第9章 扭转

第九章 扭转

思考题与习题

9-1．试述扭矩符号是如何规定的？

答：按右手螺旋法则规定：以右手四指代表扭矩的转向，若此时大拇指的指向离开截面，即与横截面的外法线方向相同时，扭矩为正；反之为负。

9-2．直径d 和长度l 都相同，而材料不同的两根轴，在相同的扭矩作用下，它们的最大剪应力τmax 是否相同？扭转角φ是否相同？为什么？

答：最大剪应力相同，扭转角不同。因为剪应力只与扭矩及抗扭截面系数有关；而扭转角与材料常数——切变模量G ——有关。从下面公式也可得到相同的结论。

n max p M W τ=

；n p

M l

GI ϕ= 9-3．若圆轴直径增大一倍，其它条件均不变，那么最大剪应力、轴的扭转角将变化多少？

答：（由前题的公式可知）最大剪应力为原来的8倍，扭转角为原来的16倍。 9-4．从强度观点看，a 、b 两图中三个轮的位置布置哪一种比较合理？

答：（b ）更合理。从下面的扭矩图可以看出。

9-5．图中所画剪应力分布图是否正确？其中M n 为截面上的扭矩

答：只有（a ）是正确的。其它的错误是： （b ）左半部分箭头指向反了。 （c ）所有箭头指向都反了。 （d ）应按（e ）图中的应力来画。 （e ）所有箭头指向都反了。

9-6．一空心圆轴，外径为D 、内径为d ，其极惯性矩 I p 和抗扭截面系数W P 是否可按下式计算？为什么？

4

4

32

32

p p p D d I I I ππ=-=

-

外内 3

3

16

16

p p p D d W W W ππ=-=

-

外内

答：根据它们的定义和定积分的性质可知；极惯性矩 I p 可以，抗扭截面系数W P ，不行。其中抗扭截面系数W P 正确的计算公式如下：

3

44116p p p D d W W W ()D π=-=-外内或

3

4116

p p p D W W W ()πα=-=-外内

其中：d D

α=

9-7． 试从应力分布的角度说明空心轴较实心轴能更充分地发挥材料的作用。 答：轴横截面上的应力，越靠近轴心应力越小；这说明实心轴中间的材料发挥的作用很小；所以用空心的能更充分地发挥材料的作用。

9-8． 试述圆轴扭转公式的使用条件。

答：圆轴扭转公式（不论是应力计算公式还是扭转角计算公式）的使用条件都是，横截面上的最大剪应力max τ 不超过材料的比例极限p τ 。

9-9． 单位长度扭转角与相对扭转角的概念有什么不同？

答：单位长度扭转角与截面所扭矩、轴的截面几何参数及材料有关；而扭转角除了与上述因素有关外，还与两截面间的距离有关。

另外，单位长度的扭转角可以描述一个截面的变形情况；而扭转角描述的是两个截面相对的变形情况。

9-10．圆截面杆与非圆截面杆受扭转时，其应力与变形有什么不同？原因是什么？ 答：主要的不同点是：应力与应变在横截面上的分布规律都不是线性的，它们的分布规律更加复杂。主要是由于内力与截面几何形状的对称轴不同，导致平面假设不成立造成的。（详细说明参见P149-150）。

9-11．试用截面法求图9-19所示杆件各段的扭矩M n ，并作扭矩图。

解：扭矩计算过程略

9-12．已知钢材的弹性模量E =210GPa ，泊松比μ=0.31，试根据E 、G 、μ之间的关系式，求切变模量G 。 解：210

8022(1+)2(1+0.31)

E G .GPa μ=

==

9-13．圆轴直径d =100mm ，长l =1m ，两端作用外力偶矩M e =14kN·m ，材料的切变模量G = 80GPa ，试求：

（1）轴上距轴心50mm 、25mm 和12.5mm 三点处的剪应力； （2） 最大剪应力τmax ； （3） 单位长度扭转角θ。 解：1.计算扭矩。 14n e M M kN m ==⋅

2.计算剪应力

设轴上距轴心50mm 、25mm 和12.5mm 三点分别为A 、B 、C 。 则由4

32n n

P M M I d τρρπ=

=可得，三点应力分别为： 33

4

321410105071293142100A .MPa .τ⨯⨯⨯=⨯=⨯

【说明】教材中答案71.34MPa 是错误的，原因是计算时取314.π=为3位有效数字，则二级运算（乘、除）后，有效数字只能取3位，即71.3MPa 。而取3142.π=为4位有效数字时，二级运算后，结果可以是4位也可以取3位。

33

4321410102535653142100B .MPa .τ⨯⨯⨯=⨯=⨯

33

43214101012517823142100C ..MPa .τ⨯⨯⨯=⨯=⨯

3.最大前应力

3333

161614101071293142100n n max

p M M .MPa W d .τπ⨯⨯⨯====⨯ 【说明】实际上由于A 在轴的表面，所以也可以这样算：

7129max A .MPa ττ==

4计算单位长度扭转角θ。

3

4941803214100017821280103142010032

n n p M M .rad /m /m d GI ..G θππ

⨯⨯'=⨯====⨯⨯⨯

9-14．传动轴如图所示，已知M A =1.5kN·m ，M B =1 kN·m ，M c =0.5 kN·m ；各段直径分别d 1=70mm ，d 2=50mm 。（1）画出扭矩图；（2）求各段轴内的最大剪应力和全轴的最以大剪应力；（3）求C 截面相对于A 截面的扭转角；各段的单位长度扭转角及全轴的最大单位长度扭转角。设材料的G = 80GPa 。

解：1.画扭矩图如下。

2.求各段最大剪应力

由圆轴横截面最大剪应力计算公式

3

16n n

max p M M W d τπ=

= 得： AB 段：

333

161510102227314270AB max

..MPa .τ⨯⨯⨯==⨯

BC 段：

333

160510102037314250BC max

..MPa .τ⨯⨯⨯==⨯

3.计算变形CA ϕ 由转角公式432n n p M l M l GI G D ϕπ=

=及单位长度转角公式4

32n n

p M M GI G D θπ==结合扭矩图可得： AB 段：