高三数学一模模拟测试题(理科)
高三数学高考模拟试卷(理科)
2009年高考模拟试卷 数学卷(理科)第Ⅰ卷（共50分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A·B ）=P （A ）·P （B ） 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ， 球的体积公式334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生 其中R 表示球的半径 k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(原创)在复平面内，复数321i i z -=对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2. (08年杭州市第二次检测卷改编)已知集合1124,2x M xx Z +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，{}1,1N =-，则M N =A.(-1,1)B.{-1}C.{-1,1}D.[-1,1]3.(原创)已知||2||→→=b a ，命题p ：关于x 的方程0||2=⋅++→→→b a x a x 没有实数根，命题q:]3,0[,π>∈<→→b a ，则命题p 是命题q 的A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件 4.（08舟山高考预测卷改编）设函数10)21()(x x f -=，则导函数)(/x f 的展开式中2x 项的系数为A ．1440B ．-1440C ．-2880D ．28805.(原创）在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数之和大于65的概率为 A .3625 B .7225 C .3611 D .7247 6.(09高考辽宁理科改编)已知点P 是抛物线x y 22=上的一个动点，点P 到y 轴上的射影是M,点A 的坐标是（27，4）,则|PA|+|PM|的最小值是 A .217 B .3C .5D .297.（08金华一中高考模拟卷改编）如图，圆周上按顺时 针方向标有1，2，3，4，5五个点。
高三数学一模模拟卷1理 试题
严州中学2021届一模模拟卷1〔理科数学〕一、选择题1.假设复数(a 2-3a +2)+(a-1)i 是纯虚数，那么实数a 的值是 ( )A.1B.2C.1或者22.设集合A={x |1xx -＜0},B={x |0＜x ＜3 },那么“m ∈A 〞是“m ∈B 〞的 ( )C.充要条件3.设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，假设n 1=7,a 5=16,那么数列｛a n ｝前7项的和为 ( )A.63B.644.函数f (x )=x 3+sin x +1(x ∈R),假设f (a )=2,那么f (-a )的值是 ( )A.3B.05.某一批花生种子，假如每1粒发牙的概率为45,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是( )A.16625B.96625C.192625D.2566256、阅读如图的程序框图．假设输入 m=4,n=6，那么输出的a ， i 分别等于〔 〕 A 、12，2 B 、12，3 C 、12，4 D 、24，47.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区效劳，假如要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 ( ) A.14B.248.函数f (x )=cos x (x )的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y =-f ′(x )的图象，那么m 的值可以为 ( )A.2πB.πC.－πD.－2π9.在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ,假设(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,那么角B 的值是 ( )A.6πB.3πC.6π或者56π D.3π或者23π10.函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下列图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是 ( )二、填空题 11.假设(x -2)5=a 3x 5+a 5x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0,那么a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=__________.(用数字答题)12．设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，假设()12f =，那么()99f =13．不等式2x x >的解集是_______________。
高三数学一模理科试题(附答案)
2019届高三数学一模理科试题（附答案）2019届高三数学一模理科试题（附答案）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则A. B. C. D.2.已知是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设随机变量服从正态分布，若，则A. B. C. D.4.设，则是的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知两个不同的平面和两个不重合的直线m、n，有下列四个命题：①若;②若 ;③若;④若 .其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.36.要得到函数的图象，只需将函数的图象A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度7. 已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是A. B. C. D.8.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为A.360B.520C.600D.7209.设函数若，则关于的方程的解的个数为A.4B.3C.2D.110.已知向量的夹角为时取得最小值，当时，夹角的取值范围为A. B. C. D.第II卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分..11.若对任意的恒成立，则实数k的取值范围为_________.12.如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是_______.13.已知圆C过点，且圆心在轴的负半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为________________.]14.定义：，在区域内任取一点的概率为__________.15.已知恒成立，则实数m的取值范围是_______.三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，且 ..(I)求的值;(II)若面积的最大值.17.(本小题满分12分)如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且(I)在棱AB上找一点Q，使QP//平面AMD，并给出证明; (II)求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值18.(本小题满分12分)某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响。
四川省广安市2024届高三一模数学(理)试题(教师版)
广安市高2021级第一次诊断性考试数学（理科）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}232,450A x xB x x x =-<<=+-≤，则A B = （）A.∅ B.(]3,1- C.[)1,2- D.()3,2-【答案】B 【解析】【分析】先求出集合B ，再根据交集的定义即可得解.【详解】{}{}245051B x x x x x =+-≤=-≤≤，则(]3,1A B =- .故选：B.2.复数1ii 1iz +=+-，则z =（）A.1B.C.2D.4【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算和复数模的定义即可得到答案.【详解】()()()21i 1i 2ii i i 2i 1i 1i 1i 2z ++=+=+=+=--+，则2z ==，故选：C.3.执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2023，则输出的y 值为（）A.116B.18C.14D.12【答案】D 【解析】【分析】根据程序框图的循环结构可知每循环一次x 值减少4，当0x <时，得到2x y =.【详解】第1次循环：20234x =-；第2次循环：()202344202342x =--=-⨯；第3次循环：()2023424202343x =-⨯-=-⨯；由以上可知，第()N n n *∈次循环：()20234N x n n *=-∈；当0x ≥时，一直循环，所以由202340x n =-≥，且N n *∈，解得()505N n n *≤∈；因此，第506次循环：202345061x =-⨯=-，即=1x -，则1122y -==，输出12.故选：D.4.甲、乙两个口袋中均装有1个黑球和2个白球，现分别从甲、乙两口袋中随机取一个球交换放入另一口袋，则甲口袋的三个球中恰有两个白球的概率为（）A.23B.59 C.49D.13【答案】B 【解析】【分析】利用互斥事件以及独立事件概率乘法公式运算求解即可.【详解】由题意可知：若甲口袋的三个球中恰有两个白球，则从甲袋中取出的球为黑球，乙袋中取出的球为黑球，或从甲袋中取出的球为白球，乙袋中取出的球为白球，所以甲口袋的三个球中恰有两个白球的概率为1122533339=⨯+⨯=P .故选：B.5.已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，若1592589,a a a b b b ++==，则28281a a b b +=+（）A.2B.C.32D.33【答案】C 【解析】【分析】根据等差、等比数列的性质分析求解.【详解】由题意可得15953258539a a a a b b b b ++==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得553a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以528228526311132+===+++a a a b b b .故选：C.6.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 的中点，F 为CD 边上一点，若2||AF AE AE ⋅=，则AF =（）A.B.C. D.5【答案】D 【解析】【分析】建系，设[]0,4DF a =∈，根据题意结合向量的坐标运算求得3a =，即可得结果.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设[]0,4DF a =∈，则()()()0,0,4,2,,4A E F a ，可得()(),4,4,2AF a AE ==，因为2||AF AE AE ⋅= ，即4820a +=，解得3a =，即()3,4AF = ，所以22345AF AF ==+= .故选：D.7.“π6ϕ=-”是“函数()sin 2y x ϕ=-的图象关于直线π6x =对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据正弦型函数的对称性结合充分、必要条件分析判断.【详解】若π6ϕ=-，则当π6x =，可得πππsin 2sin 1662⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭y ，为最大值，所以函数()sin 2y x ϕ=-的图象关于直线π6x =对称，即充分性成立；若函数()sin 2y x ϕ=-的图象关于直线π6x =对称，则ππ2π,62ϕ⨯-=+∈k k Z ，解得ππ,6ϕ=--∈k k Z ，π6ϕ=-不一定成立，即必要性不成立；综上所述：“π6ϕ=-”是“函数()sin 2y x ϕ=-的图象关于直线π6x =对称”的充分不必要条件.故选：A.8.已知12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点A 在C 上，若122F A F A =，121230,AF F AF F ∠=︒△的面积为63C 的方程为（）A.22196x y -= B.22136x y -=C.22169x y -= D.22163x y -=【答案】B 【解析】【分析】先根据双曲线的定义求出21,F A F A ，在12AF F △中，利用正弦定理求出21AF F ，再根据三角形的面积公式求出2a ，利用勾股定理可求得2c ，进而可求出答案.【详解】因为122F A F A =，所以12F A F A >，又因为点A 在C 上，所以122F A F A a -=，即2222F A F A a -=，所以212,4F A a F A a ==，在12AF F △中，由正弦定理得211221AF AF =∠∠，所以1212sin 30sin 1AF AF F AF ︒∠==，又210180AF F ︒<∠<︒，所以2190AF F ∠=︒，故1260F AF ∠=︒，则122121sin 602AF F S AF AF =︒== 23a =，则()2222222121221641236F F c AF AF a a a ==-=-==，所以29c =，所以2226b c a =-=，所以C 的方程为22136x y -=.故选：B.9.甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有,,,,A B C D E 五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（）A.420B.460C.480D.520【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用两个原理结合排列、组合应用列式计算即得.【详解】求不相同的选择种数有两类办法：恰有3个学校所选研学基地不同有2345C A 种方法，4个学校所选研学基地都不相同有45A 种方法，所以不相同的选择种数有234455C A A 660120480+=⨯+=（种）.故选：C10.若点P 是函数()sin cos xf x x x=+图象上任意一点，直线l 为点P 处的切线，则直线l 倾斜角的取值范围是（）A.π[0,3B.ππ[,)32C.π2π(,]23D.2π[,π)3【答案】C 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率的范围即可得解.【详解】函数23cos ()sin cos xf x x x=+中，sin cos 0x x +≠，即sin 21x >-，设点00(,)P x y ，求导得2sin (sin cos )cos (cos sin )]()(sin cos )x x x x x x f x x x -+--'=+22sin )12sin cos 1sin 2x x x x x+=-=-++，由1sin 21x -<≤，得01sin 22x <+≤，即111sin 22x ≥+，因此函数()f x 的图象在点P 处的切线l 斜率()00231sin 2f x x =-≤+'l 的倾斜角为钝角，所以直线l 的倾斜角的取值范围是π2π(,23.故选：C11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段1AB 上的动点（含端点），点Q 是线段AC 的中点，设PQ 与平面1ACD 所成角为θ，则cos θ的最小值是（）A.13B.3C.3D.3【答案】A 【解析】【分析】以点D 为原点建立空间直角坐标系，设[]1,0,1AP AB λλ=∈，利用向量法求解即可.【详解】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设[]1,0,1AP AB λλ=∈，不妨设2AB =，则()()()()()112,0,0,0,2,0,1,1,0,0,0,2,2,2,2A C Q D B ，故()()12,2,0,2,0,2AC AD =-=-，()()()11,1,00,2,21,12,2PQ AQ AP AQ AB λλλλ=-=-=--=---，设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z =，则1220220n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，可取()1,1,1n = ，则sin cos ,PQ n PQ n PQ n θ⋅===所以cosθ===当0λ=时，cos1θ=，当(]0,1λ∈时，cosθ==当11λ=，即1λ=时，()min1cos3θ=，综上所述，cosθ的最小值是13.故选：A.12.已知O为坐标原点，12,F F是椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点，,A B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且2PF x⊥轴，直线AP与y轴交于点M，直线BM与2PF交于点Q，直线1FQ与y 轴交于点N．若14ON OM=，则C的离心率为（）A.13 B.12C.23D.34【答案】B【解析】【分析】根据2//OM PF，分别在2PAF△，OBM和12QF F中，利用相似比求出,OM ON，再根据14ON OM=即可得解.【详解】不妨令点P在第一象限，设()()11,0P c y y>，因为2//OM PF，在2PAF△中，则22OM OAPF AF=，即1My ay a c=+，所以1May ya c=+，在OBM中，则22QF BFOM OB=，即Q My a c y a -=，所以11Q M a c a c a a cy y y y a a a c a c---==⋅=++，在12QF F 中，则121212ON OF QF F F ==，所以12N Q y y =，所以()1122N Qa cy y y a c -==+，因为14ON OM =，所以()11124a c ay y a c a c -=⋅++，所以12c a =，即C 的离心率为12.故选：B.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数,x y 满足4202y xy y x ≤-⎧⎪+≥⎨⎪≤+⎩，则23x y +的最大值为________．【答案】11【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得到答案.【详解】由约束条件4202y x y y x ≤-⎧⎪+≥⎨⎪≤+⎩，画出可行域，如图：令23z x y =+，化为斜截式方程得233zy x =-+，由图可知，当直线233zy x =-+过点B 时，直线在y 轴上的截距最大.由42y x y x =-⎧⎨=+⎩得13x y =⎧⎨=⎩，即()1,3B .所以点()1,3B 代入目标函数可得最大值，即最大值为213311z =⨯+⨯=.故答案为：11.14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数：________．①偶函数；②最大值为2；③最小正周期是π．【答案】()2cos 2f x x =（答案不唯一）【解析】【分析】根据的奇偶性、最值以及周期性分析判断.【详解】例如()2cos 2f x x =，可知其定义域为R ，则()()()2cos 22cos 2f x x x f x -=-==，即()f x 为偶函数；显然()f x 的最大值为2；且()f x 的最小正周期为2ππ2T ==；所以()2cos 2f x x =符合题意.故答案为：()2cos 2f x x =（答案不唯一）.15.在正四棱台1111ABCD A B C D -内有一个球与该四棱台的每个面都相切（称为该四棱台的内切球），若112,4A B AB ==，则该四棱台的外接球（四棱台的顶点都在球面上）与内切球的半径之比为________．【答案】654【解析】【分析】利用正棱台的性质，分别求出内切球与外接球的半径即可得解.【详解】根据题意，该正棱台的轴截面，如图：由题意，由112,4A B AB ==知1,2HM KF ==，由圆的切线长性质可知1,2MQ HM FQ KF ====，所以3MF =，所以HK ===所以该四棱台的内切球的半径为21r HK =，下面画出正四棱台1111ABCD A B C D -，连接11A C ,11B D ，交于点1O ,连接AC,BD ，交于点2O ，如图，由112,4A B AB==可得11AO=12O O HK==，2AO =设外接球的半径为R ，(10OO t t =<<，则2OO t =，由22211122222R A O OO R AO OO ⎧=+⎨=++⎩(()222t t +=+，解得t =，于是224965288R t =+=+=，则R =.所以654R r ==.故答案为：4.16.若点P 为ABC 的重心，35sin 21sin 15sin 0A PA B PB C PC ⋅+⋅+⋅= ，则cos BAC ∠=________．【答案】1314【解析】【分析】由点P 为ABC 的重心，可得0PB PC PA ++= ，再结合题意可得35sin 21sin 15sin A B C ==，再利用余弦定理即可得解.