计算三重积分的一种特殊方法_费时龙

∫∫∫
第1 期
1 0 1 －z 0 1 －x －z 0
费时龙， 孙善辉： 计算三重积分的一种特殊方法
· 103·
∫ ∫ ∫ （ 1 + x d+yy + z） = 1 1 1 dz∫ （ － ） dx = ∫ 2 4 （ 1 + x + z）
dz dx
3 1 0 1 －z 0 3
解
由对称性知 I =
2 V
2
{
所以 I = x ∫∫∫（ a
V 2 2
+
z = rsinφ， 0 ≤ θ ≤ 2π （ x + y + z ） dxdydz =
α R 2α 2 2 2 2 V
y2 z2 4 πabc 2 + 2 ） dxdydz = 5 b c 利用广义球坐标变换将三重积分化
解法 3
从而
2π 0
I =
∫∫∫
V
f（ x， y， z） dV =
∫
b a
φ（ t ） ψ （ t ） d t
足， 因此 I = m = 解法 2 于I = + =
y， z） 注 在定理条件满足的情形下， 在 （ x， t ∈ Δ i 上条件（ b） ， （ c） 分别等价于 ∈ Vi ， （ b' ） f（ x， y， z ） = φ（ t ） + o （ 1 ） ； （ c' ） Δ V = φ（ t） Δ t i + o（ Δ t i ） （ c' ） 一般比较容易验证。 对于具体问题（ b' ） ， 例 1 （ 北 大 00 ） 求 I =
＊?
2013 年 2 月 第 19 卷第 1 期
安庆师范学院学报（ 自然科学版）
Journal of Anqing Teachers College（ Natural Science Edition）
Feb． 2013 Vol． 19 No． 1

I =
∫∫∫xdxdydz =
V
1 （ 3
∫∫∫（ x + y + z） dxdydz
V
注意到在面 x + y + z = r 上的函数值相等， 考 r， r + Δ r］上的体积变化量为 虑从［ ΔV = 1 （ r + Δr） 6
3
－
2
1 3 r = 6 + （ Δr） 3 ）
物体的质量。 注意到在面 x + y + z = r 上的函数值 r， r + Δ r］上的体积变化量为 相等， 考虑从［ ΔV = 1 （ r + Δr） 6
3
1 （ 3 r2 Δ r + 3 r （ Δ r ） 6
三重积分的计算是数学分析的难点， 计算三 但由于 重积分的常用方法是将其化成累次积分， 积分区域是空间立体的， 图形往往难以画出， 根据 图形定限比较困难。 很多情形即使化成累次积分， 却由于被积表达式的复杂性使得三重积分的计算 变得复杂。 在三重积分的计算过程中， 常常会遇到 或 被积函数与积分区域的表达式相类似的情形 ， 者是通过适当的变换变成相类似的情形， 在明确 函数可积的条件下， 结合三重积分的背景知识， 通 过函数值相近的特殊分割方法可直接将一类三重 积分转换成定积分的计算， 从而将三重积分计算 得到简化。 y， z） 在可求体积的空间 设函数 f（ x， a， b］ 上的 有界区域 V 上三重积分存在， 若存在［ 可积函数 φ（ t） ， ψ（ t） ， 使得对任意正数 ε ＞ 0 ， δ ＞ 定理 0， a， b］的分割及 V 的分割 T' ∶ a = t0 ＜ 分别存在［ t1 ＜ … ＜ t n = b ， t t i －1 ， ti ］ ， i = 1， 2， …， n， Δi = ［ T ″ ∶ Vi ， i = 1， 2， …， n。 满足下列条件： （ a） ‖T' ‖ ＜ δ， （ b） | f（ ξi ， ηi ， ζi ） － φ（ t i ） | ＜ ε， （ ξi ， ηi ， ζ i ） ∈ Vi Δ V i － ψ（ t i ） Δ t i （ c） ＜ ε， 则 Δt i y， z ） d V = ∫ φ（ t ） ψ （ t ） d t ∫∫∫f（ x，
∫∫∫xdxdydz
V
=
从而 ∫∫∫ydxdydz = ∫∫∫zdxdydz，
V V
1 5 （ ln2 － ） 2 8 解法 2 利用定理的条件， 按函数值相近的 y， 分割方法， 将该三重积分看成空间物体在点 （ x， z） 的密度为 f（ x， y， z） = 1 的空间 （ 1 + x + y + z） 3
