立体几何分析

（三）空间中的向量与几何体
概念
几何表示
表示 坐标表示 空间向量 空间向量的加 减运算 应用：解决立体 几何问题
运算
空间向量的数 乘运算 空间向量的数 量积
在学习必修2“立体几何初步”与必修4“平 面向量”的基础上，把平面向量及其运算推广到 空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关 系的问题，并体会向量方法在研究几何图形中的 作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力。 向量法克服了综合证法中常常需要添置若干 辅助线而显得思路曲折的缺点，减弱了推理论证 的成分，帮助学生跨越了解决立体几何问题中的 障碍，为解决立体几何问题提供了通用的手段。
（二）点、线、面之间的位置关系
平面（公理1，公理2，公理3，公理4）
空间直线、平面的位置关系
直线与直线的位 置关系
直线与平面的位 置关系
平面与平面的位 置关系
直 线 与 直 线 平 行
直 线 与 直 线 垂 直
直 线 与 平 面 平 行
直 线 与 平 面 垂 直
平 面 与 平 面 平 行
平 面 与 平 面 垂 直
空间几何体课标要求： ① 利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认 识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运 用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。 ② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、 棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所 表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型， 会用斜二侧法画出它们的直观图。 ③ 通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出 的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。 ④ 完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图 （在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格 要求）。 ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公 式（不要求记忆公式）。
二、立体几何的教材对比分析
人教A版必修2
第一章 空间几何体 1．1 空间几何体的结构 1．2 空间几何体的三视图 和直观图 1．3 空间几何体的表面积 与体积
人教B版必修2
第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.1 构成空间几何体的基本元 素 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结 构特征 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球 1.1.4 投影与直观图 1.1.5 三视图 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球 的表面积 1.1.7 柱、锥、台和球的体积 1.2点、线、面之间的位置关系 1.2.1 平面的基本性质与推论 1.2.2 空间中的平行关系 1.2.3 空间中的垂直关系
北师大版选修2-1
第二章 空间向量与立体几何 §1 从平面向量到空间向量 §2 空间向量的运算 §3 向量的坐标表示和空间向 量基本定理 3．1 空间向量的标准正交分解 与坐标表示 3．2 空间向量基本定理 3．3 空间向量运算的坐标表示 §4 用向量讨论垂直与平行 §5 夹角的计算 5．1 直线间的夹角 5．2 平面间的夹角 5．3 直线与平面的夹角 §6 距离的计算 课题学习 空间向量在力学中的 应用 本章小结建议
北师大版必修2
第一章 立体几何初步 §1 简单几何体 §2 三视图 §3 直观图 §4 空间图形的基本关系 与公理 §5 平行关系 §6 垂直关系 §7 简单几何体的面积和 体积 §8 面积公式和体积公式 的简单应用
第二章 点、直线、平面 之间的位置关系
2．1 空间点、直线、平面 之间的位置关系 2．2 直线、平面平行的判 定及其性质 2．3 直线、平面垂直的判 定及其性
空间向量与立体几何要求(约12课时) （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。 ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其 意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。 ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的 数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量。 ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关 系。 ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理 （包括三垂线定理）。 ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问 题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
人教A版选修2-1
第三章 空间向量与立 体几何 3.1空间向量及其运 算 3.2立体几何中的向量 方法 同步练习 本章综合
人教B版选修2-1
第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量的线性运算 3.1.2 空间向量的基本定 3.1.3 两个向量的数量积 3.1.4 空间向量的直角坐标运算 3.2 空间向量在立体几何中的应 用 3.2.1 直线的方向向量与直线的 向量方程 3.2.2 平面的法向量与平面的向 量表示 3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量 3.2.5 距离（选学）
一、立体几何的内容分析 二、立体几何的教材对比分析
一、立体几何的内容分析 （一）空间几何体
空间几何体
空间几何体的结 构
空间几何体的三 视图和直观图
空间几何体的表 面积和体积
本章在义务教育的基础上，增加了棱锥、 台体以及柱、锥、台、球的组合体的特征；要 求学生会画它们及组合体的三视图，能用斜二 测画法画出它们的直观图：通过观察平行投影 和中心投影画出的视图与直观图了解空间图形 的不同形式，了解球、棱柱、棱锥、台的表面 积和体积公式。
“点、直线、平面之间的位置关系”知识结构
本章知识重点探讨空间直线与直线、直线与平面、 平面与平面的位置关系。本章紧紧围绕长方体这一模 型，使学生观察、认识、理解、抽象、概括出空间点、 直线、面之间的各种关系，在直观感知、操作确认、 思辨论证、度量计算的基础上理解四条公理，进而归 纳出若干判定定理和性质定理，其中性质定理要求学 生能够证明。这样安排的目的是使学生体会公理化思 想，进一步发展合情推理与演绎推理。“强调本质， 注意适度形式化”是这次高中数学课程改革的基本理 念。
通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理： ◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面 平行。 ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平 行。 ◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面 垂直。 ◆ 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。 通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明： ◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的 交线与该直线平行。 ◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相 互平行。 ◆垂直于同一个平面的两条直线平行。 ◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂 直。 ③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
空间平行关系之间的转化
直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行
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空间垂直关系之间的转化
直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直
点、线、面之间的位置关系课标要求 ① 借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系 的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作 为推理依据的公理和定理： ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此 平面内。 ◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 ◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 一条过该点的公共直线。 ◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。 ◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补 ②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、 操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性 质与判定。