【详解】设点D 为BC 边上的中点，因为点P 为ABC 的重心，所以2AP PD =，则2PB PC PD PA +==- ，所以0PB PC PA ++= ，所以PA PB PC =-- ，因为35sin 21sin 15sin 0A PA B PB C PC ⋅+⋅+⋅=，所以()35sin 21sin 15sin 0A PB PC B PB C PC ⋅--+⋅+⋅= ，即()()21sin 35sin 35sin 15sin B A PB A C PC -=- ，因为,PB PC 不共线且0,0PB PC ≠≠ ，所以21sin 35sin 0,35sin 15sin 0B A A C -=-=，所以35sin 21sin 15sin A B C ==，由正弦定理可得352115a b c ==，不妨设3,5,7a b c ===，则2222549913cos 225714b c a BAC bc +-+-∠===⨯⨯.故答案为：1314.【点睛】关键点点睛：根据重心的性质结合已知得出35sin 21sin 15sin A B C ==，是解决本题的关键.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某工厂注重生产工艺创新，设计并试运行了甲、乙两条生产线．现对这两条生产线生产的产品进行评估，在这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了300件进行测评，并将测评结果（“优”或“良”）制成如下所示列联表：良优合计甲生产线4080120乙生产线80100180合计120180300（1）通过计算判断，是否有90%的把握认为产品质量与生产线有关系？（2）现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了6件产品．若在这6件产品中随机抽取3件，求这3件产品中产自于甲生产线的件数X 的分布列和数学期望．附表及公式：()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635其中()()()()22(),n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++．【答案】17.有90%的把握认为产品质量与生产线有关系18.X 的分布列见解析，数学期望为1【解析】【分析】（1）根据22⨯列联表,求得2K ,即可判断；（2）用分层抽样的方法抽取6件产品，从甲、乙生产线分别抽取2,4件，结合超几何分布求分布列和期望.【小问1详解】()()()()()222300*********() 3.704 2.706120180180120n ad bc K a b c d a c b d ⨯⨯-⨯-==≈>++++⨯⨯⨯，所以有90%的把握认为产品质量与生产线有关系.【小问2详解】在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取6件产品，则应在甲生产线抽取4062120⨯=件产品，在乙生产线抽取8064120⨯=件产品，由题意可知：0,1,2X =，则：()()()031221242424333666C C C C C C 41123410,1,2C 205C 205C 205P X P X P X ============，可得X 的分布列为X012P 153515所以X 的数学期望()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=.18.已知数列{}n a 与正项等比数列{}n b 满足()*2log n n a b n =∈N，且________．（1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ．从①3616,128b b ==；②15134,0b b b b =-=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）()1*,12++==∈n n n n b a n N （2）22n n S n +=⋅【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为0q >，对于①②：根据等比数列的通项公式运算求解；（2）由（1）可得：()()12112212+++=+⋅=⋅--⋅n n n n c n n n ，利用裂项相消法运算求解.【小问1详解】设等比数列的公比为0q >，若选①：因为3616,128b b ==，则251116,128==b b q q ，解得14,2b q ==，所以()11*2422,lo 1g -+=+==∈=⨯n n n n n n b a b n N ；若选②：因为15134,0b b b b =-=，则424440-⨯=q q ，解得2q =，所以()11*2422,lo 1g -+=+==∈=⨯n n n n n n b a b n N .【小问2详解】由（1）可得：()()12112212+++=⋅=+⋅=⋅--⋅n n n n n n c a b n n n ，所以()3243542121202221232222122+++=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+⋅--⋅=⋅n n n n n n n S .19.已知O 为坐标原点，过点()2,0P 的动直线l 与抛物线2:4C y x =相交于,A B 两点．（1）求OA OB ⋅ ；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在不同于点P 的定点Q ，使得AQP BQP ∠=∠恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4-；（2）存在，(2,0)-.【解析】【分析】（1）设出直线l 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合数量积的坐标表示计算即得.（2）利用（1）中信息，结合斜率坐标公式列式求解即得.【小问1详解】显然直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为2x ty =+，1122(,),(,)A x y B x y ，由224x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 并整理得2480y ty --=，显然0∆>，于是128y y =-，所以221212128444y y OA OB x x y y ⋅=+=⋅-=- .【小问2详解】由（1）知12124,8y y t y y +==-，假定存在不同于点P 的定点Q ，使得AQP BQP ∠=∠恒成立，由抛物线对称性知，点Q 在x 轴上，设(,0)Q m ，则直线,QA QB 的斜率互为相反数，即12120y y x m x m+=--，即1221(2)(2)0y ty m y ty m +-++-=，整理得12122(2)()0ty y m y y +-+=，即164(2)0t t m -+-=，亦即4(2)0t m --=，而t 不恒为0，则2m =-，所以存在不同于点P 的定点Q ，使得AQP BQP ∠=∠恒成立，点Q 的坐标为(2,0)-.20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，直线1C B ⊥平面ABC ，平面11AA C C ⊥平面11BB C C．（1）求证：1AC BB ⊥；（2）若12AC BC BC ===，在棱11A B 上是否存在一点P ，使二面角1P BC C --的余弦值为31010？若存在，求111B P A B 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，13.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理即得.（2）作1//Cz C B ，建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.【小问1详解】在三棱柱111ABC A B C -中，由1C B ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂平面ABC ，得11,C B BC C B AC ⊥⊥，在平面11BB C C 内过B 作1BO CC ⊥于O ，由平面11AA C C ⊥平面11BB C C ，平面11AA C C 平面111BB C C CC =，得BO ⊥平面11AA C C ，而AC ⊂平面11AA C C ，则有BO AC ⊥，显然11,,BO C B B BO C B =⊂ 平面11BB C C ，因此AC ⊥平面11BB C C ，又1BB ⊂平面11BB C C ，所以1AC BB ⊥.【小问2详解】过点C 作1//Cz C B ，由11,C B BC C B AC ⊥⊥，得,Cz CA Cz CB ⊥⊥，由（1）知AC ⊥平面11BB C C ，BC ⊂平面11BB C C ，则CA CB ⊥，即直线,,CA CB Cz 两两垂直，以点C 为原点，直线,,CA CB Cz 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由12AC BC BC ===，得11(2,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,4,2)A B C B ，(0,2,0),(2,2,0)CB BA ==- ，假定在棱11A B 上存在一点P ，使二面角1P BC C --的余弦值为31010，令111(2,2,0),01B P B A BA λλλλλ===-<< ，则(2,42,2)P λλ-，(2,42,2)CP λλ=- ，设平面PBC 的一个法向量(,,)n x y z = ，则2(42)2020n CP x y z n CB y λλ⎧⋅=+-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1x =，得(1,0,)n λ=- ，显然平面1BCC 的一个法向量(1,0,0)m = ，依题意，21310cos ,1011m n λ〈〉=+⨯ ，解得13λ=，即11113B P A B λ==，所以在棱11A B 上存在一点P ，使二面角1P BC C --的余弦值为31010，11113B P A B =.21.已知函数()32sin cos f x ax x x x =+-（其中a 为实数）．（1）若1π,0,22a x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，证明：()0f x ≥；（2）探究()f x 在()π,π-上的极值点个数．【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间，证明()min 0f x ≥即可；（2）求导()23cos sin f x ax x x x =+'+，()f x 在()π,π-上的极值点个数即为函数()f x '在()π,π-上零点的个数，当0x ≠时，令()0f x '=，分离参数可得2cos sin 3x x x a x+-=，构造函数()()()2cos sin ,π,00,πx x x h x x x +=∈-⋃，利用导数求出函数()h x 的单调区间，画出其大致图象，结合图象即可得出答案.【小问1详解】若12a =-，()312sin cos 2f x x x x x =-+-，则()23cos sin 2f x x x x x =-+'+，令()23cos sin 2g x x x x x =-++，则()()3cos 3cos g x x x x x x =-+=-+'，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 0,1x ∈，所以()()3cos 0g x x x =-+<'，所以函数()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，即函数()23cos sin 2f x x x x x =-+'+在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又()()2π43ππ3ππ010,02828g g -⎛⎫=>=-+=< ⎪⎝⎭，故存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g x =，则当()00,x x ∈时，()0g x >，即()0f x '>，当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x <，即()0f x '<，所以函数()f x 在()00,x 上单调递增，在0π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又()333ππ32π32 3.14200,202161616f f --⎛⎫==-+=>> ⎪⎝⎭，所以()0f x ≥；【小问2详解】()23cos sin f x ax x x x =+'+，()f x 在()π,π-上的极值点个数，即为函数()f x '在()π,π-上零点的个数（零点两边异号），因为()010f '=≠，所以0不是函数()f x '的零点，当0x ≠时，令()23cos sin 0f x ax x x x =+'+=，则2cos sin 3x x x a x +-=，令()()()2cos sin ,π,00,πx x x h x x x +=∈-⋃，因为()()()()()22cos sin cos sin x x x x x x h x h x x x ---+-===-，所以函数()h x 为偶函数，()23cos 2sin 2cos x x x x x h x x--='，令()()2cos 2sin 2cos ,0,πx x x x x x x ϕ=--∈，则()()2sin 0,0,πx x x x ϕ=-<∈'，所以函数()x ϕ在()0,π上单调递减，所以()()()020,0,πx x ϕϕ<=-<∈，即()()23cos 2sin 2cos 0,0,πx x x x x h x x x-'-=<∈，所以函数()h x 在()0,π上单调递减，又()0,πx ∈，当0x →时，()h x ∞→+，()21ππh =-，如图，作出函数()()()2cos sin ,π,00,πx x x h x x x +=∈-⋃的大致图象，由图可知，当213πa -≤-，即213πa ≥时，函数()23cos sin f x ax x x x =+'+无零点，所以函数()f x 在()π,π-上没有极值点，当213πa ->-，即213πa <时，函数()23cos sin f x ax x x x =+'+有2个不同的零点，且零点两边异号，所以函数()f x 在()π,π-上有2个极值点，综上所述，当213πa ≥时，函数()f x 在()π,π-上没有极值点；当213πa <时，函数()f x 在()π,π-上有2个极值点.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，已知曲线22:C x y x y +=+（其中0y >），曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t >），曲线2sin :cos x t C y t αα=-⎧⎨=⎩（t 为参数，π0,02α><<t ）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C 的极坐标方程；（2）若曲线C 与12,C C 分别交于,A B 两点，求OAB 面积的最大值．【答案】（1）()cos sin ,0,πρθθθ=+∈（2）1【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的关系分析求解；（2）将曲线12,C C 化为极坐标，结合极坐标的几何意义分析求解.【小问1详解】因为曲线22:C x y x y +=+（其中0y >），且cos ,sin x y ρθρθ==，所以C 的极坐标方程为()2cos sin ,0,πρρθρθθ=+∈，即()cos sin ,0,πρθθθ=+∈.【小问2详解】由题意可知：曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t >）表示过坐标原点，倾斜角为α的直线，所以曲线1C 的极坐标方程为θα=；曲线2sin :cos x t C y t αα=-⎧⎨=⎩（t 为参数，π0,02α><<t ），即2πcos 2:πsin 2x t C y t αα⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，表示过坐标原点，倾斜角为π2α+的直线，所以曲线2C 的极坐标方程为π2θα=+；可得πππcos sin ,cos sin sin cos ,222OA OB AOB αααααα⎛⎫⎛⎫=+=+++=-+∠=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，注意到π02α<<，则sin cos OA OB αα==+，可得OAB 面积()2111sin 2sin cos 1222OAB S OA OB ααα+=⋅=+=≤ ，当且仅当π22α=，即π4α=时，等号成立，所以OAB 面积的最大值为1.[选修4-5：不等式选讲]23.设函数()|22||2|f x x x =-++．（1）解不等式()52f x x ≤-；（2）令()f x 的最小值为T ，正数,a b 满足222a b b T ++=，证明：1a b +≤-．【答案】（1）[5,1]-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）把函数()f x 分段表示出，再分段解不等式即得.（2）求出函数()f x 的最小值T ，再变形并利用基本不等式推理即得.【小问1详解】依题意，函数3,2()2224,213,1x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=-++=-+-<≤⎨⎪>⎩，当2x ≤-时，()52f x x ≤-化为352x x -≤-，解得5x ≥-，因此52x -≤≤-，当21x -<≤时，()52f x x ≤-化为452x x -+≤-，解得1x ≤，因此21x -<≤，当1x >时，()52f x x ≤-化为352x x ≤-，解得1x ≤，无解，所以不等式()52f x x ≤-的解集为[5,1]-.【小问2详解】由（1）知，当2x ≤-时，()6f x ≥，当21x -<≤时，3()6f x ≤<，当1x >时，()3f x >，因此min ()(1)3T f x f ===，则0,0a b >>，2223a b b ++=，即有22(1)4a b ++=，显然22222(1)(1)2(1)4(1)8a b a b a b a b ++=++++≤+++=，当且仅当1a b =+=因此1a b ++≤1a b +≤-，所以1a b +≤-.23。
南昌市高三“一模”数学(理科) 测试答案
— 高三数学(理科)(模拟一)答案第1页 —2012—2013学年度南昌市高三第一次模拟测试卷数学(理科)参考答案及评分标准11. 2 12.5π+ 13. 25714. ()0,2 三、选做题（本题共5分）15. ① ②13(,][,)22-∞-+∞四、解答题（本大题共6小题，共75分）16.解：（1）因为2()cos cos2cos cos 1(2cos 1)(cos 1)22222A A A A Af A A '=+=+-=-+. ……2分 因为0A π<<，则cos 102A +>.由()0f A '>，得1cos 22A >，所以023Aπ<<，即203A π<<.……………………………………………………4分所以当2(0,)3A π∈时，()f A 为增函数；当2(,)3A ππ∈时，()f A 为减函数.故023A π=，()f A 取极大值0()f A =2()32f π= ………………………………………………6分 （2）由1AB AC ⋅=-知2=bc ，………………………………………………………8分而a == …………………………………………………10分 当且仅当b c ==BC …………………………………12分17.解:（1）ξ=1，3。
(1)0.2;(3)0P P ξξ==== E 6分（2）设该选手第一首歌专业评审团全票通过晋级到第二轮的事件为A ，第二首歌三分之二以上专业评审团通过且第三首歌三分之二以上媒体评审团通过晋级到第二轮、第二首歌不到三分之二专业评审团通过且第三首歌媒体评审团全票通过晋级到第二轮的事件分别为B 、C 。
