点线面投影

投影面垂直面 特殊位置平面
正垂面 侧垂面 铅垂面 正平面 侧平面 水平面
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
投影面平行面 一般位置平面
与三个投影面都倾斜
投影面垂直面
Z a′ X a b c YH b′ a″ c′ O b″ c″ YW
1.H面投影积聚成一直线； 2. 、 反映平面对V、W面的倾角。
直线的投影 3.2 直线的投影
各种位置直线的投影特征 两点确定一条直线，将两点的同 面投影用直线连接，就得到直线的 投影。
●
Z b' a' b'' a'' YW b a
A ● YH M● B● a≡b≡m
●
X
B
O
B A●
●
A●
α
●
b
●
b
a●
a●
直线倾斜于投影面 直线平行于投影面 直线垂直于投影面 投影比空间线段短 投影反映线段实长 投影重合为一点 ab＜AB cos 收缩性 ab=AB 真实性 ab=0 积聚性
投影面垂直线
a
b
铅垂线
a b
积聚 为点
正垂线
c(d)
●
侧垂线
e f e(f)
●
d c
d c
a(b)
积聚 为点
●
e
f
积聚 为点
投影特性:
1.在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 2.另外两个投影面上，投影反映线段实长。 且垂直于相应的投影轴。
辨认：一点两线
例1：判断下列直线的空间位置
⒈ 投影面垂直面 类似性
ABC为什么 位置的平面
a
b c c
β
b
类似性
a
铅垂面
为什么？ a
γ
c
b
投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直 线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面 与另外两投影面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影有类似性。
积聚性
投影面平行面
Z V
b'
c' C
a' A a" c" O B c a b" W
YH
1. 水平线的H面投影反映线段实长。即：ab=AB; 对正平线和侧平线作分析，可得出类似的投影特征。 2. 水平线的V、W面投影分别平行于H面的两根轴。 即 a′b′∥ox轴，a″b″∥OYW轴； 3. 水平线的H面投影与OX轴夹角反映该直线对V面的倾角β；与 OYH轴的夹角，反映该直线对W面的倾角γ。
●
s
d
a ●
●
b
● ● a
s
● a
b
●
s
● a
●
b c ●
● ●
b
●
●
s
● a
b
●
s
d a ●
●
●
b
●
●
b
●
b
b
●
●
b
●
a●
●
s
a●
●
s
a●
c
●
●
a●
●
s
a●
●
s
不在同一 直线上的 三个点
b
b
b
d
●
b
b
直线及线 外一点
两平行直线
两相交直线
平面图形
3.3.2 各种位置平面的投影特性 3.3.2 各种位置平面的投影特性
b'
Hb
a'
Z
a'' b''
B点在A点的 左、下、前方。
X a b
O
YW
YH
两点重影
重影点需要判断其可见性，将不可见点的投影用括号括起来， 当空间两点到两个投影面的距离都分别对应相等时，该两点
以示区别。 处于同一投射线上，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影 a'' a' 重合在一起，这两点称为对该投影面的重影点。
(1) 一般位置直线
Z
Z b' b'' a'' YW b
V a' X
b'
β α
B
γ
b''
W
X
a' O
A Ha
O b
a''
a
Y
YH
投影特性：
三个投影都缩短了。即: 都不反映空间线段的实 长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。
(2) 投影面平行线
a′ b′ O a b
Z
a″ b″
X
YW
投影特性： 水平线的投影特征：
a到OX轴的距离= a到OZ轴的距离
例1:已知A点的坐标值A(12，10，15)，求作A点的 三面投影图。
步骤: 作投影轴； 量取：
a'
aZ
Z
a''
Oax=12、Oaz=15、 OaYH=OaYW=10,得ax、az、OaYH、 OaYW等点 ； a 交点a、a′、a″既为所求。
