第4章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论

大地测量学基础
第4章 地球椭球及其数学投影 变换的基本理论
环境科学与工程学院 张 序 Suzhou University of Sci and Technol (SUST)
4 .1 地球椭球的基本几何参数及其相互关系
4.1.1地球椭球基本参数及其互相关系
地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆的 五个基本几何参数(或称元素):
2 2

a b sin B (1 e 2 ) sin B W V
x N cos B
令: pn=N
a cos B x 2 2 W 1 e sin B a cos B
a N W
y N (1 e2 ) sin B
y PQ sin B
PQ N (1 e )
2
Qn Ne
地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分。
3、子午面直角坐标系
设P点的大地经度为L，在Βιβλιοθήκη BaiduP点的子午面上，以子午
圈椭圆中心为原点，建立x, y平面直角坐标系。在该坐标 系中，P点的位置用L, x, y表示。
4、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系
设椭球面上P点的大地经度L，在此子午面上以椭圆中
心O为原点建立地心纬度坐标系; 以椭球长半径a为半径作 辅助圆，延长Ｐ２Ｐ与辅助圆相交Ｐ１点，则OP１与x轴夹 角称为P点的归化纬度u。
2
2、空间直角坐标同子午面直角坐标系的关系
X x cos L, Y x sin L, Z y
3、空间直角坐标系同大地坐标系的关系
在椭球面上的点：
X x cos L N cos B cos L Y x sin L N cos B sin L Z y N (1 e 2 ) sin B
RA N (1 2 cos2 A 4 cos4 A )
•
任意法截弧的曲率半径的变化规律:
ＲＡ不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法截 弧的方位角A有关。 当Ａ＝０°时，变为计算子午圈曲率半径的，即Ｒ０ ＝Ｍ； 当ＲＡ＝90°时，为卯酉圈曲率半径，即Ｒ９０＝Ｎ。
主曲率半径M及N分别是ＲＡ的极小值和极大值。
4.3.4 任意法截弧的曲率半径
按尤拉公式，由曲面上任意一点主曲率 半径计算该点任意方位角A的法截弧的曲率 半径的公式为：
1 cos2 A sin 2 A RA M N
RA
MN N cos2 A M sin2 A
N V 12 M
N N RA 2 1 cos A 1 e'2 cos2 B cos2 A
x a cos u , y b sin u a a b sin B 2 x cos B , y (1 e ) sin B W W V
sin u 1 e2 sin B W
1 cosu cos B W
sin B V sin u
cos B W cosu
（2）U、φ之间的关系 y y tan 1 e 2 tan u x x （3）Ｂ、φ之间的关系
N n0 n2 sin 2 B n4 sin 4 B n6 sin6 B n8 sin8 B
式中：
m0 a (1 e )
2
n0 n2 n4 n6 n8
m2 m4 m6 m8
3 2 e m0 2 5 2 e m2 4 7 2 e m4 6 9 2 e m6 8
5、大地极坐标系
M是椭球面上一点，MN是过M的子午线，S为连接
MP的大地线长，A为大地线在M点的方位角。
以M为极点；
MN为极轴； P点极坐标为（S, A)
4.2.2 坐标系之间的相互关系
1、子午平面坐标系同大地坐标系的关系
dy tan(90 0 B) ctgB dx
x2 y 2 2 1 2 a b
当A由0°→90°时，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ，当A由 90°→180°时，ＲＡ值由N→Ｍ，可见ＲＡ值的变化是以 90°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。
4.4.5 平均曲率半径
R MN
b c N a R 2 2 2 1 e2 W V V W
椭球面上任意一点的平均曲率半径 R 等于该点子午 圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径N的几何平均值。
是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统 称为主曲率半径。
3 2
M a(1 e2 )(1 e2 sin2 B)
N a(1 e2 sin2 B)

1 2
按牛顿二项式定律展开级数
M m0 m2 sin 2 B m4 sin 4 B m6 sin6 B m8 sin8 B
Y L arctan X L arcs in L arccos
tan B
Y X2 Y2 X X2 Y2

Z Ne2 sin B X2 Y2
H z N (1 e 2 ) sin B
H
X 2 Y2 N cos B
4、B、u、 φ之间的关系 （1）B和u之间的关系
4.1.2地球椭球参数间的互相关系
c a 1 e '2 , a c 1 e 2 e ' e 1 e '2 , e e ' 1 e 2 2 2 V W 1 e' ,W V 1 e e 2 2 2 2 a b 1 e '2 , b a 1 e 2
M，N，R的关系
N RM
N90 R90 M 90 c
4.4 椭球面上的弧长计算 子午线弧长计算公式
dx MdB
X MdB
0 B
子午线曲率半径：
M m0 m2 sin 2 B m4 sin 4 B m6 sin6 B m8 sin8 B
1 1 cos 2 B 2 2 3 1 1 sin 4 B cos 2 B cos 4 B 8 2 8 5 15 3 1 sin 6 B cos 2 B cos 4 B cos 6 B 16 32 16 32 35 7 7 1 1 sin 8 B cos 2 B cos 4 B cos 6 B cos8 B 128 16 32 16 128 sin 2 B
B u
4.2.3 站心地平坐标系

