高考数学大一轮总复习 第六章 第2讲 等差数列 理
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精品课件
3. 在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7，则 a5 等于
A．3
B．7
(C )
C．10
D．11
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解析：设公差为 d，则 2a1＋4d＝8，a1＋3d＝7， 得 a1＝－2，d＝3， 所以 a5＝a1＋4d＝－2＋3×4＝10.
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4. 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，已知 a2＝3，a6＝11，
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(2)由(1)得 bn＝1＋2(n－1)＝2n－1， 即 an＋1－an＝2n－1.
n
n
于是 (ak＋1－ak)＝ (2k－1)，
k＝1
k＝1
所以 an＋1－a1＝n2，即 an＋1＝n2＋a1. 又 a1＝1，所以{an}的通项公式为 an＝n2－2n＋2.
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二 等差数列的基本量
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【解答过程】(1)因为an＋11－1－an－1 1＝2－1 a1n－1－an－1 1 ＝－2－1＋anan－an－1 1＝－aan－n＋11＝－1. 而a1－1 1＝－2，所以数列{an－1 1}是首项为－2，公差为 －1 的等差数列．
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(2)由(1)得an－1 1＝－n－1，所以 an＝n＋n 1. 因为 an＋1－an＝nn＋ ＋12－n＋n 1 ＝n2＋2nn＋＋21－n＋n12＋2n ＝n＋21n＋1＞0， 所以 an＋1＞an.所以数列{an}是单调递增数列．
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【跟踪训练 2】(2014·大纲)数列{an}满足 a1＝1，a2＝2， an＋2＝2an＋1－an＋2.
(1)设 bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式．
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解析：(1)证明：由 an＋2＝2an＋1－an＋2 得 an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2， 即 bn＋1＝bn＋2. 又 b1＝a2－a1＝1， 所以{bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列．
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【跟踪训练 4】 (2014·辽宁)设等差数列{an}的公差为 d，
若数列{2a1an}为递减数列，则(
)
A．d<0
B．d>0
C．a1d<0
D．a1d>0
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解析：因为等差数列{an}的公差为 d， 所以 an＋1－an＝d，又数列{2a1an}为递减数列， 所以22aa1a1an＋n 1＝2a1d＜1， 所以 a1d＜0.
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【温馨提示】等差数列中，已知五个元素 a1，an，n， d，Sn 中的任意三个，便可求出其余两个．
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【跟踪训练 3】(2014·广东茂名二模)已知数列{an}是等差
数列，a2＝2，a5＝8，则公差 d 的值为(
)
1 A.2
B．－12
C．2
D．－2
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解析：因为数列{an}是等差数列，a2＝2，a5＝8，所以 公差 d＝13(a5－a2)＝13×(8－2)＝2.
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【温馨提示】要判断一个数列是否为等差数列，我们 常用如下几种办法：①定义法，判断数列连续两项之间的 差是否为定值；②等差中项法，判断是否每一项都是其前 一项与后一项的等差中项；③通项公式法，判断其通项公 式是否为一次型函数．
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【跟踪训练 1】下列条件中，不能判断数列{an}是等差数 列的是( )
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三 等差数列的综合应用
【例 3】设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a3＝12， S12＞0，S13＜0.
(1)求公差 d 的取值范围； (2)指出 S1，S2，…，S12 中哪一个值最大，并说明理由．
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2. 若数列{an}的通项公式为 an＝－n＋5，则此数列是
(A )
A．公差为－1 的等差数列 B．公差为 5 的等差数列 C．首项为 5 的等差数列 D．公差为 n 的等差数列
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解析：因为 an＝－n＋5， 所以 an＋1－an＝[－(n＋1)＋5]－(－n＋5)＝－1，所以{an} 是公差 d＝－1 的等差数列．
A．an＋1－an＝n(n∈N*) B．2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) C．Sn＝n2(Sn 为{an}的前 n 项和) D．an＝5(n∈N*)
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解析：选项 A，因为 an＋1－an＝n，n 不是常数，故不是 等差数列，故 A 正确；选项 B，满足等差中项，可判为等差 数列，故 B 错误；选项 C，由等差数列的前 n 项和为关于 n 的无常数项的二次函数，故为等差数列，故 C 错误；选项 D， 可得数列为常数列，公差为 0，故为等差数列的，故 D 错误．
则 S7 等于( C )
A．13
B．35
C．49
D．63
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解析：因为 a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14，则 S7＝ 7a1＋ 2 a7＝7a2＋ 2 a6＝7×214＝49.