则()()0.2,i P A =…………………………………………………………7分()()(10.2)0.50.80.32,ii P B =-⨯⨯=……………………………………………………9分 ()()(10.2)(10.5)0.40.16iii P C =-⨯-⨯=……………………………………………11分 ∴该选手晋级的概率为： 2()()()0.68P P A P B P C =++= …………………………12分 18. 解：（1）()f x 的定义域为(1,)-+∞，且212(21)'()2111ax a x f x ax x x--+=--=++…………………………………………2分 由题意得：'(1)0f =，则2210a a ---=，得14a =-，……………………………4分— 高三数学(理科)(模拟一)答案第2页 —又14a =-时，2111(1)222'()11x x x x f x x x--==++， 当01x <<时，'()0f x <，当1x >时，'()0f x >，所以(1)f 是函数()f x 的极大值，所以14a =-；………………………………………6分 （2）要使的()f x 在区间11[,]23--有单调递增区间，即要求'()0f x >在区间11[,]23--有解，当1123x -≤≤-时'()0f x >等价于2(21)0ax a ++>.……………………………8分①当0a =时，不等式恒成立；………………………………………………………9分②当0a >时得212a x a +>-，此时只要21123a a +-<-，解得34a >-……………10分 ③当0a <时得212a x a +<-，此时只要21122a a +->-，解得1a >-……………11分 综上所述，(1,)a ∈-+∞……………12分19．证明：由（1）知1,,AA AB AC两两垂直，如图建系，BC =(0,0,0)A ，1(0,0,2)A ，(2,0,0)B -，1(0,2,0),(1,1,2)C C ---，1(1,1,2)CC =-111(1,1,0),(0,2,2).AC AC =--=-- …………………………………………1分设),,(z y x E ，则)2,1,1(,),2,(1z y x z y x -----=+=………3分设1,CE EC λ=⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+--=⇒zz y y x x λλλλλλ22则22(,,)111E λλλλλλ---+++，222(,,)111BE λλλλλλ+--=+++ ………………………4分 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++--=+++++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅012120121200111λλλλλλλλC A BE C A ，得2λ= 所以线段1CC 上存在一点E ，12,CE EC =使BE ⊥平面11ACC ……………6分 另证：补形成正方体，易证1:2:1CE EC =（2）设平面11AC C 的法向量为(,,)m x y z = ，则由11100m AC m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得0220x y y z --=⎧⎨--=⎩， 取1x =，则1, 1.y z =-=故(1,1,1)m =-，……………………………………………8分而平面1A AC 的一个法向量为(1,0,0)n =，则cos ,m n m n m n⋅<>= 33=……11分 平面C A C 11与平面CA A 1夹角的余弦值为33…………………………………………12分— 高三数学(理科)(模拟一)答案第3页 —20.解：（1）由41cos PM PN MPN=+∠ 得cos 4PM PN MPN PM PN ∠=-显然cos 1MPN ∠≠-，若cos 1MPN ∠=，则(P …………………………1分 否则，,,P M N 构成三角形，在PMN ∆中，2222242cos 2(4)MN PM PN PM PN MPN PM PN PM PN ==+-∠=+--2()12PM PN +=，即PM PN +=…………………………………………5分所以P 的轨迹C 的方程为22 1.32x y +=…………………………………………………6分（2）设1122(,)(,)A x y B x y 、，由题意知l 的斜率一定不为0，故不妨设:1l x my =+，代入椭圆方程整理得22(23)440m y my ++-=，显然0.∆> 则12122244,2323m y y y y m m +=-=-++……①，…………………8分 假设存在点Q ，使得四边形OAQB 为平行四边形，其充要条件为OQ OA OB =+，则点Q 的坐标为1212(,)x x y y ++。
2024届陕西省渭南市高三一模数学(理)试题(解析版)
渭南市2024届高三教学质量检测（1）数学试题（理科）注意事项：1.本试题满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡和答题纸上.3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足(12i)2i z −=+，则||z =（ ） A.25B. 1C.D.【答案】B 【解析】【分析】由复数乘除法运算求复数z ，即可求模.【详解】由题设22i 2i 4i 2i i 12i 5z ++++===−，故i 1z ==. 故选：B2. 已知集合{}0,1,2,3A =，(){}40B x x x =−<，则A B ∪=（ ） A. {}1,2,3 B. {}04x x <<C. {}0,1,2,3,4D. {}04x x ≤<【答案】D 【解析】分析】根据二次不等式求解集合B ，再求并集即可.【详解】∵(){}{}4004Bx x x x x =−<=<<， ∴{}04A Bx x ∪=≤<．故选：D3. 在正三棱柱111ABC A B C 中，1BC CC =，M 是11A B 的中点，则直线CM 与平面ABC 所成角的正弦【值为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】作出线面角的平面角，利用正三柱的性质设出边长即可求得结果. 【详解】取N 是AB 的中点，连接,MN CN ，如下图所示：设三棱柱111ABC A B C 底面边长为a ，可得1BC CC a ==， 由正三棱柱性质可知MN ⊥平面ABC ，所以MCN ∠即为直线CM 与平面ABC 所成角的平面角，易知CN =，由勾股定理可得，所以sin MN MCN CM ∠=即直线CM 与平面ABC. 故选：B4. “米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线()21:20=−>C y px p 和()22:20C ypx p =>构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线1C ，2C 的焦点分别为1F ，2F ，点P 在拋物线1C 上，过点P作x 轴的平行线交抛物线2C 于点Q ，若124==PF PQ ，则p =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的对称性求出P 点横坐标，再由抛物线定义求出p 即可. 【详解】因为24PQ =，即2PQ =，由抛物线的对称性知1p x =−，由抛物线定义可知，1||2P p PF x =−，即4(1)2p=−−，解得6p ， 故选：D5. 执行如图所示的程序框图，如果输入的1a =−，则输出的S =A 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B 【解析】【详解】阅读流程图，初始化数值1,1,0a k S =−==. 循环结果执行如下：第一次：011,1,2S a k =−=−==；.第二次：121,1,3S a k =−+==−=； 第三次：132,1,4S a k =−=−==； 第四次：242,1,5S a k =−+==−=； 第五次：253,1,6S a k =−=−==； 第六次：363,1,7S a k =−+==−=， 结束循环，输出3S =.故选B.点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.求解时，先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，如：是求和还是求项.6. 设定义在R 上的偶函数()f x 满足()()f x f x π+=，当[0,)2x π∈时，()sin f x x =，则11()6f π=（ ） A.12B.C. 12−D. 【答案】A 【解析】【分析】由奇偶性和周期性的性质可求出1166f f ππ =，代入即可得出答案. 【详解】由()()f x f x π+=得1166f f ππ=−. 又()f x 为偶函数，所以1sin 6662f f πππ −===. 故选：A.7. 甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A 30种 B. 60种C. 90种D. 120种【答案】B 【解析】【分析】根据分类分步计数原理，利用组合数计算即可得出结果..【详解】根据题意可知，首先选取1种相同课外读物的选法有15C 种， 再选取另外两种课外读物需不同，则共有1143C C 种，所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有111543C C C 60=种； 故选：B8. 已知圆O 的方程为229x y +=，直线l 过点()1,2P 且与圆O 交于,M N 两点，当弦长MN 最短时，OM MN ⋅=（ ） A. 4− B.8−C. 4D. 8【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由条件可知，当MN 最短时，直线l OP ⊥，然后再结合向量的数量积，从而得到结果.【详解】当MN 最短时，直线l OP ⊥，OP ==，4MN ==，()cos π82MN OM MN OM MN OMN MN ⋅=⋅−∠=−⋅=−.故选：B.9. 如图，一个直四棱柱型容器中盛有水，底面11A ADD 为梯形，113AD A D =，侧棱长8AB =.当侧面ABCD 水平放置时，液面与棱1AA 的交点恰为1AA 的中点.当底面11A ADD 水平放置时，液面高为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】根据梯形11A ADD 各边长的关系可求得水的体积占整个容器体积的58，由等体积法可知当底面11A ADD 水平放置时，液面高为5.【详解】取底面梯形11A ADD 两腰的中点为,E F ，如下图所示：由113AD A D =可得112EF A D =，所以四边形11A D FE 与四边形ADFE 的面积之比为123235+=+， 即可知容器中水的体积占整个容器体积的55538=+； 当底面11A ADD 水平放置时，可知液面高为直四棱柱侧棱长的58, 即可得液面高为558AB =. 故选：C10. 我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点()11,A x y ，()22,B x y ，O 为坐标原点，余弦相似度为向量OA ，OB夹角的余弦值，记作cos(,)A B ，余弦距离为1cos(,)A B −.已知(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，(cos ,sin )R αα−，若P ，Q 的余弦距离为13，1tan tan 4αβ⋅=，则Q ，R 的余弦距离为（ ） A.35B.25C.14D.34【答案】A 【解析】【分析】根据余弦相似度和余弦距离的定义，代入计算即可求得结果.【详解】由题意可得()cos ,sin OP αα= ，(cos ,sin )OQ ββ= ，(cos ,sin )OR αα=−，则()3co 2cos cos s sin si ,n OQ OQOP P Q OP αβαβ⋅==+=⋅， 又4sin s 1tan t in cos os an c αβααββ==⋅，所以cos cos 4sin sin αβαβ=，可得82cos cos ,sin sin 1515αβαβ==； 所以Q ，R 的余弦距离()cos cos sin sin 31151cos ,1Q R αβαβ−=×−=−.故选：A11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x yC a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，A 为双曲线右支上一点，连接1AF 交y 轴于点B ．若2ABF △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A. B.32C.D.【答案】C 【解析】【分析】由长度关系可得2112BF AF =，知212AF F F ⊥，在12Rt F F A △中，利用12tan F AF ∠可构造齐次方程求得双曲线离心率.【详解】设2AF m =，2ABF 为等边三角形，2AB BF m ∴==，12π3F AF ∠=，又12BF BF m ==，2112BF AF ∴=，212AF F F ∴⊥，22b AF a∴=，1212222tan F F cF AF b AF a∴∠===，2222ac ∴−，220e −=，解得：e =e =， ∴双曲线C故选：C.12. 已知函数()πsin (0)4f x x ωω=+>在区间[]0,π上有且仅有4个极值点，给出下列四个结论： ①()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点；②()f x 的最小正周期可能是π2； ③ω的取值范围是1317,44；④()f x 在区间ππ,2319 上单调递增.其中正期结论的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】令π2ππ4x k ω+=+，Z k ∈，则44ππk x ω+=,Z k ∈，结合条件可得π4π0π4k ω+≤≤有4个整数k符合题意，可求出ω的取值范围，再利用三角函数图象性质逐项分析即可得出结论. 【详解】由函数()πsin (0)4f x x ωω=+>， 令π2ππ4x k ω+=+，Z k ∈可得44ππk x ω+=，Z k ∈，因为()f x 在区间[0,]π上有且仅有4个极值点，即可得π4π0π4k ω+≤≤有且仅有4个整数k 符合题意， 解得14014kω+≤≤，即0144k ω≤+≤，可得0,1,2,3k =，即1434144ω+×≤<+×，解得1317,44ω∈，即③错误； 对于①，当()0,πx ∈时，πππ,π444x ωω +∈+ ，即可得π7π9ππ,422ω+∈， 显然当ππ7ππ,442ω+∈ 时，()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点； 当ππ9ππ,442ω+∈时，()f x 在区间()0,π上有且仅有4个不同的零点；即①错误； 对于②，()f x 的最小正周期为2π8π8π,1713T ω=∈，易知π8π8π,21713 ∈ ，所以()f x 的最小正周期可能是π2，即②正确； 对于④，当ππ,2319x∈时，πππππ,4234194x ωωω +∈++ ；由1317,44ω ∈可知ππππ9π9π,,2341942319ωω ++∈， 由三角函数图象性质可知()f x 在区间ππ,2319上单调递增，即④正确； 即可得②④正确. 故选：B【点睛】方法点睛：求解三角函数中ω的取值范围时，经常利用整体代换法由图象性质限定出取值范围即可求得结果，特别注意端点处的取值能否取到等号即可.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知一组数据点()(),1,2,,7i i x y i = ，用最小二乘法得到其线性回归方程为 24y x =−+，若717ii x==∑，则71ii y==∑_______．【答案】14 【解析】【分析】根据回归方程必过样本中心点(),x y ，即可得到答案.【详解】根据题意可知该组数据点71117i i x x ===∑，所以242y x =−+=，所以71471ii yy ===∑，故答案为：1414. 在ABC 中，120BAC ∠= ，1AB =，BC =，则ABC 的面积为______.【解析】【分析】利用余弦定理可解得1AC =，再由面积公式即可求得结果.【详解】由余弦定理可知2221cos 22AB AC BC BAC AB AC +−∠==−⋅，即213122AC AC +−=−，解得1AC =；所以ABC的面积为111sin1202S =×××=15. 已知函数()f x 满足x ∀，0y >，()()()f xy yf x xf y =+，则满足条件的函数可以是()f x =______. 【答案】()0f x =（答案不唯一） 【解析】【分析】根据函数性质判断即可.【详解】结合常数函数的性质，()0f x =即满足,0x y ∀>，()()()f xy yf x xf y =+， 故答案为：()0f x =（答案不唯一）.16. 已知函数3,1()eln 3,1xx f x xx x a x >= −+≤ ，方程2[()]5()60f x f x −+=有7个不同的实数解，则实数a 的取值范围是______.【答案】45a <≤或1a = 【解析】【分析】利用导数研究函数的性质，得单调性和极值，并作出函数的大致图象，由2[()]5()60f x f x −+=，令(f x t =），得2t =或3t =，然后分类1x ≤和1x >讨论，它们一个有3个根，一个有4个根，由此可得参数范围．【详解】因为2[()]5()60f x f x −+=，令(f x t =），得到2560t t −+=，解得2t =或3t =，又当1x >时，()eln xf x x=，则221eln e e(ln 1)()(eln )(eln )x x x x f x x x −×−′==， 当(1,e)x ∈时，()0f x ′<，当(e,)x ∈+∞时，()0f x ′>， 即()eln xf x x=在区间(1,e)上单调递减，在区间(e,)+∞上单调递增， 又1x →时，()f x →+∞，e x =时，()1f x =，x →+∞时，()f x →+∞， 其图像如图，所以，当1x >时，()2f x =有2上解，()3f x =有2个解，又因为方程2[()]5()60f x f x −+=有7个不同的实数解，所以当1x ≤时，()f x 有3个实数解， 又1x ≤时，3()3f x x x a =−+，则2()333(1)(1)f x x x x ′=−=−+， 所以(,1)x ∈−∞−时，()0f x ′>，(1,1)x ∈−时，()0f x ′<，即当1x ≤时，3()3f x x x a =−+在区间(,1)−∞−上单调递增，在区间(1,1)−上单调递减， 又当=1x −时，()2f x a =+，当1x =时，()2f x a =−， 又当1x ≤时，()f x 有3个实数解，所以23223a a +> <−≤ 或2223a a −≤ +=，解得45a <≤或1a =，故答案为：45a <≤或1a =.【点睛】方法点睛：解决函数零点问题经常用到的方法就是数形结合，用导数研究函数的性质.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知等差数列{}n a 满足：25a =，3726a a +=，其前n 项和为n S . （1）求n a 及n S ；（2）若数列{}n n b a −是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）813n n a −=，2n S n =+ （2）2341232n n T n n ++−【解析】【分析】（1）由等比中项求出5a ，进而求出等差数列{}n a 的首项与公差，再用公式法写出其通项公式和前n 项和.（2）先求等比数列{}n n b a −的前n 项和n Q ，数列{}n b 的前n 项和即为nn n T Q S =+. 【小问1详解】{}n a 是等差数列，()375132a a a +∴==，∴数列{}n a 的公差52833a a d−=，首项1273a a d =−=，()18113n n a a n d −∴=+−=，()214123n d S na n n n n +−+. 813n n a −∴=，243n S n n =+为所求.【小问2详解】令nn n c b a =−，由题意有13n n c −=； 数列{}n c 是以1为首项，3为公比的等比数列∴其前n 项和()113112n n n a q Q q −−==−， n n n b c a =+ ，∴数列{}n b 的前n 项和2341232nn n nT Q S n n +++− 故2341232n n T n n ++−为所求.18. 如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，222AB CD AD ===，将ADC △沿着AC 折到APC △的位置，使⊥AP BC .（1）求证：平面APC ⊥平面ABC ； （2）求二面角A PB C −−的正弦值. 【答案】18. 证明见解析19.【解析】【分析】（1）过C 做CEAB ⊥，交AB 于E ，连接AC ，根据余弦定理求得AC ，可证AC BC ⊥，又⊥AP BC ，根据线面垂直的判定定理，可证BC ⊥平面APC ，根据面面垂直的判定定理，即可得证.（2）建立空间直角坐标系，求得平面APB ，BPC 的法向量1n ，2n，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的正弦值，即可得答案. 【小问1详解】由等腰梯形ABCD 中，222AB CD AD ===， 过C 做CEAB ⊥，交AB 于E ，连接AC ，如图所示，根据对称性可得，12BE =，所以1cos 2BE ABC BC ∠==，可得60ABC ∠=°， 又由2AB BC =，所以2222cos 3AC BC AB BC AB ABC =+−⋅∠=，即3AC =， 所以222AC BC AB +=，即AC BC ⊥，又因⊥AP BC ，且AC AP A = ，所以BC⊥平面APC ，又由BC ⊂平面ABC ，所以平面APC ⊥平面ABC .【小问2详解】取AC 的中点E ，AB 的中点F ，以E 为坐标原点，EA 为x 轴，EF 为y 轴，EP 为z 轴正方向建立空间坐标系，则A，(B，()0,0C ，10,0),(2P ，所以12()AP =，)11,2(PB =−，)10,2CP = ，设平面APB 的法向量为()1111,,n x y z = ，平面BPC 的法向量为()2222,,n x y z =，为则11111102102x y z x z +−= +=，得一个法向量(1n = ，22222102102x y z x z +−= +=，得一个法向量2(1,0,n = ，所以121212cos ,n n n n n n ⋅<>==⋅设二面角A PB C −−的平面角为θ，s n i θ， 所以二面角A PB C −−. 19. 杭州第19届亚运会于2023年9月23日至2023年10月8日举行，国球再创辉煌，某校掀起乒乓球运动热潮，组织乒乓球运动会.现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得一分．（1）己知某局比赛中双方比分为8:8，此时甲先连续发球2次，然后乙连续发球2次，甲发球时甲得分的概率为0.40.5，各球的结果相互独立，求该局比赛甲以11:9获胜的概率； （2）已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，且每局比赛的结果相互独立，两人又进行了X 局后比赛结束，求X 的分布列与数学期望． 【答案】（1）425； （2）分布列见解析，数学期望为23681. 【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算即得. （2）求出X 的所有可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望即得. 