3.4整数规划应用案例分析

x1A ≥ 40000 。
关于项目B的投资额规定: x3B ≥ 30000y3B ，x3B ≤ 50000y3B ； 保证当 y3B = 0时， x3B = 0 ；当y3B = 1时，50000 ≥ x3B ≥ 30000 。 关于项目C的投资额规定: x2C = 20000y2C ，y2C = 0，1，2，3，4。
通过调研和计算，获得有关 参数如下：
备选 工程特点 方案
前期工 单机设 单机容 允许 程投资 备投资 量(万 装机 (百万元) (百万元) 千瓦) 台数
1 2
扩建火电站 新建水电站
21 504 70
10 25
5 4
3
新建火电站
240
65
30
4
备选 工程特点 方案
资本回 年运行成本(百 负荷因子 收因子 万元/亿度)
s.t.
210 x1 + 300x2 +100x3 +130x4 + 260x5 600 x1 + x2 + x3 + x3 >=1 x4 1 x5 x1
xi=1或0(i=1,…,5)
解得（1，0，0，1，1）
Max Z=410 即投资项目1、4、5，可以 获得410万元。
整数规划的应用
为4；第 2年投资C项目6万元时，取值3；第2年投资C项目4万元
时，取值2；第2年投资C项目2万元时，取值1；第2年不投资C项 目时，取值0；
这样我们建立如下的决策变量： 第1 年 第2年 第3年
第4年
第5 年
A B
C D
x1A
x2A
x3A x3B x3D
x4A
x1D
x2C=20000y2C x2D
a) 问应该在哪几个地方建厂，在满足销量的前提下，使得其总的 固定成本和总的运输费用之和最小?
销地 产地 A1 A2 A3 A4 A5 销量(千吨) B1 8 5 4 9 10 30 B2 4 2 3 7 4 20 B3 3 3 4 5 2 20 产量(千吨) 30 10 20 30 40
解： a) 设 xij为从Ai 运往Bj 的运输量(单位千箱)， yk = 1(当Ak 被选中时) 或0（当Ak 没被选中时),k =2,3,4,5．这可以表示为一个整数规划问题： Min z = 175y2+300y3+375y4+500y5+8x11+4x12+3x13+5x21+2x22+3x23+4x31+ 3x32+4x33+9x41 +7x42+5x43+10x51 +4x52+2x53 （其中前4项为固定投资额，后面的项为运输费用。） s.t. x11+ x12+ x13 ≤ 30 ( A1 厂的产量限制) x21+ x22+ x23 ≤ 10y2 ( A2 厂的产量限制) x31+ x32+ x33 ≤ 20y3 ( A3 厂的产量限制) x41+ x42+ x43 ≤ 30y4 ( A4 厂的产量限制) x51+ x52+ x53 ≤ 40y5 ( A5 厂的产量限制) x11+ x21+ x31+ x41 + x51 = 30 ( B1 销地的限制) x12+ x22+ x32+ x42 + x52 = 20 ( B2 销地的限制) x13+ x23+ x33+ x43 + x53 = 20 ( B3 销地的限制) xij ≥0，i = 1,2,3,4,5； j = 1,2,3， yk 为0--1变量，k =2,3,4,5。 b) 如果由于政策要求必须在A2，A3地建一个厂，应在哪几个地方建厂?
四、分布系统设计
例5．（P73练习4.8）某企业在 A1 地已有一个工厂，其产品的生产 能力为 30 千箱，为了扩大生产，打算在 A2，A3，A4，A5地中 再选择几个地方建厂。已知在 A2 ， A3，A4，A5地建厂的固定 成本分别为175千元、300千元、375千元、500千元，另外， A1 产量及A2，A3，A4，A5建成厂的产量，那时销地的销量以及产 地到销地的单位运价(每千箱运费)如下表所示。
该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目的每年投 资额，使到第五年末拥有的资金本利总额为最大?
解：1) 设xiA、xiB、xiC、xiD ( i ＝1，2，3，4，5)分别表示第 i 年年初 给项目A，B，C，D的投资额； 设yiA， yiB，是0—1变量，并规定取 1 时分别表示第 i 年给A、B 投资，否则取 0（ i = 1, 2, 3, 4, 5）。 设y2C 是非负整数变量，并规定：第2年投资C项目8万元时，取值
五、投资问题 例7（P74练习4.9）．某公司在今后五年内考虑给以下的项目投 资。已知： 项目A：从第一年到第四年每年年初可以投资，并于次年末回收本 利115%， 但第一年如果投资则最低金额为4万元，第二、三、 四年不限； 项目B：第三年初可以投资，到第五年末能回收本利128％，但规定 最低投资金额为3万元，最高金额为5万元； 项目 C：第二年初可以投资，到第五年末能回收本利140%，但规 定其投资额或为2万元或为4万元或为6万元或为8万元。 项目 D：五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%， 此项投资金额不限。
二、固定成本问题 例2．高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器， 所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需 的各种资源的数量如表所示。不考虑固定费用，每种容器 售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的 金属板有500吨，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外 不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用： 小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制 定一个生产计划，使获得的利润为最大。
