，此处a=0.01
1.提出问题-变量间相互关系确定
– 21英寸彩电的销售价格为：
q=399 - 0.01×t - 0.004×s – 因此，总的销售收入为： – R=p×s + q×t – 生产成本为： – C=400000 + 195×s + 225×t – 净利润为： – P = R - C
（2-2）
2.2灵敏性分析
图2.3,2.4画出了x1(a)，x2(a)关于a的曲线图。 由图上显示，19英寸彩电的价格弹性系数a的提高，会导致 19英寸彩电的最优生产量x1的下降，及21英寸彩电的最优 生产量x2的提高。
图2.5 x1关于a的灵敏性曲线
图2.6 x2关于a的灵敏性曲线
灵敏性分析
可以用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度。s对a 的灵敏性记作 S (s, a) ,定义为 当a=0.01时有：
x1 da
x2 da
灵敏性分析
导数dy/da中的这一部分代表了最优生产量x1和x2的变 化对利润的影响。其和为零说明了生产量的微小变化对利 润几乎没有什么影响。从几何上看，由于y(x1,x2)在极值 点是平的，x1和x2的微小变化对y几乎没有什么影响。所以 19英寸彩电的价格弹性系数10%的提高而导致的最优利润的 下降几乎全部是由售价的改变引起的。因此我们的模型给 出的生产量几乎是最优的.
清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得 利润最大化？
2.1五步法
– 1.提出问题 – 2.选择建模方法
– 3.推导模型的数学表达式
– 4.求解模型 – 5.回答问题
1.提出问题-变量
问题1中的全部变量包括：
s=19英寸彩电的售出数量（台）； t=21英寸彩电的售出数量（台）； p=19英寸彩电的平均销售价格（美元/台）； q=21英寸彩电的平均销售价格（美元/台）； C=生产彩电的成本（美元）； R=彩电销售的收入（美元）； P=彩电销售的利润（美元）。
n
3.推导模型的数学表达式
由上述分析与基本假设，原问题的数学模型如下：
P R C ps qt 400 000 195s 225t 339 0.01s 0.003t s 339 0.04 s 0.01t t 400 000 195s 225t
第四步中的计算有点繁琐，这种情况下，可以 采用计算机代数系统来进行所需的计算。计算机 代数系统可以求导数、求积分、解方程组、化简 代数表达式。大多数的软件还可以进行矩阵运算、 画图、求解微分方程组。 利用计算机代数系统求解问题有几项优点：它 可以提高效率，结果更准确。
4.利用第二步确定的标准过程求解
图2.2给出了函数P的3维图象，图象显示，y在内部达到 最大值；图2.3给出了P的水平集图，从中我们可以估计出y的 最大值出现在x1=5000,x2=7000附近。函数y是一个抛物面， 其最高点为方程组的唯一解。
图2.1 彩电问题的利润y关于19英寸彩电的生产量s和 21英寸彩电的生产量t的3维图象
2.2拉格朗日乘子
本节我们开始讨论具有更复杂结构的最优化问题 。我们在上一节开始就提到，当寻找最优解的集 合变得复杂时，多变量最优化问题的求解就会复 杂化。在实际问题中，由于存在着对独立变量的 限制条件，是我们不得不考虑这些更复杂的模型 。
问题2：
在问题1中，我们假设公司每年有能力生产任何数量的彩电。现在 我们根据允许的生产能力引入限制条件。公司考虑投产者两种新产品 是由于计划停止黑白电视机的生产。这样装配厂就有了额外的生产能 力。这些额外的生产能力就可以用来提高那些现有产品的产量，但公 司认为新产品会带来更高的利润。据估计，现有的生产能力允许每年 可以生产10000台电视（约每周200台）。公司有充足的19英寸、21英 寸彩色显像管、底盘及其他标准配件。但现在生产电视所需要的电路 板供给不足。此外，19英寸彩电所需要的电路板与21英寸彩电的不同 ，这是由于其内部的结构造成的。只有进行较大的重新设计才能改变 这一点，但公司现在不准备做这项工作。电路板的供应商每年可以提 供8000块21英寸彩电的电路板和5000块19英寸彩电的电路板。考虑到 所有这些情况，彩电公司应该怎样确定其生产量？
ds a S ( s, a ) da s
S (s, a)
同理可得：
S (t , a)
ds a 1.14 da s
如果19英寸彩电的价格弹性系数在0.01美元/台的基 础上提高10%，则我们应该将19英寸彩电的生产量在4735台 上缩小11%，21英寸彩电的生产量在7043台上扩大2.7%。
问题1中的全部常量包括：