【小问1详解】在比分为88:后甲先发球的情况下，甲以11:9获胜的情况分三种： 第一种：后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为123113552250P =×××=，第二种：后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为232113552250P =×××=， 第三种：后四球胜方依次为甲甲乙甲，概率为322111552225P =×××=， 所以所求事件的概率为：123331*********P P P ++=++=． 【小问2详解】随机变量X 的可能取值为2，3，4，5，224(2)339P X ==×=，121228(3)C 33327P X ==×××=， 1243212113(4)C ()()333381P X ==×××+=， 1333442121218(5)C ()C ()33333381P X ==×××+×××=， 所以X 的分布列为数学期望48138236()2345927818181E X =×+×+×+×=. 20. 已知函数2()e (2)e x x f x a a x =+−−.(R)a ∈ （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若0a >，求证：211()f x a a>−−. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）对函数求导得到()(e 1)(2e 1)x x f x a ′=−+，分0a ≤和0a >进行讨论，再利用函数的单调性与导数间的关系即可求出结果；（2）根据（1）中的单调性，得到()f x 的最小值为ln 11a a −+，从而将问题转化成20l 11n a a++>，构造函数2)1()ln 1(0g x xx x =++>，对()g x 求导，利用函数的单调性与导数间的关系，求出()g x 的最小值，即可证明结果. 【小问1详解】因为2()e (2)e x x f x a a x =+−−，所以2()2e (2)e 1(e 1)(2e 1)x x x x f x a a a ′=+−−=−+,易知，2e 10x +>恒成立，当0a ≤时，()0f x ′<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减， 当0a >时，由()0f x ′=，得到ln x a =−，当(,ln )x a ∈−∞−时，()0f x ′<；当(ln ,)x a ∈−+∞时，()0f x ′>，所以0a >时，函数()f x 在区间(,ln )a −∞−上单调递减，在区间(ln ,)a −+∞上单调递增， 综上，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减，当0a >时，函数()f x 减区间为(,ln )a −∞−，增区间为(ln ,)a −+∞. 【小问2详解】由（1）知，当0a >时，函数()f x 的最小值为2ln ln 121(ln )e (2)e ln ln ln 1a a a f a a a a a a a a a −−−−=+−+=++=−+，所以要证211()f x a a >−−，即证明2ln 1111a a a a −−+−>在区间()0,∞+上恒成立，整理得20l 11n a a ++>，令2)1()ln 1(0g x x x x =++>，则233221()x g x x x x ′−==−=所以当x ∈时，()0g x ′<，当)x ∈+∞时，()0g x ′>，则函数()g x 在区间上单调递减，在区间)+∞上单调递增，故()g x 的最小值为311ln 202122g =+=+>， 即0a >时，20l 11n a a++>恒成立，所以0a >时，211()f x a a >−−. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数()h x ；（3）利用导数研究()h x 的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式；特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．21. 已知椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的离心率为12，长轴长为4.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的上、下焦点分别为2F 、1F ，过点1F 作斜率为()110k k ≠的直线l 交椭圆于A ，B 两点，直线2AF ，2BF 分别交椭圆C 于M ，N 两点，设直线MN 的斜率为2k .求证：21k k 为定值.【答案】（1）22143y x +=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据题意，列出关于,,a b c 的方程，求得,a b 的值，即可求解；（2）设直线l 的方程为11y k x =−，1122(,),(,)A x y B x y ，求得2AF 为1111y y x x −+，联立方程组，求得11325M x x y =−，得到1111358(,)2525x y M y y −−−,同理2222358(,)2525x y N y y −−−，利用斜率公式，化简得到2121219()321()7y y k k x x −==−，即可得证. 【小问1详解】解：由椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的离心率为12，长轴长为4.可得2222412a c a a b c = = =+，解得2,a b==，所以椭圆C 标准方程为22143y x +=.【小问2详解】解：由（1）知22143y x +=，可得12(0,1),(0,1)F F −，设直线l 的方程为11y k x =−， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则21121y y k x x −=−，的由2111AF y k x −=，所以直线2AF 的方程为1111y y x x −+， 联立方程组112211143y y x x y x − =+ += ，整理得222211111[43(1)]6(1)90x y x x y x x +−+−−=， 则0∆>且21122119[43(1)]M x x x x y −=+−，所以21112211111993[43(1)]15625Mx x x x x y x y y −−===+−−−， 可得111111135812525My x y y x y y −−=×+=−−，即1111358(,)2525x y M y y −−−, 同理可得2222358(,)2525x y N y y −−−，所以2121211222121122158582525(58)(25)(58)(25)333(25)3(25)2525N M N M y y y y y y y y y y k x x x x x y x y y y −−−−−−−−−−−===−−−−−−− 21211221211221219()9()6()15()6[(1)(1)]15()y y y y x y x y x x x kx x kx x x −−=−+−−−−+−211219()321()7y y k x x −=−， 即2137k k =，所以21kk 为定值.【点睛】方法总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin cos sin x y αααα=− =+（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πcos 6ρθ+． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）P 为l 上一点，过P 作曲线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，若3APB π∠≥，求点P 横坐标的取值范围．【答案】（1）222x y +=0y −−=（2）【解析】【分析】（1）把曲线C 的方程两边平方相加可求曲线C 的普通方程,利用两角和的余弦公式可求直线l 的直角坐标方程;（2）设(P x −，由题意可得||2||OP OA ≤，计算可求点P 横坐标的取值范围. 【小问1详解】 由曲线C 的参数方程为cos sin cos sin x y αααα=−=+ （α为参数），可得222222cos 2sin cos sin cos 2sin cos sin 2x y αααααααα+=−++++=由πcos 6ρθ+,得ππcos cos sin sin 66ρθρθ−12x y −,0y −−=, ∴曲线C 的普通方程为222x y +=,直线l0y −−=【小问2详解】设(P x −,连接,OA OB ，易得,OA AP OB BP ⊥⊥，若π3APB ∠≥,则6πAPO ∠≥，1sin ,2APO ∴∠≥∴在Rt OAP △中，||1||2OA OP ≥，||2||OP OA ∴≤≤,两边平方得241240x x −+≤,x ≤≤∴点P横坐标的取值范围为 [选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数()1f x x a x =++−，a R ∈．（1）当2a =时，求不等式()4f x ≤的解；（2）对任意()0,3m ∈．关于x 的不等式()12f x m m <++总有解，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）53,22 −；（2）()5,3−． 【解析】【分析】（1）讨论绝对值内的正负号,解不等式，即可得出答案.（2）由题意可知()min min 12f x m m<++，结合1224m m ++≥=与()()()11f x x a x a ≥+−−=+，即可解出答案.【详解】（1）由已知，不等式()4f x ≤即为214x x ++−≤，则()()2,214,x x x ≤− −+−−≤或()21,214,x x x −<≤ +−−≤ 或()1,214,x x x > ++−≤ 解得522x −≤≤−或21x −<≤或312x <≤，故不等式的解集为53,22 −． （2）对任意()0,3m ∈，关于x 的不等式()12f x m m <++总有解()min min 12f x m m ⇔<++而1224y m m =++≥+=，当且仅当1=m m ，即1m =时取最小值， 又()()()11f x x a x a ≥+−−=+（当且仅当()()10x a x +−≤时取等号）故只需14a +<，得53a −<<，即实数a 的取值范围为()5,3−．【点睛】本题考查绝对值不等式，分类讨论是解绝对值不等式基础方法，解本题还需注意区分不等式有解与恒成立问题.属于中档题.。
高三一模数学理科试卷附答案
山东省聊城市届高三一模（数学理）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试用时120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡及答题纸上。
3．答题时，考生务必用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试卷上作答无效。
4．第II 卷写在答题纸对应区域内，严禁在试题卷或草纸上答题。
5．考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回。
参考公式：柱体的体积公式：，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高。
锥体的体积公式：，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．设集合= （ ）A ．{1，3}B ．{2}C ．{2，3}D ．{3}2．设（i 为虚数单位），则（ ）A ．-1-iB ．-1+iC ．1-iD ．1+i3．等差数列的前n 项和等于（ ）A ．152B ．154C ．156D ．1584．在中，若则角B 的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．135°D ．45°或135°Sh V =ShV 31=)(},5,2{},3,2,1{},5,4,3,2,1{B C A B A U U 则===i z -=1=+z z 22}{n a 134111073,4,8,S a a a a a S n 则若=-=-+ABC ∆,24,34,60==︒=AC BC A5．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6．若幂函数的图象经过点，是它在A 点处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知直线，给出下列四个命题： ①若②若③若④若其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．从甲、乙、丙、丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，不同的参赛方案共有 （ ）A ．24种B ．18种C ．21种D ．9种9．若将函数的图象向左科移个单位后，所得图象关于y 轴对称，则实数m 的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．设不等式的解集为M ，则是的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12222=-b y a x x y 42=5154522=-y x 14522=-y x 14522=-x y 145522=-y x )(x f )21,41(A 0144=++y x 0144=+-y x 02=-y x 02=+y x βαβα⊂⊥m l m l ,,,,,且平面;,//m l ⊥则βα;//,βα则m l ⊥;//,m l 则βα⊥.,//βα⊥则m l xx y sin 3cos -=)0(>m m 6π3π32π65π2|2|<-a x "40"≤≤a "1"M ∈11．已知A、B为抛物线上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若则直线AB的斜率为（）A．B．C．D．12．若在区间（-1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线与圆相交的概率为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），其中正视图是直角梯形，侧视图和府视图都是矩形，则这个几何体的体积是cm3.14．若二项式的展开式中的常数项为-160，则= 。
陕西省榆林市2024届高三一模数学(理)试题含答案解析
榆林市2023—2024年度高三第一次模拟检测数学试题（理科）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第I 卷一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设()322i i i z =++，则z =（）A.2i -+ B.2i--C.12i -- D.12i-+2.设集合{}{}24,2,0,2,4,450A B xx x =--=-->∣，则A B = （）A.{}0,2,4 B.{}4,2,0-- C.{}4,4- D.{}4,2--3.已知直线y =是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（）A.65B.C.D.54.在等比数列{}n a 中，12231,2a a a a +=+=，则5a =（）A.163B.83C.16D.85.某圆锥的侧面积为16π，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.4C. D.6.执行如图所示的程序框图，输出的S =（）A.18B.22C.25D.13757.已知0.551log 0.7,log 2,2a b c ===，则（）A.a b c <<B.c b a <<C.a c b<< D.b<c<a8.已知()11y f x =++为奇函数，则()()()()()()()2101234f f f f f f f -+-+++++=（）A.14- B.14 C.7- D.79.如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在该抛物线上，点C 在y 轴上，若57,2FA FB ==，则AB BC =（）A.83B.72C.73D.310.下图是由两个边长不相等的正方形构成的，在整个图形中随机取一点，此点取自,,ADC AFC BEF 的概率分别记为123,,p p p ，则（）A.12p p =B.13p p =C.23p p = D.123p p p =+11.已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:2AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，M 为α上的一点，且24MH =，过点M 作球O 的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（）A.142B.114 C.144D.11212.已知函数()e e axxf x =-在[)0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是（）A.[)0,∞+ B.()1,+∞ C.()e,+∞ D.[)2e,+∞第II 卷二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量,a b满足()1,1,2,1a b a b ==-⋅= ，则+= a b __________.14.若,x y 满足约束条件8404020x y x y y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数3z x y =-的最大值为__.15.已知函数()π2sin 43f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.若存在12π,0,4x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()()12f x m f x <<成立，则m 的取值范围是__________.16.某网店统计了A 商品近30天的日销售量，日销售量依次构成数列{}n a ，已知120a =，且()()111nn n a a n ++-=+-∈N ，则A 商品近30天的总销量为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在三棱锥A BCD -中，,AB AD BC CD ==.（1）证明：AC BD ⊥.（2）若AB BC BD ==，平面ABD ⊥平面BCD ，求直线AB 与平面ACD 所成角的正弦值.18.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC 的周长为2326,2a bcAB AC -⋅=.（1）求a 的值；（2）求A 的最大值.19.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按[)30,40、[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[]80,90分成6组，并整理得到如下频率分布直方图.（1）请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（2）以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于60分，则被认定为成绩合格，低于60分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取5人，用X 表示成绩合格的人数，求X 的分布列及数学期望.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过()830,1,,55A P ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点.（1）求C 的方程；（2）斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，且点A 不在l 上，AM AN ⊥，过点P 作y 轴的垂线，交直线=1x -于点S ，与椭圆C 的另一个交点为T ，记SMN 的面积为1S ，TMN △的面积为2S ，求12S S .21.已知函数()3f x x x =-.（1）求()f x 的极值；（2）已知()()ππ0,,sin cos tan 26mf nf ααα⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭，证明：32m n +>.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），21x y ββ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（β为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 和2C 的极坐标方程；（2）已知直线():0l y kx k =>，且l 与曲线1C 相交于O 、A 两点，与曲线2C 相交于O 、B 两点，则当AB 取得最大值时，求k 的值.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()3221f x x x =-++.（1）求不等式()9f x >的解集；（2）若存在x ∈R ，使得()f x m <成立，求实数m 的取值范围.榆林市2023—2024年度高三第一次模拟检测数学试题（理科）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第I 卷一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设()322i i i z =++，则z =（）A.2i-+ B.2i--C.12i -- D.12i-+【答案】B 【解析】【分析】根据复数的运算法则，准确计算，即可求解.【详解】由复数()322i i i 2i 2i 2i z =++=--=-+，所以2i z =--.故选：B.2.