aX X
12
直线中的投影特性 直线在三个投影面中的投影特性 正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 平行于某一投影面而
水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面 铅垂线（垂直于Ｈ面） 与其余两投影面倾斜
投影面垂直线
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
平面对一个投影面的投影特性
平行
垂直
倾斜 真实性
投 影 特 性 平面平行投影面-----投影就把实形现 平面垂直投影面-----投影积聚成直线 平面倾斜投影面-----投影类似原平面
积聚性
收缩性
平面在三投影面体系中的投影特性 平面对于三投影面的位置可分为三类：
垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
投影特性：
b
a
三个投影都类似。
c
4.3.3平面上的直线和点 3.3.3平面上的直线和点
平面上取任意直线
判断直线在平面 内的方法 定 理 一 若一直线过平面 上的两点，则此 直线必在该平面 内。 定 理 二 若一直线过平面上的 一点，且平行于该平 面上的另一直线，则 此直线在该平面内。
本 章 小 结
投影面平行线
水平线
a a b a b
实长 a
b
b
α γ
正平线
a b a b
侧平线
a 实长
β
α
b
β
a
γ
实长
b
a
b
与H面的夹角:α 与V面的角:β
与W面的夹角:γ
投 影 特 性： 1. 在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角。
2.另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。 辨认：两平一斜
Z b’
b ’’
c ’’
a’ c’
a ’’
X
c a
0
Yw
b YH
线， a ’b ’ 反映 AB 实长；
AB 是 正平线
ac 反映 AC AC 是 水平线 线。
3.3.1 平面的表示法 3.3 平面的投影
●
s a ●
●
s
3.3.1平面的表示法
●
●
a ●
●
a ●
●
c
●
s a ●
3.点.直线.平面的投影
教学目标 3.1 点的投影
3.2 直线的投影 3.3 平面的投影
返回
3.点.直线.平面的投影
教学目标
1. 掌握点、直线和平面的投影规律与作图法。 2.掌握点与线的相对位置中，从属性和定比性的 运用。 3.掌握各种位置直线和平面的投影特征，作图 方 法以及在投影图上正确判断其空间位置。 4. 掌握两直线，两平面相对位置的投影特征及 判断方法。
3.3.1平面的表示法
3.3.2各种位置平面及其投影特征
3.3.3平面上的直线和点
点的投影
点、直线、平面是构成形体的基本几何元素
A
点 线
面
D
B
C
点的三面投影 过空间点A的投射线 与投影面P的交点即为点A 在P面上的投影。 P P
A
a
B
B1 B2
b
点在一个投影面上的投影 不能确定点的空间位置。
Α —空间点A； a —点A的水平(H)投影; a′ —点A的正面(V)投影; a″ —点A的侧面(W)投影。
V面不动
V a′ A X
投影面展开
Z
Z
aZ
V
a
ax a
az
O
a″
W
W
X
a″ O
H
ay
YW
aX
a
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ay
YH
H
aY
Y
H面向下旋转90°
W面向右旋转90°
点的三面投影规律:
Z V a′ A X a
X
a'
XA
aZ
Z
YA
a''
a″
ZA
XA
aX X
ZA
aZ
W
O
aYW
YW
H
a
aY
a
Y
YA
O
aYH YH
Aa″=aay= a az=ax0=xA——A点到W面的距离 Aa′=aax= a az=ay0=yA——A点到V面的距离 Aa =aax= a ay=az0=zA——A点到H面的距离 aa⊥OX轴; aa⊥OZ轴;
H
b
Y
2.投影面平行面
a b c a c b
积聚性
a
积聚性
实形性
b
c
结论：水平面
投影特性： 在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应 的投影轴平行的直线。
