全国版2022高考数学一轮复习第6章数列第2讲等差数列及其前n项和试题2理含解析

第六章 数 列

第二讲 等差数列及其前n 项和

1.[2021嘉兴市高三测试]数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =n 2-n +a ,n ∈N *,则“a =0”是“数列{a 2n }为等差数列”的( )

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件

2.[2021南昌市高三测试]已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和,3a 3=5a 2,S 10 =100,则a 1=( ) A.1 B.2 C.3 D.4

3.[2021洛阳市统考]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 4=7a 1,则a

5a 2

=( )

A .2

B .3

C .3

2 D .5

3

4.[2021江西红色七校联考]在等差数列{a n }中,若a 1+a 2+a 3=36,a 11+a 12+a 13=84,则a 5+a 9=( ) A.30

B.35

C.40

D.45

5.[2021湖北省四地七校联考]在等差数列{a n }中,已知a 7>0,a 3+a 9<0,则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为( ) A .S 4 B .S 5 C .S 6 D .S 7

6.[2021陕西省部分学校摸底检测]数列{2a n +1

}是等差数列,且a 1=1,a 3=-1

3

,那么a 5=( )

A.3

5

B.-3

5

C.5

D.-5

7.[2021惠州市一调]《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466~485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同,已知第一日织布5尺,30日共织布390尺,则该女子织布每日增加的尺数为( ) A.4

7 B.16

29 C.8

15 D.16

31

8.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知等差数列{a n }满足4a 3=3a 2,则{a n }中一定为零的项是( ) A .a 6 B .a 7 C .a 8 D .a 9

9.[2020大同市高三调研]若等差数列{a n }的前n 项和S n 有最大值,且a 11a 10

<-1,则S n 取正值时项数n 的最大值为

( ) A.15

B.17

C.19

D.21

10.[2020武汉市六月模拟]已知数列{a n }是等差数列,公差为d ,S n 为数列{a n }的前n 项和,a 1+a 7=-2,S 3=15. (1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)求数列{|a n |}的前n 项和T n .

11.[2021四省八校联考]已知公差非零的等差数列{a n }满足|a 3|=|a 8|,则下列结论正确的是( ) A .S 11=0 B .S n =S 11-n (1≤n ≤10,n ∈N *) C .当S 11>0时,S n ≥S 5 D .当S 11<0时,S n ≥S 5

12.[2021河南郑州一中等名校联考][等差数列与向量综合]已知S n ,T n 分别为等差数列{a n },{b n }的前n 项和,S n T n

=

3n+24n+5

,

设点A 是直线BC 外一点,点P 是直线BC 上一点,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2+a 4b

3

AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ的值为( ) A.2825 B.-9

25

C.325

D.18

25

13.[2020成都市三诊]设数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=5,S 5=10,且{S

n

n }是等差数列,则|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a 10|的值

为 .

14.[2021江苏省部分学校学情调研]记S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{a n }的通项公式;

(2)求S n ,并判断S n +1,S n ,S n +2是否成等差数列.

答 案

第二讲 等差数列及其前n 项和

1.A 因为S n =n 2-n +a ,n ∈N *,所以a n ={S 1,n =1S n -S n -1,n ≥2,即a n ={a,n =1

2n -2,n ≥2,所以a 2n =4n -2,n ∈N *,所以无论a 为何值,

数列{a 2n }都为等差数列.所以“a =0”是“数列{a 2n }为等差数列”的充分不必要条件,故选A .

2.A 设等差数列{a n }的公差为d ,依题意{3a 3=5a 2,S 10=100,即{3(a 1+2d)=5(a 1+d),

10a 1+45d =100,解得a 1=1,d =2.故选A .

3.A 设等差数列{a n }的公差为d ,因为S 4=7a 1,所以4a 1+

4×32

d =7a 1,即a 1=2d ,所以a

5a 2

=

a 1+4d a 1+d

=

6d 3d

=2,故选A .

4.C 解法一 设等差数列{a n }的公差为d ,则由题意可得,{a 1+(a 1+d)+(a 1+2d)=36,

(a 1+10d)+(a 1+11d)+(a 1+12d)=84,解得

{a 1=52

5,d =85,

所以a 5+a 9=(a 1+4d )+(a 1+8d )=2a 1+12d =2×525+12×85=40,故选C . 解法二 由a 1+a 2+a 3=3a 2=36,得a 2=12,由a 11+a 12+a 13=3a 12=84,得a 12=28,所以a 5+a 9=a 2+a 12=12+28=40,故选C .

5.C 在等差数列{a n }中,a 3+a 9=2a 6<0,∴a 6<0,又a 7>0,∴数列{a n }的公差d >0,首项a 1<0,∴数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为S

6.故选C . 6.B 解法一 令b n =2

a

n

+1

,由已知得数列{b n }是等差数列,设其公差为 d.因为a 1=1,a 3=-1

3,所以b 1=2

a

1+1

=1,b 3=

2

a 3+1

=3,所以d =

b 3-b 12

=1,所以b 5=b 1+4d =5,即

2

a 5+1

=5,所以a 5=-3

5,故选B .

解法二 因为数列{2

a n +1

}是等差数列,所以

2a 1+1

+

2

a 5+1

=2×

2

a 3+1

,又a 1=1,a 3=-13

,所以

21+1

+

2

a 5+1

=2×2-13

+1

,解得a 5=-35

,故

选B .

7.B 由题意可知该女子每日织布的数量成等差数列,记为{a n },则a 1=5.记{a n }的前n 项和为S n ,则S 30=390.设{a n }的公差为d ,所以S 30=30a 1+

30×292

×d =30×5+

30×292

×d =390,解得d =16

29,故选B .

8.A 解法一 设数列{a n }的公差为d (d ≠0),因为4a 3=3a 2,所以4(a 1+2d )=3(a 1+d ),所以a 1=-5d ,故

a n =a 1+(n -1)d =(n -6)d.令(n -6)d =0,得n =6,故选A .

解法二 设数列{a n }的公差为d (d ≠0),因为4a 3=3a 2,所以a 3=-3d.又a 3=a 1+2d ,所以a 1=-5d ,故a n =-5d +(n -1)d.令a n =0,得n =6,所以数列{a n }中,a 6=0.故选A .