设集合{}{}24,2,0,2,4,450A B xx x =--=-->∣，则A B = （）A.{}0,2,4 B.{}4,2,0-- C.{}4,4- D.{}4,2--【答案】D【解析】【分析】解不等式化简集合B ，再利用交集的定义求解即得.【详解】依题意，{}2|450{|1B x x x x x =-->=<-或5}x >，而{}4,2,0,2,4A =--，所以{}4,2A B ⋂=--.故选：D3.已知直线y =是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（）A.5B.C.D.305【答案】D 【解析】【分析】根据渐近线方程得到ab=，再代入离心率公式即可.【详解】由题意可知a b =，所以305ce a===.故选：D.4.在等比数列{}n a 中，12231,2a a a a +=+=，则5a =（）A.163B.83C.16D.8【答案】A 【解析】【分析】利用等比数列的通项公式及性质求解即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()122312122q a a a a q a a a a ++===++，即2q =，由121a a +=，可得131a =，即113a =，所以451163a a q ==.故选：A5.某圆锥的侧面积为16π，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2 B.4C. D.【答案】D 【解析】【分析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，由题意得到2ππr l =求解.【详解】解：设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，即侧面展开图的半径为l ，侧面展开图的弧长为πl .又圆锥的底面周长为2πr ，所以2ππr l =，即圆锥的母线长2l r =.所以圆锥的侧面积为2π2π16πrl r ==，解得r l ==.故选：D6.执行如图所示的程序框图，输出的S =（）A.18B.22C.25D.1375【答案】C 【解析】【分析】根据程序框图的功能，一一循环验证即可.【详解】解：执行该程序框图，12,2,4S k k ==≤成立，18,3,4S k k ==≤成立，22,4,4S k k ==≤成立，25,5S k ==，不满足4k ≤，输出的25S =.故选：C7.已知0.551log 0.7,log 2,2a b c ===，则（）A.a b c <<B.c b a <<C.a c b <<D.b<c<a【答案】D 【解析】【分析】利用对数函数的单调性比较大小可得答案.【详解】因为0.50.52log 0.49log 0.51a =>=，所以12a >，因为52log 41b =<，所以12b <，故bc a <<.故选：D.8.已知()11y f x =++为奇函数，则()()()()()()()2101234f f f f f f f -+-+++++=（）A.14- B.14 C.7- D.7【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数定义得到()()112f x f x -+++=-，进而求值.【详解】因为()11y f x =++为奇函数，所以()()1111f x f x ⎡⎤++=--++⎣⎦，即()()112f x f x -+++=-，所以()()()()()()()2413022,11f f f f f f f -+=-+=+=-=-，所以()()()()()()()21012347f f f f f f f -+-+++++=-.故选：C9.如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B在该抛物线上，点C在y轴上，若57,2FA FB==，则ABBC=（）A.83 B.72 C.73 D.3【答案】D【解析】【分析】根据抛物线定义可求出,A Bx x，根据三角形相似即可求出ABBC.【详解】设(),A AA x y,(),B BB x y，由57,2FA FB==，根据抛物线定义可得517,12A Bx x+=+=，故36,2A Bx x==，，过A，B分别作y轴的垂线，过B作x轴的垂线，垂足为E，明显ABE BCM，所以362332A BB CAB x xBC x x--===-.故选：D10.下图是由两个边长不相等的正方形构成的，在整个图形中随机取一点，此点取自,,ADC AFC BEF的概率分别记为123,,p p p，则（）A.12p p =B.13p p =C.23p p =D.123p p p =+【答案】A 【解析】【分析】先利用几何概型公式求得123,,p p p 的值，进而得到三者之间的关系.【详解】设,,AB a BE b a b ==<，从而22,22ADCBEF a b S S == ，因为//AC BF ，所以22AFC ABC a S S == ，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到()2212222222a a p p a b a b ===++，()223222222b b p a b a b ==++，则123p p p =<故选：A.11.已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:2AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，M 为α上的一点，且24MH =，过点M 作球O 的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（）A.142B.114 C.144D.112【答案】C【解析】【分析】设截得的截面圆的半径为r ，球的半径为R ，由平面几何知识得截面与球心的距离为13R ，利用勾股定理求得2R 的值，由题意可知球心O 到所求截面的距离d 最大时截面面积最小，利用面积公式，即可得答案.【详解】如图，设截得的截面圆的半径为r ，球O 的半径为R ，因为:1:2AH HB =，所以13OH R =.由勾股定理，得222R r OH =+，由题意得2ππ,1r r ==，所以22113R R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得298R =，此时过点M 作球O 的截面，若要所得的截面面积最小，只需所求截面圆的半径最小.设球心O 到所求截面的距离为d ，所求截面的半径为r '，则r '=所以只需球心O 到所求截面的距离d 最大即可，而当且仅当OM 与所求截面垂直时，球心O 到所求截面的距离d 最大，即max12d OM ===，所以min 144r =='.故选：C12.已知函数()e e axxf x =-在[)0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是（）A.[)0,∞+ B.()1,+∞ C.()e,+∞ D.[)2e,+∞【答案】B 【解析】【分析】分情况讨论，当0a ≤时直接代入可得函数递减；当0a >时，求导，构造函数，()[)e ,0,x g x x x ∞=∈+，再由()()1e 0x g x x =+≥'得到抽象函数()()g ax g x ≥，求出1a ≥，最后再讨论1a =时的情况，综合得出结果.【详解】当0a ≤时，函数()e e axxf x =-在[)0,∞+上单调递减，不符合题意，所以0a >，由题可知()e e 0ax x f x a '=-≥恒成立，即e e ax x a ≥.令()[)e ,0,xg x x x ∞=∈+，则()()1e 0xg x x =+≥'，所以()g x 在[)0,∞+上单调递增，由e e ax x a ≥，可得e e ax x ax x ≥，即()()g ax g x ≥，所以0ax x ≥≥，所以1a ≥，当1a =时，()0f x =，不符合题意，故a 的取值范围是()1,+∞.故选：B第II 卷二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量,a b满足()1,1,2,1a b a b ==-⋅= ，则+= a b __________.【答案】【解析】【分析】根据平面向量数量积运算法则求出答案.【详解】因为()1,2b =-，所以b ==，故a b +=.故答案为：14.若,x y 满足约束条件8404020x y x y y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数3z x y =-的最大值为__.【答案】12【解析】【分析】作出约束条件8404020x y x y y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩的可行域，利用几何意义即可求得目标函数3z x y =-的最大值.【详解】画出约束条件8404020x y x y y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩的可行域，由84040x y x y --=⎧⎨++=⎩，可得(0,4)A -，由2040y x y -=⎧⎨++=⎩，可得(6,2)B -，当目标函数3z x y =-经过(6,2)B -时，63212z =--⨯=-，当目标函数3z x y =-经过(0,4)A -时，()03412z =-⨯-=，故目标函数3z x y =-的最大值为12.故答案为：1215.已知函数()π2sin 43f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.若存在12π,0,4x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()()12f x m f x <<成立，则m 的取值范围是__________.【答案】()2【解析】【分析】根据x 的范围求出πsin 43x ⎛⎫+⎪⎝⎭范围，可得()f x 的值域，可得答案.【详解】当π04x ≤≤时，ππ4π4333x ≤+≤，则π2sin 423x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()2f x ≤≤，因此()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦，若存在12π,0,4x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()()12f x m f x <<成立，则()()min max f x m f x <<，所以m 的取值范围是()2.故答案为：()2.16.某网店统计了A 商品近30天的日销售量，日销售量依次构成数列{}n a ，已知120a =，且()()111nn n a a n ++-=+-∈N ，则A 商品近30天的总销量为__________.【答案】1020【解析】【分析】根据题目所给递推关系找到数列的规律，进而求和.【详解】当21n k =-时，221k k a a -=，当2n k =时，2122k k a a +=+，∴21212k k a a +-=+，{}n a ∴中奇数项是公差为2，首项为20的等差数列，∴1232930a a a a a +++++ ()135292a a a a =++++ 151421*********⨯⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭.∴A 商品近30天的总销量为1020.故答案为：1020.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在三棱锥A BCD -中，,AB AD BC CD ==.（1）证明：AC BD ⊥.（2）若AB BC BD ==，平面ABD ⊥平面BCD ，求直线AB 与平面ACD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）155【解析】【分析】（1）取BD 的中点O ，连接,OA OC ，由线面垂直判定定理证明BD ⊥平面OAC ，进而得到AC BD ⊥；（2）由平面ABD ⊥平面BCD ，可证明OA ⊥平面BCD ，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：取BD 的中点O ，连接,OA OC因为,AB AD BC CD ==，所以,OA BD OC BD ⊥⊥，又因为,OA OC ⊂平面,OAC OA OC O ⋂=，所以BD ⊥平面OAC ，因为AC ⊂平面OAC ，所以AC BD ⊥.【小问2详解】因为且平面ABD ⋂平面BCD BD =，OA BD ⊥，OA ⊂面ABD ，所以OA ⊥平面BCD .以O 为坐标原点，分别以,,OC OD OA 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设2BD =，则()0,1,0D ，()0,1,0B -，(3,0,0)C ，(3A ，所以(0,1,3AB =- ，(0,1,3AD = ，)3,1,0DC =- ，设平面ACD 的法向量为()111,,n x y z =，则11113030n AD y z n DC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取11z =，则113,1y x ==，所以()3,1n = ，直线AB 与平面ACD 所成角为θ，则231515sin cos ,5525AB n θ-====⨯ ，所以直线AB 与平面ACD 所成角的正弦值为155.18.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC 的周长为2326,2a bcAB AC -⋅=.（1）求a 的值；（2）求A 的最大值.【答案】（1）2（2）π3【解析】【分析】（1）由题意结合数量积定义、余弦定理即可求解.（2）由题意结合余弦定理以及基本不等式相关推论即可求解.【小问1详解】222232cos 22c b a a bcAB AC cb A +--⋅===，即()224b c a +=.因为ABC 的周长为6，所以()2264a a -=，解得2a =.【小问2详解】由（1）可知4b c +=.()2222222661cos 112222b c bc a c b a A bc bc bc b c +--+-===-≥=+⎛⎫⎪⎝⎭，当且仅当b c =时，等号成立.故当2b c ==时，A 取得最大值π3.19.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按[)30,40、[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[]80,90分成6组，并整理得到如下频率分布直方图.（1）请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（2）以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于60分，则被认定为成绩合格，低于60分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取5人，用X 表示成绩合格的人数，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）68.3（2）分布列见解析，()154E X =【解析】【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加，即可得出这100份样本数据的平均值；（2）由题意可知，35,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量X 的分布列，利用二项分布的期望公式可求得()E X 的值.【小问1详解】解：由频率分布直方图可知，100份样本数据的平均值为()350.005450.010550.010650.020750.032850.02310x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯68.3=.【小问2详解】解：竞赛成绩不低于60分的频率为()30.0200.0320.023100.754++⨯==，低于60分的频率为()10.0050.0100.010100.254++⨯==.由题意可知35,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()55110C 41024P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()41531151C 441024P X ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭，()23253190452C 441024512P X ⎛⎫⎛⎫==⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3235312701353C 441024512P X ⎛⎫⎛⎫==⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()445314054C 441024P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()55532435C 41024P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为X12345P110241510244551213551240510242431024期望()315544E X =⨯=.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过()830,1,,55A P ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点.（1）求C 的方程；（2）斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，且点A 不在l 上，AM AN ⊥，过点P 作y 轴的垂线，交直线=1x -于点S ，与椭圆C 的另一个交点为T ，记SMN 的面积为1S ，TMN △的面积为2S ，求12S S .【答案】（1）2214x y +=（2）58【解析】【分析】（1）待定系数法求出22,a b ，得到椭圆方程；（2）先得到直线l x ⊥轴时，MAN △为钝角三角形，不合题意，设直线l 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由0AM AN ⋅=得到35m =-，得到直线l 恒过点30,5Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求出3831,,,555S T ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而得到1258SQ S S TQ ==.【小问1详解】将()830,1,,55A P ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆方程中，222164912525b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得224,1,a b ⎧=⎨=⎩则椭圆C 的方程为2214x y +=；【小问2详解】当直线l x ⊥轴时，MAN △为钝角三角形，且90MAN ∠< ，不满足题意.设()()1122,,,M x y N x y ，由AM AN ⊥，可得0AM AN ⋅=，所以()()()()11221212,1,1110AM AN x y x y x x y y ⋅=-⋅-=+--=，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，因为点A 不在l 上，所以1m ≠，由22,44,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩化简得()222148440k x kmx m +++-=，()()22222206441444014k m k m m k ∆>⇒-+->⇒<+.2121222844,1414km m x x x x k k--+==++，所以()()()2212121211AM AN x x k x x k m x x m ⋅=++-++- ()()()()()22222222144114810141414k m m k k m m k k k +--+-=-=+++，则()()()()()22222144811140kmk m m m k +---+-+=，整理得()()1530m m -+=，因为1m ≠，所以35m =-，所以直线l 的方程为35y kx =-，恒过点30,5Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭.由题意和对称性可知3831,,,555S T ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设点S 到直线l 的距离为1d ，点T 到直线l 的距离为2d ，()11122210152188025MN d SQ S d S d TQ MN d ⋅--=====⎛⎫⋅-- ⎪⎝⎭【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ），（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至找到()00,x y ，①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的式子归为一组，变形为“()k ⋅”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k 变为常数.21.已知函数()3f x x x =-.（1）求()f x 的极值；（2）已知()()ππ0,,sin cos tan 26mf nf ααα⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭，证明：32m n +>.【答案】（1239-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极值；（2）先利用题给条件构造出m n +的不等式，再利用（1）的结论即可证得32m n +>.