一般位置平面
Z
V
b'
a' c' A
X
B b" C c a" c" b
a
H
Y
⒊ 一般位置平面
b c a a b c
本章小结
点、直线平面是构成形体的基本几何元素，研究它们的投
影是为了正确表达形体和解决空间几何问题,奠定理论基础 和提供有力的分析手段。
点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。 点与直线及两直线相对位置的判断方法及投影特性。 平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。
面上的投影与空间点重合，另两投影在该投影面的两根投影轴上。
3.1.3 点的相对位置 两点的相对位置
两点的相对位置指两点在空间的 上下、前后、左右位置关系。 判断方法： x 坐标大的在左；
V
上
后a'
b左 ' Z A a'' 右 W O
X
B a
下
前 b''
Y
y 坐标大的在前； z 坐标大的在上。
a' b' a'
C′
b' d′ a C
d
b
b
d
d
a
AB为水平线
CD为侧平线
练习1：已知立体上直线 AB、CD 的空间位置， 在投影图中标注其投影位置，并填空。
a’
b’
a ’’
c’ d’
b ’’
) ’’ c (
) ’’ d (
a
b
c （d ）
一般位置
铅垂
练习2： 已知直线AB、AC的二投影，求二直线的第三 投影,并说明其空间位置和反映实长的投影。
a● az
●
a
ax
a●
点的空间位置 3.1.2 点的空间位置 点在投影体系中有 四种位置情况：
V a′ A X aX H a
Z
aZ
a″ O
aY
W
1. 在空间（X，Y，Z）
a＇ X a Z a＇ ＇
Y
O YH
YW
由于X，Y，Z均不为
零，对三个投影面都有 一定距离，所以点的三 个投影都不在轴上。
(3)投影面垂直线
a′ b′ X a(b) O
Z
a″ b″
YW
投影特性：
铅垂线投影特征:
YH
1. H面投影积聚成一点； 对正垂线和侧垂线作分析，可得出类似的投影特征。 2. V、W面投影反映实长，即a′b′=a″b″=AB；V、W 面投影，分别垂直于H面的两面根轴，即： a′b′⊥ox轴a″b″ ⊥oy轴 。
V
a' b' A B
H a(b)
Z W a'' O b'' Y
a ( b) YH b' X O b'' YW
X
H面重影，被挡 住的投影加( )
练习2：
在练习1的坐标图中作点B（10，5，10） 的三面投影，并判断A、B两点的空间位 置。
直线的投影
例1：已知线段两端点A（20，10，8）和 B（6，6，20），求作AB的三面投影 练习1：已知线段两端点A（20，0，0） 和B（5，15，5），求作AB的三面投影
3.点.直线.平面的投影
3.1 点的投影
3.1.1点的三面投影
3.1.2点的空间位置
3.1.3两点的相对位置
点.直线.平面的投影
3.2 直线的投影
3.2.1各种位置直线及其投影特征
3.2.2直线与点的相对位置
3.2.3两直线的相对位置
3.点.直线.平面的投影
3.3 平面的投影
点的空间位置
Z V
2. 在投影面上：
在H面上（X，Y，0） 在V面上（X，0，Z） 在W面上（0，Y，Z）
Z X b＇ b O YH ＇ b＇
X
C C′
b′ C B H b
C″ d′ D W d″
O
b″ d Y
c＇
YW X
c＇ ＇ O YH YW X
Z d＇ O d YH
d＇ ＇ YW
c
由于点在投影面上，点对该投影面的距离为零。所以，点在该投影
解决办法
采用多面投影。
点的三面的投影
投影面与投影轴
V
Z
X
O
V面与H面的交线—OX轴
Y
H面与W面的交线—OY轴 V面与W面的交线—OZ轴
点的三面投影 空间点的位置和直角坐标 空间点的位置，可由 直角坐标值来确定， 一般采用下列的书写 形式：A(x,y,z)。 点到各投影面的 距离，为相应的坐标 数值X，Y，Z 。
O
a YH
a YW YW
过ax、az、aYH、aYW等点分别作所在轴的垂线，
YH
练习1： 已知A点的坐标值是A(30，20，15)， 作A点的三面投影图
例2：已知点的两个投影，求第三投影。 解法一 : az a a
● ●
ax
通过作45°线使aaz=aax
a● 解法二: 用圆规直接量取aaz=aax