大地站心地平坐标系是以测站法线和子午线方向为 依据的坐标系。其坐标关系式：
Z天顶
x S sin Z cos A y S sin Z cos A z S cos Z z y cos Z , tan A , S x 2 y 2 z 2 S x
•
长半轴 短半轴 椭圆的扁率 椭圆的第一偏心率 椭圆的第二偏心率
ａ ｂ
•
•

a b a
•
a 2 b2 e a
•
e'
a2 b2 b

为简化书写，还常引入以下符号
a2 c , b t tan B,
2 e '2 cos2 B
W 1 e 2 sin 2 B 2 2 V 1 e cos B
a cos B x W
dW sin BW cos B dx dB a dB W2
dW d 1 e 2 sin 2 B e 2 sin B cos B dB dB W
dx a sin B (1 e 2 ) dB W3
子午圈曲率半径
a (1 e ) M 3 W
y东
P2
Z12
S12
A12 P’2
x北
4.3 椭球面上的几种曲率半径
过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法 线，包含这条法线的平面叫作 法截面，法截面与椭球 面的交线叫法截线。
4.3.1 子午圈曲率半径
dS M dB
dx dS sin B
dx 1 M dB sin B

2
c M 3 V
4.3.2 卯酉圈曲率半径(N)
卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，
其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成 的闭合的圈称为卯酉圈。
麦尼尔定理:
假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一
为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜 截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截 弧平面夹角的余弦。
不在椭球面上的点： 0 H n
X ( N H ) cos B cos L Y ( N H ) cos B sin L Z [ N (1 e 2 ) H ] sin B
由空间直角坐标计算相应大地坐标
n0 ' c a / 1 e 2 1 n2 ' e'2 n0 ' 2 3 2 n4 ' e' n2 ' 4 5 2 n6 ' e' n4 ' 6 7 n8 ' e'2 n6 ' 8 9 2 ( n10 ' ) e' n8 ' 10
a 1 2 e n0 2 3 2 e n2 4 5 2 e n4 6 7 2 e n6 8
如果将：
M c (1 e'2 cos2 B)

3 2
N c (1 e' cos B)
2 2
1 2
按牛顿二项式定律展开级数
M m0 'm'2 cos2 B m4 ' cos4 B m6 ' cos6 B m8 ' cos8 B
N n0 ' n2 ' cos2 B n4 ' cos4 B n6 ' cos6 B n8 ' cos8 B
式中：
m0 ' c a / (1 e 2 ) 3 m2 ' e'2 m0 ' 2 5 m4 ' e'2 m2 ' 4 7 2 m6 ' e' m4 ' 6 9 2 m8 ' e' m6 ' 8 11 2 (m10 ' ) e' m8 ' 10
r N cos B
a cos B xr W
卯酉圈曲率半径
a N W
c N V
PO' r Pn N cos B cos B
卯酉圈曲率半径的特点:
卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴之间 的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位在椭球的旋转轴上。
4.3.3 主曲率半径的计算
以上讨论的子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径N，

tan 1 e 2 tan u
tan (1 e2 ) tan B
大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经 过计算，当B=45°时
( B u ) max 5.9' (u ) max 5.9' ( B ) max 11 .8'
b W 1 e2 V ( ) V a a 2 V 1 e ' W ( ) W b 2 2 2 2 2 W 1 e sin B (1 e )V V 2 1 2 (1 e '2 )W 2
4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
(1)
dy b2 x 2 dx a y
b2 x x c tgB 2 (1 e2 ) a y y
x a cos B 1 e sin B
2 2
(2)

a cos B W
y x(1 e 2 ) tan B
y
a (1 e 2 ) sin B 1 e sin B
4.2.1 各种坐标系的建立 1、大地坐标系
大地经度B 大地纬度L 大地高H
2、空间直角坐标系
坐标原点位于总地球椭球(或参考椭球)质心；Z轴与 地球平均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平均北极点； X轴指向平均自转轴与平均格林尼治天文台所决定的子午 面与赤道面的交点G；Y轴与此平面垂直，且指向东为正。