第八章(4) 系统的可控性与可观性

（1）检查系统的可控性与可观性。
（2）求系统的可控与可观的状态变量个数。 （3）求系统的输入-输出转移函数。 解：
1 2 1 A 0 3 0 0 0 2 2 B 1 1
C 1 1 0
（1）根据系统可控性判据，即Mc是否满秩。
2 Mc B AB A B
1 2 1 2 5 1 3 AB 0 3 0 0 0 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 13 0 3 0 1 9 A2 B 0 3 0 0 0 2 0 0 2 1 4
rankM c 1 ，所以系统(a)是不完全可控的。
对(b)系统有：
Mc B 0 1 1 0 0 1 AB 1 2 1 1 1 1
rankM c 2
，所以系统(b)是完全可控的。
1 1 0 x(t ) x(t ) f (t ) 2 1 1
(b)
解：只要观察系统的M矩阵是否满秩 对(a)系统有：
Mc B 1 1 1 1 1 1 AB 0 0 1 0 0 0
二．系统的可控性定义、判别法
可控性：当系统用状态方程描述时，给定系统的任意 初始状态，可以找到容许的输入量（即控制矢量）， 在有限的时间之内把系统的所有状态引向状态空间的 原点（即零状态）。则系统是完全可控制的。如果只 有对部分状态变量可以做到这一点，则系统不完全可 控制。 判别法 1.根据状态方程的参数矩阵判别 设系统的状态方程
rankM 0 2
，因而系统是完全可观的。
例5 给定系统的状态方程和输出方程为：
0 1 1 x(k 1) x(k ) f (k ) 1 0 3
y(k ) 1 0 x(k )
试讨论系统的可观性。
1 0 1 0 解： M C 0 CA 1 0 0 1 0 1 1 0
3.单输入、单输出系统可观性的 A 矩阵约当规范型判据 C 即：若在 A 为约当规范型中，与每个约当块第一行 相应的那些列不含零元素，则系统完全可观。
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例3 给定系统的状态方程和输出方程为：
1 0 0 0 x(t ) 1 f (t ) x(t ) 0 2 0 0 0 3 1
y(t ) 1 1 0 x(t )
试讨论系统的可控性与可观性。 解：
1 0 0 A 0 2 0 0 0 3 0 B 1 1
C 1 1 0
当A为对角阵时，B中的0元素对应不可控因素，而 C中的0元素对应不可观现象。所以 x1 (t )不可 控，可观； x2 (t ) 可控，可观； x3 (t ) 可控，不可观。
3.单输入、单输出系统可控性的 A 矩阵约当规范型判据
B 即：若在 A 为约当规范型中，与每个约当块最后一行 相应的那些行不含零元素，则系统完全可控。
例题1 给定下列两系统，判断这两系统是否可控？
(a)
1 1 1 x(t ) x(t ) f (t ) 0 1 0
dt
y t Cx t Df t
即:当 A 为对角阵形式时,
C 中的0元素对应不可观现象。
2.可观阵满秩判别法
即: 若有
C CA N k 1 CA
,则连续系统完全
可观的充要条件是: N 矩阵满秩。
N 称为系统的可判别矩阵，即可观阵。


上式以连续系统为例说明状态矢量线性变换的特性， 结论同样适用于离散系统。
3．A矩阵的对角化
在线性变换中，使A阵的对角化是很有用的变换。 A矩阵的对角化，说明系统结构变换成并联结构形式。 这种结构形式的每一状态变量之间互不影响，因而可 以独立研究系统参数对状态变量的影响。 在线性代数中已经分析了A矩阵的对角化。实际上 就是以A矩阵的特征矢量作为基底的变换。因而把A矩 阵对角化所需要的线性变换就是寻求A矩阵的特征矢量， 以次构作变换阵P，即可把状态变量相互之间分离开。
1．在线性变换下状态方程的特性
按线性空间不同基底的变换关系，设一组状态变量x 与另一组状态变量γ之间有
1 p11 x1 p12 x2 p1k xk 2 p21 x1 p22 x2 p2 k xk k pk1 x1 pk 2 x2 pkk xk
rankM 0 2
，因而系统是完全可观的。
例6 给定系统的状态方程和输出方程为：
1 2 1 2 x(t ) 1 f (t ) x(t ) 0 3 0 0 0 2 1 ,
y(t ) 1 1 0 x(t )
d x t Ax t Bf t dt
即:当 A 为对角阵形式时,
B 中的0元素对应不可控因素。
