高考等差等比数列知识点总结打印

高考数列知识点总结

等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；

2．等差数列通项公式：*

11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a

推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m

n a a d m

n --=

；

3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2

b

a A +=

或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：

1()2n n n a a S +=

1(1)2n n na d -=+211

()22

d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地()()()12121121212

n n n n a a S n a +++++=

=

+**n n n a S )12(12-=-

5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*

∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．

（2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4） 数列{}n a 是等差数列⇔2

n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）

6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*

∈N n )⇔ {}n a 是等差数列

7.等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函 数，且斜率为公差d ；

前n 和211(1)()222

n n n d d

S na d n a n -=+

=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.

（4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列

(5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列

(6) 若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且

()n n A f n B =，则21

21

(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若3

41

3-+=n n T S n n ，那么=n n b a

(8)求n S 的最值

法一：因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要 注意数列的特殊性*n N ∈。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和

即当，，001<>d a 由⎩⎨⎧≤≥+001

n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值．

（2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当，，001>

⎧≥≤+0

1n n a a 可得n S 达到最小值时的n 值．

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次函数对

称轴最近的整数时，n S 取最大值（或最小值）。若S p = S q 则其对称轴为2

p q

n += （二）等比数列1. 等比数列的定义：

()()*1

2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 n n m

m

a q a -= 2. 通项公式：()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q

-==

=⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m

n m a a q -= 3. 等比中项（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2

A ab =或A ab =±

注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）

（2）数列{}n a 是等比数列⇔2

11n n n a a a -+=⋅

4. 等比数列的前n 项和n S 公式：(1) 当1q =时， 1n S na =(2) 当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q

q

--=

=

-- 5. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有1

1(0)n n n n n

a a qa q q a a ++==≠或

为常数，⇔{}n a 为等比数列 （2） 等比中项：2

11n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列

（3） 通项公式：()0n

n a A B

A B =⋅⋅≠⇔{}n a 为等比数列

（4） 前n 项和公式：()

'',,','n

n

n n S A A B S A B A A B A B =-⋅=-或为常数⇔{}n a 为 等比数列 6. 等比数列的证明方法依据定义：若

()()*1

2,n

n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=⇔{}n a 为等比数列 7. 等比数列的性质(1) 当1q ≠时①等比数列通项公式()1110n n

n n a a a q q A B A B q

-==

=⋅⋅≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q

②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A q

q q q

--=

=-=-⋅=-----，系数和常数项是互为相反数. (2) 对任何m,n ∈*N ,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=,

(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t ∈*N ),则n m s t a a a a ⋅=⋅.特别的,当n+m=2k 时,得2n m k a a a ⋅=

(4) 列{}n a ,{}n b 为等比数列,则数列{}n

k

a ,{}n k a ⋅,{}k n a ,{}n n k a

b ⋅⋅{}n n a b (k 为非零常数) 均为等比数列.

(5) 如果{}n a 是各项均为正数的等比数列,则数列{log }a n a 是等差数列 (6) 若{}n a 为等比数列,则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -⋅⋅⋅，成等比数列

(7)等比数列的单调性：①当1q >时， ②当1q <0<时，

n m

n m a q

a -=