运动学习题详解

静力学习题详解

1.图1—23所示的上大下小的杯中，盛有密度均匀的混合液体．其密度为ρ经过一段时间后变成密度分别为ρ1,ρ2的两层均匀液体．如果总体积不变，试讨论杯底所受液体的压强有何变化?

[解]: 取以杯底为底面积的竖直水柱为研究对象,在均匀混合时,该体积内两种密度的液体各占一半.而分层后,由于密度较大的一半液体分布在杯子的底部,其体积为全部液体的一半,由于平均底面积较小,而使密度较大的液体的竖直高度大于密度较小的液体的竖直高度.而液体的总高度不变,所以杯子底部的压强变大了.

2.底边为a ，高度为b 的匀质长方体物块置于斜面上．斜面和物块之间的静摩擦因数为μ，斜面的倾角为θ，当θ较小时，物块静止斜面上，如图1—24所示，当θ逐渐增大到某个临界角θ0时．物块将开始滑

动或翻倒．试分别求出发生滑动和翻倒时的θ，并说明在什么条件下出现的是滑动情况，在什么条件下出现的是翻倒情况．

[解]物体恰好沿斜面下滑的条件是:

sin cos mg mg θμθ=

即tan μθ=

若物体不下滑而翻倒,此时重心的延长线恰好过

物体的左下角如图解2-2所示.此时角θ满足tan a b

θ=

θ

a

b

图2-24

若a u b <, 当1

tan θμ-= 时, 先开始滑动.

若a u b

>, 当1tan a b θ-=时,先翻倒.

3．一物体质量为m ，置于倾角为的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ,若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值． [解]:当拉力F 与斜面有成一定角度时θ时,拉力F 最小.建立如图解2-3所示的直角坐标系.

解得: 若要使F 最小,只要使cos sin a αμ+的值最大即可

:

cos sin )1

sin tan αμαααϕϕϕμ

+=+

=

=

令 则:cos

cos sin cos cos sin )a αμϕαϕα+=+

=)ϕα+ 当2

πϕα+=时,(其中1

1

tan ϕμ

-=) cos α+μsin α

此时F 最小值

:min F =

min F =

4.一轻绳跨过两个等高的轻定滑轮,两端分别挂上质量m l =4kg 和m 2=2kg 的物体,如图1-25所示.在滑轮之间的绳上悬挂物体m ,为使三个物体能保持平衡,求m 的取值范围．

解2-3

:cos sin :cos sin x F mg f y mg F N

f N αθ

θαμ=+⎧⎪

=+⎨

⎪=⎩cos sin cos sin F mg a

μθθ

αμ+=

+图1-25

[解]:此题只需求两个极值.

m 最大值:设线足够长,则m 接近m 1+m 2,此时两细线间的夹角α接近0.如图解2-4-1 因此126m m m kg <+<.

m 的最小值:当m 最小时,因为21m m > ,此时m 在靠近右侧的滑轮处,连接m 和m 1的两线的夹角近90°此时满足

:2m g >由此解得

: m > 综合以上

:6m kg << 5.质量为M =1kg 的物体在图1-26所示的斜面上受水平横力F ＝5N 的作用时

恰做匀速直线运动，则动摩擦因数μ为多少?

[解]当物体在斜面运动时,物体所受的力并不在同一平面内.在垂直斜面的平面内,物体的受力如解2-5-1所示.沿斜面平面内受力如解2-5-2所示.由图可知。N =mg cos30°

因为物体做匀速直线运动,所以在两个方向合力

都为0，即有2

1

sin F f mg f θ=⎧⎨=⎩

f 1、f 2分别为物体所受摩擦力的两个分量。

f =

求得f =α

解2-4-1

解

2-4-1

f 2

解2-5-2

又由f N μ=可求得

μ=

6．如图1-27所示：一重为G 的绳子．它的两端挂在同一高度的两个挂钩上，绳的两端与水平线的夹角为θ，则绳的最低点处的张力为多大?

[解]由于左右两侧对称，因此只分析其中一侧即可。如解2-6所示。三个力的交点必交于一点。 可解得：cot 2

G

F θ=

7．如图1-28所示，两个重力分别为G 1和G 2的小圆环用细线连着套在一个竖直固定的大圆环上，如果连线对圆心的夹角为α，当大圆环和小圆环之间的摩擦力及线的质量忽略不计时，求连线与竖直方向夹角θ [解]物体处于平衡状态时,所受的力对任意一点的合力矩为零. 将AB 两物体及连线看作一个整体，整体所受力对圆心O 的合力矩也必为0,且N 1和N 2的延长线过圆心O ,由此可以推知:

G A 和G B 对圆心的力矩之和也为0.其大小关系相等.sin sin A B G AC G BC θθ⋅=⋅ 也就是A B G AC G BC ⋅=⋅ ①

因为AOB α∠=,且AOB 为等腰三角形.可以得出0902

α

ϕ=-,

设圆的半径为R,则2sin 2

AB R α

= ②

θ

A

B

图

1-27

解2-6

α

G A

G B

图1-28

2 解图2-7

由①②可得:2sin 2B A B G AC R G G α=

+ 2sin 2

A A

B G B

C R G G α

=+ 对OBC 由余弦定理

:OC =

OB =

R OC =整理得

:A B

OC = ③

对OBC 由正弦定理得:

sin sin OB OC θϕ= sin sin R OC

ϕ

θ= ④ 将③代入④可以得出

: cos

()

sin A B G G α

θ+= 可以得出

:sin

()

cos A B G G α

θ-= ⑤ 由④⑤得:()tan cot ()2

A B A B G G G G α

θ+=

-

()arctan

cot ()2

A B A B G G G G α

θ+=-(原答案有误)

本题中用到的几个数学公式:222

21cos sin 221cos cos 221sec 1tan cos αα

αα

ααα-⎧=⎪⎪

+⎪=⎨

⎪

⎪==+⎪⎩

8.如图1-29所示．均匀杆L 1和A 端用铰链固定在墙上，B 端与L 2相接触，AB 水平，均质杆L 2的C 端也用铰链固定于C 点．与墙壁成30º角，两杆处于静止状

态，L 1重10N ．L 2重5N ，求杆L 1的B 端受杆L 2

的作用