中学数学中常用的七类构造法
![中学数学中常用的七类构造法](https://img.360docs.net/imga1/1iv1hwu33454jddp311jt63hg1imutwt-11.webp)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
1.构造法概述
1.1 一个简单例子
证明存在两个无理数y x ,,使y x z =是有理数[1]
传统证明方法是,假设对于任何两个无理数y x ,,都有y x z =是无理数。那么就有()
22一定是无理数,进而()222⎥⎦⎤⎢⎣⎡也是无理数,而()2)2(2222==⎥⎦⎤⎢⎣⎡是有理数,所以假设不成立 而我们如果令9log ,22==y x ,我们已知2和9log 2都是无理数,此时 32)2(3log 9log 22===y x 是有理数,问题得证。
上面这个问题中我们用到的第二种方法就是中学中常用的构造法。
1.2构造法的发展历史
到底什么是构造法呢?构造法就是按照固定方式,经过有限步骤能够实现的方法。引用韦尔(H.Weyl )在《数学的思维方式》一文中的一句话“当数学家们转向抽象时,有一件最为门外汉所不能理解的事情,那就是直觉的图像必须被转化为一种符号构造。”[2]这表明构造法从数学产生时就已经存在,因为数学发展所必须具备的数学符号就是用来构造对象的。除此之外,数学最初的定义有很多都是构造性的定义,比如:将线段绕其一个端点在平面内旋转一周,它的另一端点所画出的图形叫圆。构造法起源于数学之初,但它的发展是在19世纪末。
19世纪末,克罗内克和庞加莱基于数学的可信性,提出了“存在必须是被构造的”观点,创立了早期的直观数学学派。但是他们把直观数学推崇到极致,反对一切非构造性数学内容,搞得数学复杂难懂。随后马尔科夫提出算法数学,把一切数学概念归结为一个基本概念——算法的构造性方法。但是算法数学以递归函数为基础,大部分人同样难以理解。直到1867年美国数学家比肖泊发表《构造性分析》一书,摆脱了算法数学对递归函数的依赖,宣告现代构造数学的形成。
时至今日,构造法不仅开创了组合数学、计算机科学等新领域,而且在数值分析,拓扑学领域也大有用武之地。[3]
1.3 中学数学需要数学构造法
除了高等数学,现在的中学阶段对于构造法也是相当重视的。《高中数学教学大纲》中就明确规定了学习数学不仅包括数学内容,数学语言,更重要是数学思想、方法。
在高中数学解题过程里,我们常常会遇到无从下手、常规的方法不能快速、有效解决的问题,这时我们可以另辟蹊径,利用这种特殊的数学方法尝试解决问题——构造法。
2.中学解题中常用的几类构造法
运用构造法解题常常是因为我们常规思维定式探求解题思路受阻,这时我们根据题设特点,用已知元素和关系式构造一个新的数学形式,如:函数、方程、图形等,这样可以绕过阻碍,得到解题的思路和方法。中学阶段应用构造法时所需要构造的新的数学形式很多,包括构造图形、构造方程、构造函数、构造数列、构造命题、构造向量类、构造特殊模型等。我们就上面七种构造形式来一一探究,熟悉构造法解题过程中运用的构造技巧,以及构造法解题的本质,对问题的化归。
2.1构造图形
代数是数字和文字的组合,但是这并不代表代数和图形完全没有关系,对于一些代数的问题,我们如果能通过途径构造相应的图形,此时解题过程便十分直观、清晰。
例1.1 已知,1,0,0=+>>b a b a 求证:22
1212≤+++
⎛+b a ,222)2()21()21(=+++b a , 这时我们想到这和勾股定理有些相似,我们是不是可以尝试构造一个直角三角形,于是有:如图1.1
证明:构造如图的直角三角形,根据定理,三角形两边之和大于第三边, 所以21212+++
1=+b , 所以2)4
sin(22)sin (cos 22121≤+⨯=+=+++παααb a
综上所述,221212≤+++
图1.1
上面这个问题因为出现了形如222c b a =+的式子,所以我们想到构造一个直角三角形,如果题目中没有给出这么明显的唯一特征,我们能不能构造呢?
例 1.2正数C B A c b a ,,,,,,满足条件k C c B b A a =+=+=+,求证:2k cA bC aB <++
由求证的不等式cA bC aB ,,,我们想到这是不是和面积有关,于是我们构造一个三角形,并且题干中k C c B b A a =+=+=+,所以我们构造一个等边三角形。于是有图1.2
图1.2
证明:构造一个如图的等边三角形PQR ,其中各个边角的关系如下b MP B RM a LR A QL c NQ C PN ======,,,,,,考虑图形中的面积关系,有PQR NQL MPN LRM S S S S ∆∆∆∆<++,又3sin 21πaB S LPM =∆,3sin 21πbC S MPN =∆, 3sin 21πcA S NQL =
∆,3
sin 212πk S PQR =∆,带入PQR NQL MPN LRM S S S S ∆∆∆∆<++,得3sin 21πaB +3sin 21πbC +3sin 2
1πcA <3sin 212πk ,整理得:2k cA bC aB <++.[5] 上面得解题方法中利用了三角形的面积公式A AC AB S ABC sin 2
1⋅⋅=∆,不等式两边的θsin 都是3sin π,所以约掉,最后化简到2k cA bC aB <++的形式。考虑到面积更为简单的形式cA bC aB ,,可以是长方形的面积,此时我们可以构造一个矩形,又k C c B b A a =+=+=+,我们不妨构造一个如图1.3的正方形.
图1.3
方法二,证明:构造一个如图所示的正方形PQRT ,其中各边关系如下, B LP b QL B SQ b RS C NR c TN A MT a PM ========,,,,,,,,又正方形有如下关系,PQRT S S <++321S S 阴影阴影阴影,带入数据得2k cA bC aB <++。
虽然数与形是数学中不同的领域,但是这两个领域不是相互独立的。解题中亦是如此,如果在数学问题中我们给一些代数关系赋予几何意义,那么问题往往变得形象、直观。当然在利用图形直观分析解决问题时,我们构造的图形也有简单复杂之分,所以构造图形时我们要注意一点,构造几何图形要有正确的思考方