常数项级数的概念和..

如果{ sn } 没有极限，则 称 级 数 un 发 散 ．
n 1
n 1
1 2 3 n 是发散的 . 例1 证明级数
证
n( n 1) . sn 1 2 3 n 2 n( n 1) lim sn lim , ∴所给级数是发散的. n n 2 2
2 n n
P255第4题中有三道小题用到此结论
n 7 72 7 n 1 例如 , ( 1 ) 发散. 用法: 2 n 6 6 6 7 公比q 且 | q | 1. 6
1 1 1 又如, 1 2 n 收敛. 3 3 3 1 3 1 . 公比q 且 | q | 1. 并且和s 1 2 3 1 3
6
| q | 1 时, 收敛, a aq aq aq aq n 0 | q | 1 时, 发散. a n 并且 aq ( q 1). ( P 250例 1) 1q n 0
2 n n
n 5 52 53 5 n 课堂练习 判 定 级 数 2 3 ( 1) n 3 3 3 3 的敛散性 .
1 1 1. limsn lim(1 ) 1, 该级数收敛且 n n n1 n 1 n( n 1) 3

定 义 如 果 级 数 un 的 部 分 和 数 列 { s n } 有 极 限 s， 则 称 级 数 un 收 敛 ， 并 且 un s.
这级数的部分和为
定 义 如 果 级 数 un 的 部 分 和 数 列 { s n } 有 极 限 s， 则 称 级 数 un 收 敛 ， 并 且 un s.
n 1 n 1 n 1

1 例2 判定级数 的收敛性. n 1 n( n 1) 1 1 1 un , 解 由于一般项 n( n 1) n n 1 1 1 1 1 sn 因此, 部 分 和 1 2 2 3 3 4 n( n 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) 1 . 2 2 3 3 4 n n1 n1
n
n

(a 0, q为公比) 的收敛性.
n 0
q 1 时,
sn lim na ， 若 q 1 , 则 lim 级数发散， n n
若 q 1, 则 lim sn lim[a aຫໍສະໝຸດ Baidu ( 1)n1 a ]不存在 ,级数发散.
n n
2 n n
4 4 4 课堂练习 级 数 1 是 否 收 敛 ? 5 5 n 0 5 若收敛求其和 .
4 解 为等比级数, 公比 q . 5

n
2
1 4 | q | 1, 该级数收敛, 并且 5. 4 n 0 5 1 5
n 1 1.
n 1
limsn lim ( n 1 1) , 级 数 ( n 1 n ) 发 散 ． n n
4
例3 讨论等比级数 aqn a aq aq2 aqn
n 1 q 解 q 1 时, sn a aq aq 2 aq n1 a . 1 q a sn ， 级数收敛. q n 0， lim 若 q 1, 则 lim n n 1q n lim sn ，级数发散． 则 lim q ， 若 q 1,
讨论 u1 u2 u3 un ? (有没有和) 转化成讨论 lim sn ? (有没有极限 )
n
1
定义 如 果 级 数 un 的 部 分 和 数 列 { sn } 有 极 限s，
则称级数 un 收敛， 并 且 un s.
n 1

n 1
n 1 n 1 n 1

如 果 { sn } 没 有 极 限 ， 则 称 级 数 un 发 散 ．

课堂练习 判定级数 ( n 1 n ) 的敛散性． P255.3(1) 解 部分和
n 1

n 1
s n ( 2 1 ) ( 3 2 ) ( 4 3 ) ( n 1 n )
一、常数项级数的概念
定义 如果给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 则由这数列构成的表达式 u1 u2 u3 un (1)
称为常数项级数，
其中第n 项 un 叫做级数的一般项．
常数项级数(1)的前n 项的和可构造一个新的数列 s1 u1 , s2 u1 u2 , , sn u1 u2 un , .
解
5 为等比级数，公比 q . 3
. | q | 1, 该级数发散
7
| q | 1 时, 收敛, a aq aq aq aq n 0 | q | 1 时, 发散. a n 并且 aq ( q 1). ( P 250例 1) 1q n 0
a 当 q 1 时 , 收敛 , n n 综上 aq 并且 aq ( q 1). 1 q 5 n 0 n 0 当 q 1 时, 发散.

| q | 1 时, 收敛, a aq aq aq aq n 0 | q | 1 时, 发散. a n 并且 aq ( q 1). ( P 250例 1) 1q n 0