【小问1详解】()3f x x x =-，()213f x x '=-，令()0f x '=，可得33x =±.令()0f x ¢>，可得3333x -<<，令()0f x '<，可得33x >，或33x <-所以()f x 在,33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,3⎛-∞- ⎝⎭和3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭,+上单调递减.所以()f x 的极大值为()323,39f f x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的极小值为32339f ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由()()πsin cos tan6mf nf αα+=，可得223cos sin sin cos 3m n αααα+=，所以3cos sin 3sin cos m n αααα+=.由对称性，不妨设π0,4α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()cos sin cos 3sin cos m n m n ααααα+=≤+，当且仅当2sin cos 2αα==时，等号成立，所以()23333sin cos 3sin sin m n αααα+≥=-.由（1）可知()f x 在20,2⎛ ⎝⎦上的最大值为=⎝⎭f ，所以()3323330sin sin 923sin sin αααα<-≤≥-，当且仅当sin 3α=时，等号成立，因为等号不能同时取到，所以32m n +>.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：（1）构造差函数()()()h x f x g x =-，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将所求问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线1C和2C的参数方程分别为1cossinxyαα=+⎧⎨=⎩（α为参数），21xyββ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（β为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C和2C的极坐标方程；（2）已知直线():0l y kx k=>，且l与曲线1C相交于O、A两点，与曲线2C相交于O、B两点，则当AB取得最大值时，求k的值.【答案】（1）1:2cosCρθ=，2:4cos2sinC=+ρθθ（2）1k=【解析】【分析】（1）将曲线1C、2C的参数方程化为普通方程，再由极坐标方程与普通方程之间的转换关系可得出曲线1C、2C的极坐标方程；（2）设直线l的极坐标方程为θϕ=，其中π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，将直线l的极坐标方程分别代入曲线1C、2C的极坐标方程，求出点A、B的极径，然后利用三角恒等变换结合正弦型函数的最值可求得AB的最值及其对应的ϕ值，由此可得出k的值.【小问1详解】解：在曲线1C的参数方程1cossinxyαα=+⎧⎨=⎩（α为参数）中消去参数α，可得()2211x y-+=，即2220x y x+-=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得2cos ρθ=.在曲线2C的参数方程21x y ββ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（β为参数）中消去参数β，可得()()22215x y -+-=，即22420x y x y +--=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得4cos 2sin ρθθ=+.所以，曲线1C 的极坐标方程为cos x ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+.【小问2详解】解：由题可设直线l 的极坐标方程为θϕ=，其中π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，将θϕ=代入2cos ρθ=，得2cos ρϕ=，将θϕ=代入4cos 2sin ρθθ=+，得4cos 2sin ρϕϕ=+，所以π4cos 2sin 2cos 2sin cos 4AB ϕϕϕϕϕϕ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为π02ϕ<<，则ππ3π444<+<ϕ，故当π2π4ϕ+=时，即当π4ϕ=时，AB 取得最大值，此时πtan 14k ==.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()3221f x x x =-++.（1）求不等式()9f x >的解集；（2）若存在x ∈R ，使得()f x m <成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）8{|5x x <-或2}x >（2）7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式的解法，分类讨论，即可求解；（2）根据题意，结合一次函数的性质，求得函数()f x 的最小值，即可求解.【小问1详解】解：由函数()3221f x x x =-++，当12x <-时，可得23219x x --->，解得85x <-，故85x <-；当1223x -≤≤时，可得23219x x -++>，解得6x <-，故无解；当23x >时，可得32219x x -++>，解得2x >，故2x >.故不等式()9f x >的解集为8{|5x x <-或2}x >.【小问2详解】解：由函数()251,31232213,23115,2x x f x x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=-++=--<<⎨⎪⎪-≤-⎪⎩，可得()min 2733f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以73m >，即实数m 的取值范围为7,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.。
陕西省汉中市2024届高三一模数学(理)试题(教师版)
汉中市2024届高三年级教学质量第一次检测考试数学（理科）本试卷共23小题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合{}{}1,0,1,2,023A B x x =-=<-<，则A B = （）A.{0,1}B.{1,0}- C.{1,0,1}- D.{0,1,2}【答案】A 【解析】【分析】将集合B 化简，再结合集合的交集运算即可得到结果.【详解】将集合B 化简可得{}12B x x =-<<，则{}0,1A B = 故选:A2.已知()2i 1z +=，则复数z 的虚部为（）A.15-B.15 C.1i5- D.1i 5【答案】A 【解析】【分析】利用复数的四则运算及定义计算即可.【详解】由()2i 1z +=可得12i 21i 2i 555z -===-+，即虚部为15-.故选：A3.已知向量(2,)m λ= ，(2,4)n λ=-- ，若m与n共线且同向，则实数λ的值为（）A.2B.4C.2- D.2-或4【答案】C 【解析】【分析】通过向量共线且同向，即可求出实数λ的值.【详解】由题意，(2,)m λ= ，(2,4)n λ=--，∵m 与n共线且同向∴(2)80λλ-+=，解得2λ=-或4λ=，当4λ=时，m与n共线且反向，舍去，故选：C ．4.已知一平面截某旋转体，截得的几何体的三视图如图，则该截得几何体的体积为（）A.67.5πB.πC.πD.【答案】A 【解析】【分析】将两个几何体合并成一个完整的圆柱，再计算体积即可.【详解】将两个几何体可以合并成一个完整的圆柱，则体积为()21π310567.5π2V =⨯⨯⨯+=.故选：A 5.已知2tan 3α=，则sin 2cos(2)απα--=（）A.713B.1113C.73D.1713【答案】D 【解析】【分析】根据题意，结合二倍角公式与同角的三角函数关系，构造齐次式即可求解.【详解】2222222sin cos cos sin 2tan 1tan 17sin 2cos(2)sin cos tan 113αααααααπαααα+-+---==++．故选：D.6.将数据1,3,5,7,9这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为（）A.15B.310C.25D.12【答案】C 【解析】【分析】计算出所有的随机删去两个数的方法，再求出剩下数据的平均数大于5的删去方法，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【详解】从5个数中随机删去两个数有(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(3,5),(3,7),(3,9),(5,7),(5,9),(7,9)共10种方法，要使剩下数据的平均数大于5，删去的两个数可以是(1,3),(1,5),(1,7),(3,5)共有4种，所以剩下数据的平均数大于5的概率为42105P ==，故选：C7.下列说法正确的是（）A.“a b ≥”是“22am bm ≥”的充要条件B.“,4k x k π=∈Z ”是“tan 1x =”的必要不充分条件C.命题“0001,2x x x ∃∈+≥R ”的否定形式是“1,2x x x∀∈+>R ”D.“1xy=”是“lg lg 0x y +=”的充分不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用不等式的性质判断A 的正误，利用正切函数的性质判断B 的正误，利用命题的否定形式判断C 的正误，利用对数的定义判断D 的正误.【详解】对A ，若22am bm ≥中，0m =时a b <也成立，故A 错；对B ，当34x π=时，tan 1x =-，故tan 1x ≠，若tan 1x =，则(41)4k x π+=，故B 对；对C ，存在量词命题的否定是1,2x x x∀∈+<R ，故C 错；对D ，若1,,xy x y =均为负数，则lg ,lg x y 无意义，故D 错.8.已知双曲线221mx y +=的一条渐近线的斜率为2，则m =（）A .－4B.4C.14-D.14【答案】A 【解析】【分析】利用双曲线的方程求解渐近线，求出m 的值.【详解】根据221mx y +=,得到2211x y m-=-,则焦点在y轴，故渐近线为y =，2=，故4m =-.故选：A9.下列函数中，既是偶函数，又在(),0∞-上是增函数的是（）A.()22x x f x -=- B.()23f x x =- C.()2ln =-f x xD.()cos3=f x x x【答案】C 【解析】【分析】利用奇偶性的定义判断函数奇偶性，判断AD 错误，结合常见基本初等函数的单调性判断B 错误，C 正确即可.【详解】选项A 中，()22xxf x -=-，定义域R ，()()()2222xx x x f x f x ---=-=--=-，则()f x 是奇函数，不符合题意；选项D 中，()cos3=f x x x ，定义域R ，()()()cos 3cos3f x x x x x f x -=--=-=-，则()f x 是奇函数，不符合题意；选项B 中，()23f x x =-，定义域R ，()()()2233f x x x f x -=--=-=，则()f x 是偶函数，但二次函数()23f x x =-在(),0∞-上是减函数，在()0,∞+上是增函数，故不符合题意；选项C 中，()2ln =-f x x ，定义域为(),0∞-()0,+∞ ，()()2ln 2ln f x x x f x -=--=-=，则()f x 是偶函数.当()0,x ∈+∞时，()2ln f x x =-是减函数，所以由偶函数图象关于y 轴对称可知，()f x 在(),0∞-上是增函数，故符合题意.故选：C.【点睛】方法点睛：定义法判断函数()f x 奇偶性的方法：（1）确定定义域关于原点对称；（2）计算()f x -；（3）判断()f x -与()f x 的关系，若()()f x f x -=，则()f x 是偶函数；若()()f x f x -=-，则()f x 是奇函数；若两者均不成立，则()f x 是非奇非偶函数.10.“欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数4sin()y x ωϕ=+π0,||2ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象上，且图象过点π,224⎛⎫ ⎪⎝⎭，相邻最大值与最小值之间的水平距离为π2，则使得函数单调递增的区间的是（）A.ππ,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B.π5π,824⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.5π3π,248⎡⎤⎢⎣⎦ D.5π3π,84⎡⎤⎢⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】根据已知得出函数的周期，求出ω，根据点的坐标，结合ϕ的取值范围，求出ϕ的值.然后得出函数的单调区间，即可得出答案.【详解】由已知可得，π22T =，所以πT =，2π2Tω==，()4sin 2y x ϕ=+.又图象过点π,224⎛⎫⎪⎝⎭，所以有π4sin 212ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以，π1sin 122ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为π2ϕ<，所以5ππ7π121212ϕ-<+<，所以ππ126ϕ+=，所以π12ϕ=，π4sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由πππ2π22π,2122k x k k -+≤+≤+∈Z 可得，7π5πππ,2424k x k k -+≤≤+∈Z ，所以，函数的单调递增区间为7π5ππ,π,2424k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .当1k =-时，单调递增区间为31π19π,2424⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；当0k =时，单调递增区间为7π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当1k =时，单调递增区间为17π29π,2424⎡⎤⎢⎣⎦；对于A 项，19ππ7π24324-<-<-，故A 项错误；对于B 项，因为7ππ5π24824-<<，故B 项正确；对于C 项，因为5π3π17π24824<<，故C 项错误；对于D 项，因为5π5π17π24824<<，故D 项错误.故选：B.11.如图，已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于A ，B 两点，线段AB的中点为M ，其垂直平分线交x 轴于点C ，MN y ⊥轴于点N .若四边形OCMN 的面积等于8，则E 的方程为（）A.22y x =B.24y x =C.23y =D.28y x=【答案】B 【解析】【分析】根据1AB k =求出M 的坐标，然后得MC 的方程，令0y =，得C 的坐标，利用直角梯形的面积求出p ，可得抛物线方程.【详解】易知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 的方程为2p y x =-，四边形OCMN 为直角梯形，且//FC NM .设()11,A x y ，()22,B x y ，00(,)M x y ，则1212221212122122AB y y y y pk y y x x y y p p--====-+-，所以122y y p +=，所以0y p =，00322p p x y =+=，∴3,2p M p ⎛⎫⎪⎝⎭.所以MC 直线方程为32p y p x ⎛⎫-=--⎪⎝⎭，∴令0y =，∴52p x =，∴5,02p C ⎛⎫⎪⎝⎭.所以四边形OCMN 的面积为1538222p p p ⎛⎫⨯+⨯= ⎪⎝⎭，∴2p =.故抛物线E 的方程为24y x =.故选：B.12.已知函数2e ()2x k f x x kx x =+-，若1x =是()f x 在区间(0,)+∞上的唯一的极值点，则实数k 的取值范围是（）A.2e ,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.3e ,9⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C.2e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D.3e ,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】求出函数导数221()(e )x x f x kx x-'=+⨯，由题可知需使得()2e x h x kx =+在(0,)+∞上没有变号零点，因此分离参数2e x k x -=，令2e ()(0)x g x x x =>，利用导数求得其最小值，则可得2e 4k -≤，即可求得答案.【详解】由题意得2222e e e 1()()(1)(e )x x x x x xf x kx k k x kx x x x--'=+-=+-=+⨯，由题意可得1x =是函数()f x '在区间(0,)+∞上唯一变号的零点，令()2e xh x kx =+，则需满足()h x 在(0,)+∞上没有变号零点；令()2e 0xh x kx =+=，得2e x k x -=，令2e ()(0)x g x x x =>，则3(2)()e xx g x x'-=，当2x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当02x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，故当2x =时()g x 取得最小值2e(2)4g =，其大致图象如图：要使()h x 没有变号零点，则需2e 4k -≤，即2e4k ≥-，即实数k 的取值范围是2e ,)4[-+∞.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查的时根据函数在区间(0,)+∞上有唯一的极值点，求参数的范围，那么要满足这一点，解答的关键在于求出导数221()(e )xx f x kx x-'=+⨯后，需使得()2e x h x kx =+在(0,)+∞上没有变号零点，由此转化为函数的最值问题解决.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知(13)n x +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________.【答案】4【解析】【分析】利用通项公式即可得出．【详解】解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：T r +1rn =ð（3x ）r ＝3r rn ðx r ．∵含有x 2的系数是54，∴r ＝2．∴223n =ð54，可得2n =ð6，∴()12n n -=6，n ∈N *．解得n ＝4．故答案为4．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.函数2log (1),0()4,0xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则2(3)(log 3)f f -+=__________.【答案】11【解析】【分析】根据分段函数解析式，结合对数运算，求得所求表达式的值.【详解】依题意2(3)(log 3)f f -+=()2222log 32log 3log 32222log 134log 22222311++=+=+=+=.故答案为：11【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查对数运算，属于基础题.15.已知ABC 中，=3AB ，=2AC ，60A ∠=︒，则ABC 的外接圆面积为___________.【答案】7π3【解析】【分析】利用余弦定理求解边长BC ，再利用正弦定理求解外接圆半径，即可得外接圆面积.【详解】解：根据题意，由余弦定理可得2222cos 7BC AB AC AB AC A BC =+-⨯⨯=⇒=，该ABC 的外接圆的半径为r ，则由正弦定理得：2221217π2πsin 333BCr r S r A===⇒=⇒==.故答案为：7π3.16.已知正三棱锥的各顶点都在表面积为64π球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为______.【答案】163##153【解析】【分析】根据球的性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式、球的表面积公式进行求解即可.【详解】因为2464V R ππ==球，所以正三棱锥外接球半径4R =，如图所示，设外接球圆心为O ，过PO 向底面作垂线垂足为D ，(04)OD a a =≤<，要使正三棱锥体积最大，则底面ABC 与P 在圆心的异侧，因为-P ABC 是正三棱锥，所以D 是ABC 的中心，所以4,OP OA AD ====，又因为23ADB π∠=，所以AB BC AC ===⨯，()2133sin 16234ABC S AB AC a π=⨯⨯⨯=-△，所以()()232116(4)41664344P ABC ABC V S PD a a a a a -=⨯⨯=⨯-⨯+=--++△，令32()41664,(04)f a a a a a =--++≤<，2()3816(34)(4)0f a a a a a =--+=--+='解得4a =-或43，当40,3a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()0f a '>；当4,43a ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭，()0f a '<，所以()f a 在40,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭递增，在4,43⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，故当43a =时，正三棱锥的体积P ABC V -最大，此时正三棱锥的高为416433a OP +=+=，故正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为163.