[理学]常微分方程教程_丁同仁第二版_习题解答

(３) dy + y 2 sin x = 0 dx 解： 当 y ≠ 0 时
原方程为： dy + sin xdx = 0 y2
两边积分得：1 + (c + cos x) y = 0 ．
又 y=0 也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为
1 + (c + cos x) y = 0 ．
(４) dy = 1 + x + y 2 + xy 2 ； dx 解：原方程即为： dy = (1+ x)dx 1+ y2 两边积分得： arctgy = x + x 2 + c ， 2 即 y = tg(x + x2 + c) ． 2
∂y
∂x
∂y ∂x
２． (x + 2 y)dx + (2x + y)dy = 0
解： P(x, y) = x + 2 y, Q(x, y) = 2x − y,
∂P
则
=
2,
∂Q
=
2,
所以 ∂P = ∂Q ，即
原方程为恰当方程
∂y ∂x
∂y ∂x
则 xdx + (2 ydx + 2xdy) − ydy = 0,
常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案
习题 2-1
判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解：
１． (3x2 −1)dx + (2x + 1)dy = 0
解： P(x, y) = 3x2 −1， Q(x, y) = 2x + 1 ，
则 ∂P = 0 ， ∂Q = 2 ，所以 ∂P ≠ ∂Q 即，原方程不是恰当方程．
=C．
t
10． xf (x 2 + y 2 )dx + yf (x 2 + y 2 )dy = 0, 其中 f (⋅) 是连续的可微函数．
解： P(x, y) = xf (x2 + y 2 ), Q(x, y) = yf (x 2 + y 2 ),
则 ∂P = 2xyf ′, ∂Q = 2xyf ′, 所以 ∂P = ∂Q ， 即原方程为恰当方程,
∂y x ∂x x
∂y ∂x
则 ( y dx + ln xdy) + x2dx − 2 ydy = 0 x
两边积分得： x3 + y ln x − y 2 = C. 3
８． (ax2 + by 2 )dx + cxydy = 0 (a,b和c为常数)
解： P(x, y) = ax2 + by 2 , Q(x, y) = cxy,
则 ∂P = −b, ∂Q = b,
因为
b
≠
0,
∂P
所以
≠
∂Q
，即，原方程不为恰当方程
∂y
∂x
∂y ∂x
-1-
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５． (t 2 + 1) cos udu + 2 t sin udt = 0
解： P(t,u) = (t 2 + 1) cos u, Q(t,u) = 2t sin u
则 ∂P = 2by, ∂Q = cy, 所以 当 ∂P = ∂Q ，即 2b = c 时， 原方程为恰当方程
∂y
∂x
∂y ∂x
-2-
常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案
则 ax2dx + (by 2dx + cxydy) = 0
两边积分得： ax3 + bxy 2 = C. 3
两边积分得： (2 + y)e x + xy 2 = C.
７． ( y + x2 )dx + (ln x − 2 y)dy = 0 x
解： P(x, y) = y + x2 Q(x, y) = ln x − 2 y, x
则 ∂P = 1 , ∂Q = 1 , 所以 ∂P = ∂Q ，即 原方程为恰当方程
则 ∂P = 2t cos u, ∂Q = 2t cos u,
∂P
所以
=
∂Q
，即
原方程为恰当方程
∂t
∂x
∂y ∂x
则 (t 2 cos udu + 2t sin udt) + cos udu = 0,
两边积分得： (t 2 + 1) sin u = C.
６． ( ye x + 2e x + y 2 )dx + (e x + 2xy)dy = 0
∂y
∂x
∂y ∂x
∫ 两边积分得： f (x2 + y2 )dx = C ,
即原方程的解为 F (x 2 + y 2 ) = C (其中 F 为 f 的原积分)．
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习题 2-2 1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：
解： P(x, y = ye x + 2e x + y 2 , Q(x, y) = e x + 2xy ，
则 ∂P = e x + 2 y, ∂Q = e x + 2 y, 所以 ∂P = ∂Q ，即 原方程为恰当方程
∂y
∂x
∂y ∂x
则 2e x dx + [( ye x + y 2 )dx + (e x + 2xy)dy] = 0,
(１) dy = x 2 dx y 解：原方程即为： ydy = x 2dx 两边积分得： 3y 2 − 2x3 = C, y ≠ 0 ．
dy
(２)
dx
=
x2 y(1 + x3 )
解：原方程即为：
ydy
=
x2 1+ x3
dx
两边积分得： 3y 2 − 2 ln1 + x3 = C, y ≠ 0,
x ≠ −1 ．
而当 2b ≠ c 时原方程不是恰当方程．
９．
2s −1 ds t
+
s
− s2 t2
dt
=
0
解： P(t, s) = 2s −1 , Q(t, s) = s − s 2 ,
t
t2
则
∂P ∂t
=
பைடு நூலகம்
1− 2s t2
,
∂Q ∂s
=
1− 2s t2
,
∂P
所以
=
∂Q
，
即原方程为恰当方程,
∂y ∂x
s − s2
两边积分得：
x2
两边积分得：
+ 2xy −
y2
= C.
2
2
3． (ax + by)dx + (bx + cy)dy = 0 (a,b 和 c 为常数)．
解： P(x, y) = ax + by, Q(x, y) = bx + cy,
则 ∂P = b, ∂Q = b, 所以 ∂P = ∂Q ，即 原方程为恰当方程
∂y ∂x
∂y ∂x
则 axdx +（b）ydx + bxdy + cydy = 0,
ax 2
两边积分得：
+ bxy +
cy 2
= C.
2
2
4． (ax − by)dx + (bx − cy)dy = 0 (b ≠ 0)
解： P(x, y) = ax − by, Q(x, y) = bx − cy,