中学数学中常用的七类构造法

1.构造法概述

1.1 一个简单例子

证明存在两个无理数y x ,，使y x z =是有理数[1]

传统证明方法是，假设对于任何两个无理数y x ,，都有y x z =是无理数。那么就有()

22一定是无理数，进而()222⎥⎦⎤⎢⎣⎡也是无理数，而()2)2(2222==⎥⎦⎤⎢⎣⎡是有理数，所以假设不成立 而我们如果令9log ,22==y x ，我们已知2和9log 2都是无理数，此时 32)2(3log 9log 22===y x 是有理数，问题得证。

上面这个问题中我们用到的第二种方法就是中学中常用的构造法。

1.2构造法的发展历史

到底什么是构造法呢？构造法就是按照固定方式，经过有限步骤能够实现的方法。引用韦尔（H.Weyl ）在《数学的思维方式》一文中的一句话“当数学家们转向抽象时，有一件最为门外汉所不能理解的事情，那就是直觉的图像必须被转化为一种符号构造。”[2]这表明构造法从数学产生时就已经存在，因为数学发展所必须具备的数学符号就是用来构造对象的。除此之外，数学最初的定义有很多都是构造性的定义，比如：将线段绕其一个端点在平面内旋转一周，它的另一端点所画出的图形叫圆。构造法起源于数学之初，但它的发展是在19世纪末。

19世纪末，克罗内克和庞加莱基于数学的可信性，提出了“存在必须是被构造的”观点，创立了早期的直观数学学派。但是他们把直观数学推崇到极致，反对一切非构造性数学内容，搞得数学复杂难懂。随后马尔科夫提出算法数学，把一切数学概念归结为一个基本概念——算法的构造性方法。但是算法数学以递归函数为基础，大部分人同样难以理解。直到1867年美国数学家比肖泊发表《构造性分析》一书，摆脱了算法数学对递归函数的依赖，宣告现代构造数学的形成。

时至今日，构造法不仅开创了组合数学、计算机科学等新领域，而且在数值分析，拓扑学领域也大有用武之地。[3]

1.3 中学数学需要数学构造法

除了高等数学，现在的中学阶段对于构造法也是相当重视的。《高中数学教学大纲》中就明确规定了学习数学不仅包括数学内容，数学语言，更重要是数学思想、方法。

在高中数学解题过程里，我们常常会遇到无从下手、常规的方法不能快速、有效解决的问题，这时我们可以另辟蹊径，利用这种特殊的数学方法尝试解决问题——构造法。

2.中学解题中常用的几类构造法

运用构造法解题常常是因为我们常规思维定式探求解题思路受阻，这时我们根据题设特点，用已知元素和关系式构造一个新的数学形式，如：函数、方程、图形等，这样可以绕过阻碍，得到解题的思路和方法。中学阶段应用构造法时所需要构造的新的数学形式很多，包括构造图形、构造方程、构造函数、构造数列、构造命题、构造向量类、构造特殊模型等。我们就上面七种构造形式来一一探究，熟悉构造法解题过程中运用的构造技巧，以及构造法解题的本质，对问题的化归。

2.1构造图形

代数是数字和文字的组合，但是这并不代表代数和图形完全没有关系，对于一些代数的问题，我们如果能通过途径构造相应的图形，此时解题过程便十分直观、清晰。

例1.1 已知,1,0,0=+>>b a b a 求证：22

1212≤+++

⎛+b a ，222)2()21()21(=+++b a ， 这时我们想到这和勾股定理有些相似，我们是不是可以尝试构造一个直角三角形，于是有：如图1.1

证明：构造如图的直角三角形，根据定理，三角形两边之和大于第三边， 所以21212+++

1=+b ， 所以2)4

sin(22)sin (cos 22121≤+⨯=+=+++παααb a

综上所述，221212≤+++

图1.1

上面这个问题因为出现了形如222c b a =+的式子，所以我们想到构造一个直角三角形，如果题目中没有给出这么明显的唯一特征，我们能不能构造呢？

例 1.2正数C B A c b a ,,,,,，满足条件k C c B b A a =+=+=+，求证：2k cA bC aB <++

由求证的不等式cA bC aB ,,，我们想到这是不是和面积有关，于是我们构造一个三角形，并且题干中k C c B b A a =+=+=+，所以我们构造一个等边三角形。于是有图1.2

图1.2

证明：构造一个如图的等边三角形PQR ，其中各个边角的关系如下b MP B RM a LR A QL c NQ C PN ======,,,,,，考虑图形中的面积关系，有PQR NQL MPN LRM S S S S ∆∆∆∆<++，又3sin 21πaB S LPM =∆，3sin 21πbC S MPN =∆， 3sin 21πcA S NQL =

∆，3

sin 212πk S PQR =∆，带入PQR NQL MPN LRM S S S S ∆∆∆∆<++，得3sin 21πaB +3sin 21πbC +3sin 2

1πcA <3sin 212πk ,整理得：2k cA bC aB <++.[5] 上面得解题方法中利用了三角形的面积公式A AC AB S ABC sin 2

1⋅⋅=∆，不等式两边的θsin 都是3sin π，所以约掉，最后化简到2k cA bC aB <++的形式。考虑到面积更为简单的形式cA bC aB ,,可以是长方形的面积，此时我们可以构造一个矩形，又k C c B b A a =+=+=+，我们不妨构造一个如图1.3的正方形.

图1.3

方法二，证明：构造一个如图所示的正方形PQRT ，其中各边关系如下， B LP b QL B SQ b RS C NR c TN A MT a PM ========,,,,,,,，又正方形有如下关系，PQRT S S <++321S S 阴影阴影阴影，带入数据得2k cA bC aB <++。

虽然数与形是数学中不同的领域，但是这两个领域不是相互独立的。解题中亦是如此，如果在数学问题中我们给一些代数关系赋予几何意义，那么问题往往变得形象、直观。当然在利用图形直观分析解决问题时，我们构造的图形也有简单复杂之分，所以构造图形时我们要注意一点，构造几何图形要有正确的思考方