故答案为：163三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足38a =，572S a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()112nn n n b a +=-+，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．【答案】（1）31n a n =-（2）1344n n ++-【解析】【分析】（1）由等差数列前n 项和以及通项公式结合已知联立方程组，求出基本量1,a d 即可.（2）由分组求和法以及等比数列公式法即可求解.【小问1详解】设{}n a 公差为d ，依题意得()11154526228a d a d a d ⨯⎧+=+⎪⎨⎪+=⎩,解得123a d =⎧⎨=⎩,所以()()1123131n a a n d n n =+-=+-=-，()*Nn ∈．【小问2详解】因为()112n n n n b a +=-+，()*N n ∈，所以()()()()232122143221222n n n n T a a a a a a +-=-+-+⋯+-+++⋯+()22221212332434412n n n n n n ++-=⨯+=+⨯-=+--．18.佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：年度2018201920202021年度序号x1234不戴头盔人数y 125010501000900（1）请利用所给数据求不戴头盔人数y 与年度序号x 之间的回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，并估算该路口2022年不戴头盔的人数；（2）交警统计2018~2021年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？不戴头盔戴头盔伤亡73不伤亡1327参考公式：()()()1122211ˆˆˆ,n n i i i i i i n n i i i i x y nxyx x y y b ay bx xnx xx ====---===---∑∑∑∑()2P K k ≥0.100.050.0250.0100.005k2.7063.841 5.024 6.6357.879()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++【答案】（1）ˆ1101325yx =-+，775（2）能有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关，理由见解析.【解析】【分析】（1）先求出x 与y ，代入公式后求出ˆb ，ˆa ，得到回归直线方程；（2）代入公式求出2 4.6875K =，与3.841比较，显然有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关.【小问1详解】1234542x +++==，12501050100090010504y +++==，1222151250210030003600410502ˆ11051491642n i i i n i i x y nxy b xnx ==-+++-⨯⨯===-⎛⎫-+++-⨯ ⎪⎝⎭∑∑，5ˆˆ105011013252a y bx =-=+⨯=，回归直线方程为ˆ1101325yx =-+5x =时，ˆ5501325775=-+=y【小问2详解】2250(727313)10402030 4.6875 3.841K ⨯⨯-⨯=>⨯⨯=⨯，故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关，19.如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为4的正三角形，侧棱1AA =1A 在平面ABC 上的射影为BC 边的中点O.（1）求证：平面1AOA ⊥平面11BCC B ；（2）求二面角11C A B O --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）13.【解析】【分析】（1）先证明出BC ⊥面1AOA ，利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）以O 为原点，1,,OA OB OA 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.【小问1详解】因为ABC 是边长为4的正三角形，BC 边的中点O ，所以BC OA ⊥.因为顶点1A 在平面ABC 上的射影为O ，所以1OA ⊥平面ABC ,1OA BC ⊥.因为1OA Ì面1AOA ，OA ⊂面1AOA ，1OA OA O = ,所以BC ⊥面1AOA .所以BC ⊂面11BCC B ，所以平面1AOA ⊥平面11BCC B .【小问2详解】以O 为原点，1,,OA OB OA 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系.因为ABC 是边长为4的正三角形，O 为BC 边的中点，所以3sin 6042OA AB =︒=⨯=.在直角三角形1OAA中，16OA ==.所以()0,0,0O ，()A ，()0,2,0B ，()0,2,0C-，()10,0,6A .所以()AB =- ,()2,0AC =-- .在三棱柱111ABC A B C -中，由11AB A B =，()10,0,6A 可求得：()12,6B -.同理求得：()12,6C --.所以()11A B =- ，()10,2,6CA = ,()10,0,6OA = .设(),,m x y z = 为平面11OA B 的一个法向量，n 为平面11CA B 的一个法向量.因为11100A B m OA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2000060y z ⎧-++=⎪⎨++=⎪⎩，不妨设1x =，则()m = .同理可求：33n ⎛=- ⎝⎭ .设θ为二面角11C A B O --的平面角，由图可知：θ为锐角，所以,239cos cos ,13m n m n m n θ===⨯ .即二面角11C A B O --.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点2A ⎛ ⎪⎝⎭，点()1,0F 为椭圆C 的右焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0F 作两条斜率都存在且不为0的互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与椭圆相交1A 、1B ，直线2l 与椭圆相交2A 、2B 两点，求四边形1212A A B B 的面积S 的最小值.【答案】（1）2212x y +=（2）169【解析】【分析】（1）根据已知条件列式求出,a b 可得椭圆C 的方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求出11||A B 和22||A B ，求出S 后，根据基本不等式求出最值可得解.【小问1详解】由题意可得2222212141a b c a b c ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为2212x y +=.【小问2详解】设直线1l 的方程为()10x ty t =+≠，联立22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222210t y ty ++-=，22244(2)8(1)0t t t ∆=++=+>,设()111,A x y ，()122,B x y ，则12222t y y t +=-+，12212y y t =-+，所以11A B =====)2212tt+=+，同理可得)2222221111212t tA Btt⎫⎛⎫-+⎪⎪⎪+⎝⎭⎝⎭==+⎛⎫-+⎪⎝⎭，则()()()()22221122222224141116||||292212212t tS A B A Bt t t t++=⋅=≥=++⎛⎫+++⎪⎝⎭，当且仅当22212t t+=+，即1t=±时取等号.所以四边形1212A AB B的面积S的最小值为169.21.已知函数()lnf x x x=，()()21f xg x xx x=-+．（1）求函数()g x的单调区间；（2）若方程()f x m=的根为1x、2x，且21x x>，求证：211ex x m->+．【答案】（1）单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()g x的解析，从而求出导函数，即可得到函数的单调区间；（2）求导分析()f x的单调性，()1lnf x x'=+，推出()f x x<-，设直线y x=-与y m=的交点的横坐标为3x，则13x x m<=-，证明当1,1ex⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1(1)e1f x x<--，即可得证．【小问1详解】解：因为()lnf x x x=，()()21f xg x xx x=-+，所以()l1n2xg x xx=-+定义域为()0,∞+，()()222221212110xx xg x xx x x---+-'=--==≤，所以()g x在()0,∞+上单调递减，即()g x的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；【小问2详解】证明：()ln f x x x =，()1ln f x x '=+，当10e x <<时()0f x '<，当1ex >时()0f x ¢>所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，则()min 11e e f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭，当01x <<时，()ln 0f x x x =<，所以12101x x e <<<<，且10em -<<，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，ln 1x <-，所以ln x x x <-，即()f x x <-，设直线y x =-与y m =的交点的横坐标为3x ，则1311ln x x m x x <=-=-，下面证明当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1(1)e 1f x x <--，设l e 111()ln (1)(n )11e ()e 1h x x x x x x x =--=-+---，11()ln 1e (1e )m x x x=-+--，则22e 11(1)1(e )(1))e (1x m x x x x --'=-=--，当11e e 1x <<-时，()0m x '<，当11e 1x <<-时，()0m x '>，所以()m x 在11,e e 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上是减函数，在1,1e 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上增函数，又因为10e m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10m =，所以当11ex <<时，()0m x <，()0h x <，故当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1(1)e 1f x x <--，设直线1(1)1y x e =--与y m =的交点的横坐标为4x ，则241(e 1)x x m >=+-，所以21431e x x x x m ->-=+，得证．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系：xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是1C 上的动点，P 点满足3OP OM = ，P 点的轨迹为曲线2C ．（Ⅰ）求2C 的参数方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线3y x =与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，将曲线1C 、2C 的方程转化为极坐标方程后，求AB ．【答案】（Ⅰ）3cos 33sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．（Ⅱ）2【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程和直角坐标方程进行转换．（Ⅱ）利用极径的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．【详解】解：（Ⅰ）设(),P x y 由于P 点满足3OP OM = ，所以,33x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于点M 在1C 上，所以cos 31sin 3x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得2C 的参数方程3cos 33sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．（Ⅱ）曲线1C 的参数方程转换为极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的参数方程转换为极坐标方程为6sin ρθ=，直线3y x =转换为极坐标方程为π6θ=．所以2sin π6ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1A ρ=，同理6sin π6ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得3B ρ=，故312A B AB ρρ=-=-=．【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用，其中涉及到轨迹方程的求解、极坐标中两点间的距离求解，难度一般.极坐标系中，极角相同的两点间的距离等于极径差的绝对值.[选修4－5：不等式选讲]23.设函数()|21|||,f x x x a a R=-++∈（1）当1a =时，解不等式()3f x ≥；（2）若存在x R ∈，使得()1f x a ≤-成立，求a 的取值范围.【答案】（1）1x ≥或1x ≤-；（2）14a .【解析】【分析】（1）当1a =时，利用零点法进行分类，求出不等式()3f x ≥的解集；（2）若存在x R ∈，使得()1f x a ≤-成立，即min |1|()a f x - ，根据1,2a -之间的大小关系，进行分类，最后求出a 的取值范围.【详解】解：（1）当1a =时，1()211322113x f x x x x x ⎧⎪=-++⇔⎨⎪-++⎩ ，或1121123x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-⎩ 或11213x x x -⎧⎨---⎩ ，即121x x ⎧⎪⎨⎪⎩ ，或1121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-⎩ ，或11x x -⎧⎨-⎩ ，即1x ≥或1x ≤-.（2）即min |1|()a f x - ，当12a =-时，min 1(),()|1|2f x f f x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 恒成立；当12a >-时，31,1()1,2131,2x a x a f x x a a x x a x ⎧⎪-+--⎪⎪=-++-<<⎨⎪⎪+-⎪⎩，可知min 11()22f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，得1142a >- ；当12a <-时，131,21()1,231,x a x f x x a x a x a x a ⎧-+-⎪⎪⎪=--<<-⎨⎪+--⎪⎪⎩，同理min 11()22f x f a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，得12a <-.综上，a 的取值范围为14a .【点睛】本题考查了解绝对值不等式，考查了不等式存在性问题，正确的分类是解题的关键.21。
惠州市高三一模考试数学(理科)试题答案
惠州市2012届高三模拟考试数学（理科）参考答案与评分标准一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分1．【解析】由M N ≠∅I 可知39m -=-或33m -=,故选A ． 2．【解析】1231122i a bi i i ++==++，因此31,22a b ==.故选D ． 3．【解析】因为200a a a +≥⇔≥或1a ≤-，所以“0a >”能推出“20a a +≥”， 但“20a a +≥”不能推出“0a >”，故选A ．4．【解析】由2437a a a =得2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++得1230a d +=,再由81568322S a d =+=得1278a d +=则12,3d a ==-, 所以1019010602S a d =+=．故选C5．【解析】安排方法可分为3+2及2+3两类，则共有225220C A ⨯=种分法，故选B ．6．【解析】由图像知A=1,311341264T πππ=-=,T π=⇒2ω=,由sin(2)16πφ⨯+=,||2πφ<得32ππφ+=⇒6πφ=⇒()sin(2)6f x x π=+，则图像向右平移6π个单位后得到的图像解析式为sin[2()]sin(2)666y x x πππ=-+=-，故选D ．7．【解析】设12,MF m MF n ==u uu u r u u u u r ，由2221212||2m n F F m n ⎧+==⎪⎨⎪-=⎩u u u u r ，得4m n ⋅=，由121211||22F MF S m n F F d ∆=⋅=⋅解得3d =.故选B ．8．【解析从而对任意的]100,10[1∈x ，存在唯一的]100,10[2∈x ，使得21,x x 为常数。