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5. (2013·上海)在等差数列{an}中，若 a1＋a2＋a3＋a4＝
30，则 a2＋a3＝
.
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【例 2】(2014·广东揭阳二模)已知等差数列{an}中，a2＝6，
前 7 项和 S7＝84，则 a6 等于(
)
A．18
B．20
C．24
D．32
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【思路点拨】考查运用等差数列的通项公式及前 n 项 和的公式化简求值．
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【解答过程】在等差数列{an}中，由 S7＝84， 得：S7＝7a1＋7×2 6d＝7a1＋21d＝84，即 a1＋3d＝12， 又 a2＝a1＋d＝6，所以 a1＝3，d＝3，a6＝a1＋5d＝18. 答案：A
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第2讲 等差数列
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1. 下列数列，不是等差数列的是( D )
A．1,1,1,1,1
B．4,7,10,13,16
C.13，23，1，43，53
D．－3，－2，－1,1,2
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解析：由于数列－3，－2，－1,1,2 的第三项减去第二项 等于 1，第四项减去第三项等于 2，故此数列不是等差数列．
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一 等差数列的判断与证明
【例 1】数列{an}满足 a1＝12，an＋1＝2－1 an(n∈N*)． (1)证明：数列{an－1 1}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式，并证明数列{an}是单调递增数 列．
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【思路点拨】 (1)通过化简，得出常数，即可证明； (2)利用(1)的结论，求出通项公式，通过做差法即可证 明．
3. 在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7，则 a5 等于
A．3
B．7
(C )
C．10
D．11
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解析：设公差为 d，则 2a1＋4d＝8，a1＋3d＝7， 得 a1＝－2，d＝3， 所以 a5＝a1＋4d＝－2＋3×4＝10.
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4. 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，已知 a2＝3，a6＝11，
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(2)由(1)得 bn＝1＋2(n－1)＝2n－1， 即 an＋1－an＝2n－1.
n
n
于是 (ak＋1－ak)＝ (2k－1)，
k＝1
k＝1
所以 an＋1－a1＝n2，即 an＋1＝n2＋a1. 又 a1＝1，所以{an}的通项公式为 an＝n2－2n＋2.
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二 等差数列的基本量
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【解答过程】(1)因为an＋11－1－an－1 1＝2－1 a1n－1－an－1 1 ＝－2－1＋anan－an－1 1＝－aan－n＋11＝－1. 而a1－1 1＝－2，所以数列{an－1 1}是首项为－2，公差为 －1 的等差数列．
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(2)由(1)得an－1 1＝－n－1，所以 an＝n＋n 1. 因为 an＋1－an＝nn＋ ＋12－n＋n 1 ＝n2＋2nn＋＋21－n＋n12＋2n ＝n＋21n＋1＞0， 所以 an＋1＞an.所以数列{an}是单调递增数列．
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【跟踪训练 2】(2014·大纲)数列{an}满足 a1＝1，a2＝2， an＋2＝2an＋1－an＋2.
(1)设 bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式．
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解析：(1)证明：由 an＋2＝2an＋1－an＋2 得 an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2， 即 bn＋1＝bn＋2. 又 b1＝a2－a1＝1， 所以{bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列．
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【跟踪训练 4】 (2014·辽宁)设等差数列{an}的公差为 d，
若数列{2a1an}为递减数列，则(
)
A．d<0
B．d>0
C．a1d<0
D．a1d>0
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解析：因为等差数列{an}的公差为 d， 所以 an＋1－an＝d，又数列{2a1an}为递减数列， 所以22aa1a1an＋n 1＝2a1d＜1， 所以 a1d＜0.