1.两种彩电的初始定价：339美元和399美元； 2.其对应的成本分别为：195美元和225美元； 3.每种彩电多销售一台，平均售价下降系数a=0.01 美元（称为价格弹性系数），两种彩电之间的销售 相互影响系数分别为0.004美元和0.003美元； 4.固定成本为400000美元。
图2.7 利润关于a的灵敏性
wenku.baidu.com
灵敏性分析
在计算dy/da除了前面直接对(2-3)式的单变量求导 外，还可以利用多变量函数的链式法则：
dy y dx1 y dx2 y da x1 da x2 da a (2-4)
由于在极值点 P x1 与P x2都为零，则有 dy y x12 da a 这样可直接得到dy/da，进而求出 S ( y, a) 0.40 . (2-4) 式中的：y dx1 y dx2 0 有其实际意义
灵敏性分析
例如：设a=0.01, 但实际的价格弹性系数比它高出了 10%.我们用原来算出的最优生产量(4735,7043),与a=0.011 算出的最优生产量(4251,7212)相比，我们会少生产出11% 的19英寸彩电,而多生产约3%的21英寸彩电.而且利润也会 比最优值低4%. 但我们仍采用该模型的结果实际会损失什么呢？采用 原来算出的最优生产量(4735,7043), 会得到利润为531219 美元，而采用现在算出的最优生产量(4251,7212)会得到最 优利润为533514美元。因此，采用我们模型的结果，虽然 现在的生产量与最优生产量有相当的差距，但获得的利润 仅仅比可能的最优利润损失了0.43%。在这意义下，我们的 模型显示了非常好的稳健性。
图2.2 彩电问题中关于19英寸彩电的生产量x1和 21英寸彩电的生产量x2的利润函数有的水平集图
5.回答第一步中提出的问题
简单来说，这家公司今年可以通过生产4735台19 英寸彩电和7043台21英寸彩电来获得最大利润，每年 获得的净利润为553641美元。 19英寸彩电的每台平均售价为270.52美元；21英 寸彩电的每台平均售价为309.63美元；生产总支出为 2907950美元，相应的利润率为19%。这些数据显示 有利可图，因此建议公司推出新产品。
S x1 , x2 : x1 0, x2
y f x1 , x2 339 0.01x1 0.003 x2 x1 339 0.04 x1 0.01x2 x2 400 000 195 x1 225 x2
4.利用第二步确定的标准过程求解
y ( x1 , x2 ) （339-ax1 0.003x2 ) x1 (399 0.004 x1 0.01x2 ) x2 (400000 195 x1 225 x2 )
令y关于x1，x2的偏导数为零，则：
1662000 40000a 49 581700 x2 (a) 8700 40000a 49 x1 (a)
数学建模方法与分析
第2章 多变量的最优化
2.1无约束最优化
最简单的多变量最优化问题是在一个比较好的区 域上求一个可微的多元函数的最大值或最小值。 我们在后面会看到，当求最优值的区域比较复杂 时，问题就会变得复杂。
问题1：
一家彩电制造商计划推出两种新产品：一种19英寸立体声彩色电 视机，制造商建议零售价为339美元。另一种21英寸立体声彩色电视机 ，零售价为399美元。公司付出的成本为19英寸彩店每台195美元，21 英寸彩电每台225美元，还要加上400000美元的固定成本。在竞争的销 售市场中，每年售出的彩电数量会影响彩电的平均售价。据估计，对 每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。而且19 英寸彩电的销售会影响21英寸彩电的销售，反之也是如此。据估计， 每售出一台21英寸彩电，19英寸彩电的平均售价会下降0.3美分，而每 售出一台19英寸彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。问题是 ：每种彩电应该各生产多少台？
1.提出问题-变量间相互关系确定
假设
1：对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会 下降1美分,用a表示（即价格弹性系数a=0.01美元/台）。 2：据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均 售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸 彩电的平均售价会下降0.4美分。
2.2灵敏性分析
图2.7 画出了y关于a的曲线图。由图上显示，19英寸 彩电的价格弹性系数a的提高，会导致利润的下降。 dy a 而当a=0.01时有： S ( y, a) da y 0.40 说明当19英寸彩电的价格弹性系数a提高10%时，利润P 只减少4%，a的微小变化对模型结果(利润)的影响很小。