充分利用题中给出的常数10，100．令10001001021=⨯=x x ,当]100,10[1∈x 时，由此得.232)lg(21==x x C 故选C ． 二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只选做一题． 9．760 10．27 11．2 12．112. 13．10,4⎛⎤⎥⎝⎦. 14．8 15．1259．【解析】1600,,1600,10,760200x y x y x y y +=-=⨯=男生女生则 ． 10．【解析】答案：27.由框图的顺序，s =0，n =1，s =(s +n )n =(0+1)*1=1，n =n +1=2，依次循环s=(1+2)*2=6，n =3，注意此刻3>3仍然是否，所以还要循环一次s =(6+3)*3=27，n =4， 此刻输出s =27.11．【解析】11((2))(1)22f f f e-==⨯=．12．【解析】结合图形可知所求封闭图形的面积为11233400111()()3412x x dx x x -=-=⎰．13．【解析】按二项式公式展开得2T =，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，等价于函数1()y f x =与2(1)y k x =+，再利用数形结合可得10,4k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．14．【解析】曲线4cos 23x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩表示的椭圆标准方程为2211612x y +=，可知点()2,0A -、()2,0B 为椭圆的焦点，故28PA PB a +==．15．【解析】ADC ∠为直径AC 所对的圆周角，则90ADC ∠=o ，在Rt ACB ∆中，CD AB ⊥，由等面积法有AB CD CA CB ⋅=⋅，故得125CD =． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）解：（1）(cos 1,sin 3),m n x x -=-u r r Q由||5m n -=r r22cos 2cos 1sin 2335x x x x -++-+= …………3分整理得cos 3x x = 显然cos 0x ≠ ∴3tan 3x =-…………4分∵(0,)x π∈，∴56x π=…………5分（2）(cos 1,sin m n x x +=+u r rQ∴()()f x m n n =+⋅u r r r＝(cos 1,sin x x +cos 13x x =++＝1cos )42x x ++＝2sin()46x π++…………8分 ∵0x π<< ∴7666x πππ<+<…………9分∴1sin()126x π-<+≤12sin()26x π⇒-<+≤…………10分∴32sin()466x π<++≤，即函数()f x 的值域为(3,6].…………12分17．（本小题满分12分）解：（1）六个函数中是奇函数的有1()f x x =，33()f x x =，4()sin f x x =，由这3个奇函数中的任意两个函数相加均可得一个新的奇函数．……………2分 记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知23261()5C P A C == …………………4分（2）ξ可取1,2,3,4 …………………………………………… 5分13161(1)2C P C ξ===, 113311653(2)10C C P C C ξ==⋅=1113321116543(3)20C C C P C C C ξ==⋅⋅=, 11113321111165431(4)20C C C C P C C C C ξ==⋅⋅⋅=………9分 故ξ的分布列为……………10分13317123421020204E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=答：ξ的数学期望为74……………………………12分18．（本小题满分14分）解：(1)由三视图可知，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2. ………………………………………………1分∴11212333P ABCD ABCD V S PC -==⨯⨯=g ，即四棱锥P －ABCD 的体积为23.………3分(2)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE. ………………………………………………4分 证明如下：连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC. ………………………5分 ∵PC ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PC. ………………………6分 又∵AC∩PC ＝C ，∴BD ⊥平面PAC. ………………………7分 ∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC.∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE. ………………………8分 (3)解法1：在平面DAE 内过点D 作DF ⊥AE 于F ，连结BF. ∵AD ＝AB ＝1，DE ＝BE ＝12＋12＝2，AE ＝AE ＝3， ∴Rt △ADE ≌Rt △ABE ， 从而△ADF ≌△ABF ，∴BF ⊥AE.∴∠DFB 为二面角D －AE －B 的平面角．……………………………………………10分 在Rt △ADE 中，DF ＝AD·DE AE ＝1×23＝63， ∴BF ＝63.…………………………11分 又BD ＝2，在△DFB 中，由余弦定理得cos ∠DFB ＝222122DF BF BD DF BF +-=-⋅，…………………………………………12分 ∴∠DFB ＝2π3， ………………………………………………………13分即二面角D －AE －B 的大小为2π3.………………………………………………………14分解法2：如图，以点C 为原点，CD ，CB ，CP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则D(1,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(0,0,1)，………………………………………9分 从而DA →＝(0,1,0)，DE →＝(－1,0,1)，BA →＝(1,0,0)，BE →＝(0，－1,1)． 设平面ADE 和平面ABE 的法向量分别为()1111,,n x y z =u r ，()2222,,n x y z =u u r由1100n DA n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r11100y x z =⎧⇒⎨-+=⎩，取()11,0,1n =u r 由2200n BA n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u ru u r u u u r 22200x y z =⎧⇒⎨-+=⎩，取()20,1,1n =--u u r …………11分 设二面角D －AE －B 的平面角为θ，则12121cos 2n n n n θ⋅===-⋅u r u u r u r u u r ，…………13分 ∴θ＝2π3，即二面角D －AE －B 的大小为2π3 .…………14分 注：若取()20,1,1n =u u r 算出3πθ=可酌情给分。
贵州省黔东南州高三第一次模拟考试 理科数学试题（黔东南一模）
绝密★使用完毕前 2012年月日15∶00—17∶002012年黔东南州普通高等学校招生第一次适应性考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ3至4页。
第Ⅰ卷（本卷共12小题，每小题5分，共60分）注意事项1．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮檫檫干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。
2．答题前认真阅读答题卡上的“注意事项”。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=+如果事件A 、B 相互独立，那么 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率为0()1()(=-=-k p p C k P k n kk n n ，1，2，… ，)n 球的表面积公式：24R S π=（R 为球的半径） 球的体积公式：334RV π=（R 为球的半径）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在集合}4,1,1|),{(≤+≥≥=y x y x y x A 中，y x 2+的最大值是A ．5B ．6C ．7D ．8．2．i 是虚数单位，复数),(12R b a bi a i ∈+=-，则=+b aA ．0B ．2C ．1D ．2-．3．函数)0(log 1)(2>+=x x x f 的反函数是A ．)(21R x y x ∈=-B ．)1(21>=-x y xC ．)(21R x y x ∈=+D ．)1(21>=+x y x ．4．正方体1111D C B A ABCD -中，二面角D AC D --1的正切值为A ．1B ．2C ．22D ．2． 5．已知)32sin()(π-=x x f ，则=+)32()3(//ππf fA ．21-B ．1-C ．21D ．1．6．已知向量a =)2,3(-，b =)2,1(2x x -+，则条件“2=x ”是条件“a //b ”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件．7．函数)0)(sin(2)(>+=ωϕωx x f 的图象经过)2,12(--πA 、)2,4(πB 两点，则ω的A ．最大值为3B ．最小值为3C ．最大值为6D ．最小值为6．8．圆C ：822=+y x 上有两个相异的点到直线5-=x y 的距离为都为d ，则d 的取值范围是A ．)29,21(B ．]29,21[ C ．)229,22( D ．]229,22[． 9．春节期间，某单位要安排3位行政领导从初一至初六值班，每天安排1人，每人值班两天，则共有多少种安排方案？A ．90B ．120C ．150D ．15．10．正三棱锥ABC P -中，3=PA ,2=AB ，则PA 与平面PBC 所成角的余弦值为A ．932 B ．126 C ．1227 D ．42．11．函数mx x x f -+-=1|2|)(的图象总在x 轴的上方，则实数m 的取值范围是A ．)21,1[-B ．)21,1(-C ．]21,1(-D ．]21,1[-．12．过椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点2F 引直线l ，与C 的右准线交于A 点，与C交于B 、C 两点，与y 轴交于D 点，若CD BC AB ==，则C 的离心率为A ．21B ．35C ．33D ．22．DCBAP2012年黔东南州普通高等学校招生第一次适应性考试理科数学第Ⅱ卷（本卷共10小题，共90分）注意事项1．考生不能将答案直接答在试卷上，必须答在答题卡上。
_2023年广西南宁三中高考数学一模试卷(理科)
邕衡金卷·南宁三中2023届高三校一模理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2100M x Z x x =∈−<，{}2100x N x Z =∈>，则M N =A ．{}5,6,7B ．{}6,7,8C ．{}7,8,9D ．{}8,9,102．已知函数()1,02,0x x x f x x −+<⎧=⎨≥⎩，那么()()1f f −=A ．7B ．6C ．5D ．4 3．已知直线y x =是曲线()ln f x a x =+的切线，则a =A ．1−B ．2−C ．1D ．24．在平面直角坐标系中，角α与β的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，它们的终边关于原点对称，且sin α=，则cos()αβ+= A ．89B ．89−C ．59−D ．595．已知,,,,a b c d e 成等比数列，１和４是其中的两项，则e 的最小值为A ．64−B ．8−C ．164D ．186．有下列四个命题，其中是假命题的是A ．已知()()1i 12i z =+−，其在复平面上对应的点落在第四象限B ．“全等三角形的面积相等”的否命题C ．在ABC Δ中，“6A π>”是“1sin 2A >”的必要不充分条件 D ．命题“321,x x x ∀>>”的否定是“321,x x x ∃>≤”7．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现．设圆柱的体积与球的体积之比为m ，圆柱的表面积与球的表面积之比为n ，则621n x mx ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是 A ．15− B ．20−C ．15D ．208．如图，网格纸上用粗实线绘制了一个几何体的三视图，每一个小正方形的边长为1，则该几何体的体积为 A ．484π− B ．48π8− C ．648π−D ．644π−9．某人决定就近打车前往目的地，前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”．有以下两种方案：方案一：决定不乘第一辆车，若第二辆车的车况好于第一辆车，就乘坐此车；否则直接乘坐第三辆车．方案二：直接乘坐第一辆车．若三辆车开过来的先后次序等可能，记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为12,p p ，则 A ．112p =B ．216p =C ．1213p p ==D ．1214p p ==10．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，且直线1l ，2l 分别与抛物线C 交于A ，B 和D ，E ，则四边形ADBE 面积的最小值是A ．32B ．64C ．128D ．25611．若3273log 273log a b a b +=+，则A ．3a b <B ．3a b >C ．2a b >D ．2a b <12．已知()(),f x g x ′′分别为定义在R 上的()f x ,()g x 的导函数，且()()2f x g x −′=，()()22f x g x +′−=，若()g x 是偶函数，则下列结论一定正确的是A ．函数()f x 的图象关于点()1,1对称B ．函数()f x ′的图象关于直线2x =对称C ．3是()g x ′的一个周期D ．()20241f =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(完整版)高三理科数学模拟试题
、选择题1.集合MA.(1,2) 2.A.3.高三理科数学模拟试题（一）（每小题5分共60分）2{x|lg x 0} , N {x|x 4},则M IB.[1,2)C.(1,2]卜列函数中，既是奇函数又是增函数的为（2B. y x C . yD.9.设a,b R , i是虚数单位，则“ ab 0”是“复数D.A.[1,2] C.D. y x|x|b—为纯虚数”的（ix甲x乙，m甲mz设函数f（x） xex,则（x 1为f （x）的极大值点x 1为f （x）的极大值点10.B. X 1为f （x）的极小值点D. x 1为f （x）的极小值点两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（A. 10种B.15种)C. 20种D. 30种A.充分不必要条件C.充分必要条件4.下列命题中，真命题是（B.D.)必要不充分条件既不充分也不必要条件11.已知实数x, y满足y > 1,y< 2x 1,如果目标函数x y & m・y的最小值为1,则实数m等于（）x0 R,e x0 0 x 2B. x R,2 x A. 7 B. 5C. 4D. 3开始输入N,a1,a2, , %C. a b 0的充要条件是D. a 1,b 1 是ab 1的充分条件5.已知｛a n｝是等差数列, a1a2 a7 a8 28,则该数列前10项和§0等于（）64 B. 100 C.110 D. 1206.(4x x、62 ) ( x R)展开式中的常数项是(A)20 (B) 15 (C) 15(D) 207.如图，在空间直角坐标系中有直二棱柱ABC ABC, CA CC1 2CB ,则直线BC I与直线AB I夹角的余弦值为（12.如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N实数a1,a2,,a N ,输出A、B、C、B为a1，a2,B 为a1,a2,,a N的和,a N 的算术平均数2)和k 1,A a1,B a1 A和B分别是a1, a2, ,a N中最大的数和最小的数是否5 A. ----55B. ---32 5C. ---53D.5D、A和B分别是a1，a2, ,a N中最小的数和最大的数.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）（注意：请同学们将答案填写在答题卷相应的题号后的横线上）13.已知向量a, b夹角为45°,且|a| 1, |2a b| J10 ,8.从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如则|b| 图所示）,设甲乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，中位数分别为m甲，m乙，则（A.B.mz.C.mz.8658S40Q752 8003 102802337J244823814.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P ,则点自阴影部分的概率为15 .已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
页眉内容 1 膀 蝿高三数学一模模拟测试题（理科） 芆一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
膂1.已知集合，，则 芀A. B. C. D. 羆【答案】A 蚄【解析】 羁依题意，，则，故选A． 莀2.若复数对应复平面内的点，且，则复数的虚部为 莇A. B. C. D. 莆【答案】B 羄【解析】 页眉内容 2 葿依题意，，故，故复数的虚部为，故选B．
螈3.为了检验设备与设备的生产效率，研究人员作出统计，得到如下表所示的结果，则（ ）
袄 螃设备 蕿设备 腿生产出的合格产品 薆48 薂43 虿生产出的不合格产品 薀2 肄7 薅 蝿附：
蚇 螅 莄 蝿 肈 蒇 肂 衿
蒈 袅 袁 罿 衿 蚇 袄 聿
羆 页眉内容
3 肅参考公式：，其中. 蚃A. 有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性 膈B. 没有的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性 莇C. 可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性
螇D. 不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性
蒂【答案】A 蒂【解析】 螈将表中的数据代入公式，计算得，∵，∴有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性，故选A．
芅4.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则
蒅A. B. C. D. 页眉内容 4 薂【答案】C 腿【解析】 羇角的终边在直线，即上，则, ，故，故选C．
芄5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为
蚂 薀A. B. 蒄C. D. 肃【答案】B 页眉内容
5 螂【解析】
螇由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组合而成的，故所求表面积为，故选B．
膆6.为了计算满足的最大正整数，设置了如下图所示的程序框图，若判断框中填写的是“”，则输出框中应填（ ）
螁 袂A. 输出 B. 输出 C. 输出 D. 输出 膇【答案】D 薄【解析】 页眉内容
6 袄由程序框图可知，当首次满足时，已经多执行一次“”，之后又执行一次“”，故输出框中应填写“输出”，故选D．
羂7.已知实数满足约束条件，则的取值范围为 薈A. B. C. D. 芆【答案】B 薃【解析】 羂作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示（含边界）. 的几何意义为平面区域内的点与点连线的斜率.观察可知，，因为，所以，则，故选B．
罿 螄8.函数的大致图象为 页眉内容
7 莂A. B.
肁C. D. 肆【答案】C 蒆【解析】 膁由，得，解得，.故函数的图象与轴的两个交点坐标为，，排除B、D．又，排除A，故选C．
膁9.如图，已知直四棱柱中，，，且，则直线与直线所成角的余弦值为 页眉内容
8 蒇 羄A. B. C. D. 膄【答案】B 薅【解析】 膂不妨设，如图，延长至点，使得，连接，易证直线与直线所成的角等于或其补角.
羀易知，，，所以，则直线与直线所成角的余弦值为，故选B． 页眉内容
9 膇 蚅10.已知中，内角所对的边分别是，若，且，则当取到最小值时，（ ）
薃A. B. C. D. 莈【答案】A 羆【解析】 蚅，即，由正弦定理得，即，由正弦定理和余弦定理得，则， 从而，故，由得，故，则，所以，故，当且仅当时等号成立.故选A.
羄11.定义在上的偶函数满足：当时，，页眉内容 10 .若函数有6个零点，则实数的取值范围是（ ）
聿A. B. C. D.
罿【答案】A 螅【解析】 肀依题意，当时，，则，即，故（为常数），因为，所以，故.此时，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，
螁∴.在同一直角坐标系中作出的大致图象如下图所示，观察可知，当时，它们有6个交点，即函数有6个零点，故选A．
螇 袅12.已知抛物线的焦点为，且到准线的距离为2，直线页眉内容
11 与抛物线交于两点（点在轴上方），与准线交于点，若，则
蒁A. B. C. D. 艿【答案】C 薆【解析】 羅设，易知.由题意知，则抛物线.因为，所以，又，得 （负值舍去），，联立，得，故，所以，故，过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，易知，
故，故选C．
袂二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 羁13.已知向量，，若向量与共线，则实数_________. 芅【答案】 肄【解析】 芃【分析】 页眉内容 12 葿可求出，根据向量23与共线即可得出2m+2（6+3m）＝0，解出m即可．
莈【详解】解：； 膄∵与共线； 蒀∴2m+2（6+3m）＝0； 膁解得． 肇故答案为：． 芄【点睛】本题考查向量坐标的减法和数乘运算，以及平行向量的坐标关系． 袁14.的展开式中的系数为_________. 蕿【答案】 袆【解析】 芄的展开式的通项为，令页眉内容 13 ，解得，故的系数为.
节15.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的对称轴方程为_________.
莁【答案】 罿【解析】 莄依题意，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，令，解得，即函数的图象的对称轴方程为.
袇16.我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，且过点．若直线与在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕轴旋转一周所得几何体的体积为_________.
肂 页眉内容
14 羂【答案】 螈【解析】
芈设双曲线的方程为，由题意得，解得，则双曲线的方程为.作直线，交双曲线于点，交渐近线于点，交轴于点.则，∴，∴ .根据祖暅原理，可得该几何体与底面积为、高为6的柱体体积相等，故所求体积为.
螄三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
螀17.已知等差数列满足，，数列满足. 袈（1）求数列、的通项公式； 蒄（2）求数列的前项和. 膂【答案】（1），；（2） 页眉内容
15 葿【解析】
袈（1）依题意，，即，所以，则， 袅故. 羄因为，所以①， 薂当时，②， 羈①②得，即. 芆当时，满足上式. 莂∴数列的通项公式为. 芁（2）由（1）知，，， 肇记数列的前项和为，的前项和为， 蚇则， 肄， 页眉内容 16 肀故数列的前项和为. 膇18.为了了解某市高三学生的身体情况，某健康研究协会对该市高三学生组织了两次体测，其中第一次体测的成绩（满分：100分）的频率分布直方图如下图所示，第二次体测的成绩.
肈 薂（Ⅰ）试通过计算比较两次体测成绩平均分的高低； 肃（Ⅱ）若该市有高三学生20000人，记体测成绩在70分以上的同学的身体素质为优秀，假设这20000人都参与了第二次体测，试估计第二次体测中身体素质为优秀的人数；
芇（Ⅲ）以频率估计概率，若在参与第一次体测的学生中随机抽取4人，记这4人成绩在的人数为，求的分布列及数学期望.
膅附：，， 芄.