3）目标函数及模型： Max z = 1.15x4A+ 1.40x2C+ 1.28x3B + 1.06x5D s.t. x1A+ x1D = 100000； x2A+x2C+x2D = 1.06x1D； x3A+x3B+x3D = 1.15x1A+ 1.06x2D； x4A+x4D = 1.15x2A+ 1.06x3D； x5D = 1.15x3A+ 1.06x4D； x1A ≥ 40000y1A ， x1A ≤ 200000y1A ， x3B ≥ 30000y3B ， x3B ≤ 50000y3B ； x2C = 20000y2C ， yiA， yiB = 0 或 1，i = 1,2,3,4,5 y2C = 0，1，2，3，4 xiA ，xiB ，xiC ，xiD ≥ 0 ( i = 1、2、3、4、5）
引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证当 yi = 0
时，xi = 0 。 这样我们可建立如下的数学模型： Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500 2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 300 x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 100 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大 xj ≥ 0 yj 为0--1变量，i = 1,2,3
三、指派问题（分配问题）(Assignment Problem) 有 n 项不同的任务，恰好 n 个人可分别承担这些任务，但由 于每人特长不同，完成各项任务的效率等情况也不同。现假设必须 指派每个人去完成一项任务，怎样把 n 项任务指派给 n 个人，使 得完成 n 项任务的总的效率最高，这就是指派问题。 例3(P65例4.6)某游泳队拟选用A、B、C、D四名运动员组成一个 4×100混合游泳接力队，参加运动会，他们的100m自由泳，蛙泳，蝶 泳，仰泳的成绩如下表，如何安排游泳才能最大可能得取得好成绩？
在项目1、2和3中必须有一项被选中；
项目3和4只能选中一项； 项目5被选中的前提是项目1必须被 选中。
如何在上述条件下，选择一个最 好的投资方案，使收益最大。
解：令
xi=
1
0
选中项目i
未选中项目I
(i=1,…,5)
Max Z=150 x1 + 210x2 + 60x3 +80x4 + 180x5
姿势 队员 A B C D
自由泳 56 63 57 55
蛙泳 74 69 77 76
蝶泳 61 65 6ห้องสมุดไป่ตู้ 62
仰泳 63 71 67 62
解：引入0—1变量 xij，并令 xij = 1(当指派第 i名队员游第j种姿势)或0（当不指派第 i 名队员游第j种姿势)．这可以表示为一个0--1整数规划问题： Min z=56x11+74x12+61x13+63x14+63x21+69x22+65x23+71x24+57x31+77x32+ 63x33+67x34+55x41 +76x42+62x43+62x44 s.t. x11+ x12+ x13+ x14= 1 (A只能游一种姿势) x21+ x22+ x23+ x24= 1 (B只能游一种姿势) x31+ x32+ x33+ x34= 1 (C只能游一种姿势) x41+ x42+ x43+ x44= 1 (D只能游一种姿势) x11+ x21+ x31+ x41= 1 ( 自由泳只能一人游) x12+ x22+ x32+ x42= 1 ( 蛙泳只能一人游) x13+ x23+ x33+ x43= 1 ( 蝶泳只能一人游) x14+ x24+ x34+ x44= 1 ( 仰泳只能一人泳) xij 为0--1变量，i,j = 1,2,3,4
1
扩建火电站
0.103
4.11
0.66
2
3
新建水电站 0.0578
新建火电站
2.28
3.65
0.4
0.7
0.103
注：负荷因子=全年满功率运行天数/全 年总天数。方案1：241天；方案2：146 天；方案3：255天；
建立模型： 设置决策变量
设备选方案1，2，3的装机台 数分别为x1、x2、x3，它们的年发电 量分别为x6、x7、x8亿度，备选方 案1无前期土建工程要求，备选方 案2和3都需要前期土建工程，这 两个前期土建工程是否施工用变 量x4、x5代表。
资源 金属板（吨） 劳动力（人月） 机器设备（台月） 小号容器 2 2 1 中号容器 4 3 2 大号容器 8 4 3
解：这是一个整数规划的问题。 设x1，x2， x3 分别为小号容器、中号容器和大号容器的生产数 量。各种容器的固定费用只有在生产该种容器时才投入，为了 说明固定费用的这种性质，设 yi = 1(当生产第 i种容器, 即 xi ＞ 0 时) 或0（当不生产第 i种容器即 xi = 0 时）。
1.06x3D；
第五年：年初的资金为 1.15x3A+1.06x4D，于是 x5D = 1.15x3A+ 1.06x4D。 关于项目A的投资额规定: x1A ≥ 40000y1A ，x1A ≤ 200000y1A ， 200000是足够大的数；保证当 y1A = 0时， x1A = 0 ；当y1A = 1时，
六、电力规划问题 例6 某地区在制定十年电力规划 时，遇到这样一个问题，根据电 力需求预测，该地区十年以后发 电装机容量需要增加180万千瓦， 到时年发电量需增加100亿度，根 据调查和讨论，电力规划的备选 技术方案有三个：
扩建原有火电站，但最多只能安 装5台10万千瓦机组；
新建水电站，但最多只能安装4台 25万千瓦机组； 新建火电站，但最多只能安装4台 30万千瓦机组。
整数规划应用案例分析
整数规划的应用
一、投资项目的选择 例1：华美公司有5个项目被列入投资计划，各项目 的投资额和期望的投资收益见下表：
项目 投资额(万元) 1 210
投资收益(万元) 150
2
3 4 5
300
100 130 260
210
60 80 180
该公司只有600万元资金可用于投资， 由于技术原因，投资受到以下约束：
x4D
x5D
2）约束条件： 第一年：年初有100000元，D项目在年末可收回投资，故第一年年初应把全 部资金投出去，于是 x1A+ x1D = 100000； 第二年：A的投资第二年末才可收回，故第二年年初的资金为1.06x1D，于 是x2A+x2C+x2D = 1.06x1D； 第三年：年初的资金为 1.15x1A+1.06x2D，于是 x3A+x3B+x3D = 1.15x1A+ 1.06x2D； 第四年：年初的资金为 1.15x2A+1.06x3D，于是 x4A + x4D = 1.15x2A+