dt a 0.268 da t
灵敏性分析
2）利润对a的灵敏性分析 19英寸彩电的价格弹性系数的变化会对利润造成什么 影响？ 直接把（2-2）带入利润的表达式，得
1662000 581700 1662000 0.003(8700 )) 40000a 49 40000 a 49 40000 a 49 1662000 581700 581700 （2-3） (399 0.004 0.01(8700 ))(8700 ) 40000a 49 40000 a 49 40000 a 49 1662000 581700 (400000 195 225(8700 )) 40000a 49 40000a 49 y (a) （399-a
1.提出问题-变量
问题1中的全部变量包括：
s=19英寸彩电的售出数量（台）； t=21英寸彩电的售出数量（台）； p=19英寸彩电的平均销售价格（美元/台）； q=21英寸彩电的平均销售价格（美元/台）； C=生产彩电的成本（美元）； R=彩电销售的收入（美元）； P=彩电销售的利润（美元）。
1.提出问题-常量
–
– 因此，原问题转化为求s≥0和t≥0，使得y=P
取得最大值。
2.选择建模方法
概述选定的建模方法
– 这个问题我们视为无约束的多变量最优化问题。这类
问题通常在多元微积分得入门课程中都有介绍。我们 这里只给出模型的要点和一般的求解过程。
2.选择建模方法
的子集S上的函数 y f ( x1 , , xn ) 。我们要求 f 在集合S上的最大值或最小值。一个定 理给出：若 f 在S的某个点内 ( x1 , , xn ) 达到极大值或 极小值，设 f 在这点可微，则在这个点上 f 0 。也 就是说，在极值点有 f f ( x1 , , xn ) 0 ( x1 , , xn ) 0 （2-1） xn x1 据此我们可以在求极大或极小点时，不考虑那些在S内 部使 f 的某一个偏导数不为0的点。因此，要求极大或 极小点，我们就要求解方程组(2-1)给出的n个未知数、 n个方程的联立方程组。然后我们还要检查S的边界上的 点,以及那些一个或多个偏导数没有定义的点。
2.2灵敏性分析
由于在模型中我们假设19英寸彩电的价格弹性系数 a=0.01美元/台，所以应该研究它的微小变化对模型结果的 影响。而模型主要求的是生产量以及最大利润，所以我们 只考虑a的微小变化对这两个的影响.
2.2灵敏性分析
1）产量对a的灵敏性分析
在模型中我们假设a=0.01美元/台，将其带入前面利润的 公式中，我们得到：
变量间关系
– 因此，19英寸彩电的销售价格为： –
p=339-a×s-0.003×t，此处a=0.01
1.提出问题-变量间相互关系确定
– 21英寸彩电的销售价格为：
q=399 - 0.01×t - 0.004×s – 因此，总的销售收入为： – R=p×s + q×t – 生产成本为： – C=400000 + 195×s + 225×t – 净利润为： – P = R - C
（2-2）
2.2灵敏性分析
图2.3,2.4画出了x1(a)，x2(a)关于a的曲线图。 由图上显示，19英寸彩电的价格弹性系数a的提高，会导致 19英寸彩电的最优生产量x1的下降，及21英寸彩电的最优 生产量x2的提高。
图2.5 x1关于a的灵敏性曲线
图2.6 x2关于a的灵敏性曲线
灵敏性分析
可以用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度。s对a 的灵敏性记作 S (s, a) ,定义为 当a=0.01时有：
x1 da
x2 da
灵敏性分析
导数dy/da中的这一部分代表了最优生产量x1和x2的变 化对利润的影响。其和为零说明了生产量的微小变化对利 润几乎没有什么影响。从几何上看，由于y(x1,x2)在极值 点是平的，x1和x2的微小变化对y几乎没有什么影响。所以 19英寸彩电的价格弹性系数10%的提高而导致的最优利润的 下降几乎全部是由售价的改变引起的。因此我们的模型给 出的生产量几乎是最优的.
清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得 利润最大化？
2.1五步法
– 1.提出问题 – 2.选择建模方法
– 3.推导模型的数学表达式
– 4.求解模型 – 5.回答问题
1.提出问题-变量
问题1中的全部变量包括：
s=19英寸彩电的售出数量（台）； t=21英寸彩电的售出数量（台）； p=19英寸彩电的平均销售价格（美元/台）； q=21英寸彩电的平均销售价格（美元/台）； C=生产彩电的成本（美元）； R=彩电销售的收入（美元）； P=彩电销售的利润（美元）。