2.可控阵满秩判别法 即: 若有 M B | AB | A2 B | | Ak 1 B ,则连续系统完全 可控的充要条件是: M 矩阵满秩。
M 称为系统的可控制判别矩阵，即可控阵。
矢量形式
γ px
λ γ
线性变换
其中γ和x为列矢量
1 γ 2 k
x1 x x 2 xk
p11 p P 21 pk 1
p12 p22 pk 2
p1k p2 k pkk
显然Mc矩阵是满秩的，所以系统是完全可控的，可
在有限时间内使系统由给定的起始状态引向零状态。
三．系统的可观性定义、判别法
可观性 当系统用状态方程描述，给定控制后，能在有限的时 间间隔内 0 t t1 根据系统输出惟一地确定系统的所 有起始状态，则系统是完全可观。如果只能确定部分 起始状态，则系统不完全可观。 可观性判别法 1.根据状态方程的参数矩阵判别 d 设系统的状态方程 x t Ax t Bf t
系统对角化方程为：
1 0 0 0 d 1 γ t PAP γ t PBf t 0 2 0 (t ) 1 f (t ) dt 0 0 3 1
y(t ) CP1 (t ) 1 1 0 (t )
可以得到：
0 ˆ 1 B 1
ˆ 1 1 0 C
2 (t )
因而其中的 2 (t ) 和 3 (t ) 可控， 1 (t ) 和 （3）求系统的转移函数 H ( s) 。
ˆ (sI A)1 B ˆ H (s) C(sI A)1 B C
系数间的关系
ˆ 1PAP 1 ˆ A A PAP ˆ ˆ B PB B PB CP 1 1 ˆ ˆ CP C C ˆ D D ˆ DD
2．系统转移函数阵在线性变换下是不变的
从本质上讲状态方程式描述系统的一种方法，而 系统转移函数是描述系统的另一种方法。当状态矢量 用不同基底表示时，并不影响系统的物理本质，因此 对同一系统不同状态变量的选择，系统转移函数应是 不变的： 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H s C sI A B D C sI A B D
复习
• 1、离散系统状态方程的时域解
• 2、离散系统状态方程的变换域解
8.5 系统的可控性与可观测性
一、状态矢量的线性变换
从状态变量的选择看出，同一系统可以选择不同 的状态变量，但所选每种状态变量相互之间存在着变 换关系。它可以看作同一系统在状态空间中取了不同 的基底，而状态矢量用不同基底表示时具有不同的形 式，因此，对同一系统而言，以各种形式表示的状态 矢量之间存在着线性变换关系。这种线性变换，对于 简化系统分析是很有用的。
rankM 0 2 ，系统不完全可观。
（2）为求系统的可控与可观的状态变量个数，对状态 方程变换为对角化得规范形式。经求特征矢量得到对角 化所需的变换矩阵为：
P 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 P 0 0 1 0 1 0
系数间的关系
设原基底下状态方程表示为
d x t Ax t Bf t dt
经变换后 或
d P 1 γ t AP 1 γ t Bf t dt
原矩阵系数 A, B,C, D ˆ ,B ˆ, D ˆ ,C ˆ 新矩阵系数 A
d 1 ˆ γ t B ˆ f t γ t PAP γ t PBf t A d t y t Cλ t Df t CP 1 γ t Df t C ˆ γ t D ˆ f t
2 5 13 Mc 1 3 9 1 2 4
rankM c 2 ，系统不完全可控性。
检查系统的可观性
C 1 1 0 1 1 1 M0 CA 2 CA 1 1 3
例4
试讨论系统的可观性。
1 1 0 x(t ) x(t ) f (t ) 2 1 1
y(t ) 1 0 x(t )
解： A 1 1 2 1
C 1 0
1 0 C 1 0 M0 1 1 CA 1 1 1 0 2 1
例2 给定离散系统状态方程
0 1 1 x(k 1) x(k ) f (k ) 1 0 3
问该系统能否通过x(n)的控制作用在有限时间内使 系统由给定的起始状态引向零状态？ 解：
Mc B 1 0 1 1 1 3 AB 3 1 0 3 3 1
0 0 s 1 1 1 0 0 s 2 0 0 s 3 0
1
可观。
0 ( s 1)( s 3) 1 1 ( s 1)( s 2)( s 3) s 2 1
可见系统具有零点、极点相消现象。输入量只有通 过 2 (t ) 影响到输出量，这说明用系统函数来描述系统 是不全面的。