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【温馨提示】等差数列中，已知五个元素 a1，an，n， d，Sn 中的任意三个，便可求出其余两个．
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【跟踪训练 3】(2014·广东茂名二模)已知数列{an}是等差
数列，a2＝2，a5＝8，则公差 d 的值为(
)
1 A.2
B．－12
C．2
D．－2
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解析：因为数列{an}是等差数列，a2＝2，a5＝8，所以 公差 d＝13(a5－a2)＝13×(8－2)＝2.
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【温馨提示】要判断一个数列是否为等差数列，我们 常用如下几种办法：①定义法，判断数列连续两项之间的 差是否为定值；②等差中项法，判断是否每一项都是其前 一项与后一项的等差中项；③通项公式法，判断其通项公 式是否为一次型函数．
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【跟踪训练 1】下列条件中，不能判断数列{an}是等差数 列的是( )
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三 等差数列的综合应用
【例 3】设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a3＝12， S12＞0，S13＜0.
(1)求公差 d 的取值范围； (2)指出 S1，S2，…，S12 中哪一个值最大，并说明理由．
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2. 若数列{an}的通项公式为 an＝－n＋5，则此数列是
(A )
A．公差为－1 的等差数列 B．公差为 5 的等差数列 C．首项为 5 的等差数列 D．公差为 n 的等差数列
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解析：因为 an＝－n＋5， 所以 an＋1－an＝[－(n＋1)＋5]－(－n＋5)＝－1，所以{an} 是公差 d＝－1 的等差数列．
A．an＋1－an＝n(n∈N*) B．2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) C．Sn＝n2(Sn 为{an}的前 n 项和) D．an＝5(n∈N*)
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解析：选项 A，因为 an＋1－an＝n，n 不是常数，故不是 等差数列，故 A 正确；选项 B，满足等差中项，可判为等差 数列，故 B 错误；选项 C，由等差数列的前 n 项和为关于 n 的无常数项的二次函数，故为等差数列，故 C 错误；选项 D， 可得数列为常数列，公差为 0，故为等差数列的，故 D 错误．
则 S7 等于( C )
A．13
B．35
C．49
D．63
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解析：因为 a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14，则 S7＝ 7a1＋ 2 a7＝7a2＋ 2 a6＝7×214＝49.
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5. (2013·上海)在等差数列{an}中，若 a1＋a2＋a3＋a4＝
30，则 a2＋a3＝
.
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【例 2】(2014·广东揭阳二模)已知等差数列{an}中，a2＝6，
前 7 项和 S7＝84，则 a6 等于(
)
A．18
B．20
C．24
D．32
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【思路点拨】考查运用等差数列的通项公式及前 n 项 和的公式化简求值．
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【解答过程】在等差数列{an}中，由 S7＝84， 得：S7＝7a1＋7×2 6d＝7a1＋21d＝84，即 a1＋3d＝12， 又 a2＝a1＋d＝6，所以 a1＝3，d＝3，a6＝a1＋5d＝18. 答案：A
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第2讲 等差数列
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1. 下列数列，不是等差数列的是( D )
A．1,1,1,1,1
B．4,7,10,13,16
C.13，23，1，43，53
D．－3，－2，－1,1,2
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解析：由于数列－3，－2，－1,1,2 的第三项减去第二项 等于 1，第四项减去第三项等于 2，故此数列不是等差数列．
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一 等差数列的判断与证明
【例 1】数列{an}满足 a1＝12，an＋1＝2－1 an(n∈N*)． (1)证明：数列{an－1 1}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式，并证明数列{an}是单调递增数 列．
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【思路点拨】 (1)通过化简，得出常数，即可证明； (2)利用(1)的结论，求出通项公式，通过做差法即可证 明．