2 2 V V
2
2
∫∫∫f（ x
V
2
+ y2 +
2 2 2 2 z2 ） α d x d y d z ， 其中 V 是实心球 x + y + z ≤ R 。 解法 1 利用定理的条件， 按函数值相近的
∫
a
x2 2 dx －a a
2
∫∫
Rx
dydz， 这里 R x 表示椭圆面：
y2 z2 + ≤ b 2 c2
1 －
0， R］上的 分割方法直接转换成定积分， 设 T' 是［ T' ∶ 0 = t0 ＜ t1 ＜ … ＜ t n = R ， Δi = 一个分割， ［ t t i －1 ， ti ］ ， i = 1， 2， …， n， 设 T ″ 是 V 上的一个分割，
2 2 2 2 T ″ ∶ V i = ｛ t2 i = 1， 2， …， i －1 ≤ x + y + z ≤ t i ｝ ， 2 2 n， φ（ t ） = t α ， ψ（ t ） = 4 πt ， 则定理的条件满足，
ij ij ij V T i
＜ ε ＜ ε
（ 3） （ 4）
∫ φ（ t ） ψ （ t ） d x － ∑ φ（ t ） ψ （ t ） Δ t
a i i T'
b
i
（ b） ， （ c） 知 由条件（ a） ，
* 收稿日期： 2012 － 07 － 28
基金项目： 安 徽 省 教 育 科 学 规 划 项 目 （ JG10340 ） ， 宿 州 学 院 自 然 科 学 研 究 项 目 （ 2011yyb06 ） 和 宿 州 学 院 教 学 研 究 项 目 （ szxyjyxm201237 ） 资助。 作者简介： 费时龙， 男， 安徽芜湖人， 硕士，宿州学院数学与统计学院讲师， 主要从事随机过程的研究。
V
（
x2 y2 z2 + + ） dxdydz， 其中 a 2 b 2 c2
x2 y2 z2 V 是实心球 2 + 2 + 2 ≤ 1 。 a b c
由 x + y + z = 1 与三个坐标面所围成的区域。 解法 1 直接将三重积分化成累次积分， dxdydz I = = （ 1 + x + y + z） 3 V
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安庆师范学院学报（ 自然科学版）
20Fra Baidu bibliotek3 年
f（ ξ ij ， η ij ， ζ ij ） Δ V ij － ∑ φ（ t i ） ψ（ t i ） Δ t i ∑ T T' （ f（ ξ ij ， η ij ， ζ ij ） ∑ T － φ（ t i ） ） Δ V ij + ≤
≤
利用定理的条件， 按函数值相近的 0， 1］上的 设 T' 是［ 分割方法直接转换成定积分， 解法 1 T' ∶ 0 = t0 ＜ t1 ＜ … ＜ t n = 1 ， 一个分割， Δi = ［ t t i －1 ， ti ］ ， i = 1， 2， …， n， 设 T ″ 是 V 上的一个分割， T ″ ∶ V i = ｛ t2 i －1 ≤ x2 y2 z2 + + ≤ t2 i = 1， 2， …， i｝ ， a 2 b 2 c2
∫∫∫
π 0
∫ d θ∫ d φ∫ r
0
r sinφdr =
4 πR2 α + 3 2α + 3
成累次积分， 略。 注 解法 2 与解法 3 的关键都是将三重积分 转换成累次积分， 然后再计算三个累次积分， 计算 过程繁琐。 解法 1 利用椭球体的体积公式及椭球 面上函数值相等的特殊分割方法直接将三重积分 从而 的被积表达式转换成定积分的被积表达式 ， 将此三重积分的计算得到简化。 dxdydz ， 例3 求I = 其中 V 是 （ 1 + x + y + z） 3 V
y， z） dV － ∑ f（ ξ ， η， ζ ） ΔV ∫∫∫f（ x，
V T（ 3） i i i
i
＜ ε， （ 1）
（ ξ i ， ηi ， ζi ） ∈ Vi
∫ φ（ t ） ψ （ t ） d x － ∑ φ（ t ） ψ （ t ） Δ t
a T（ 4） i i
b
i
＜ ε （ 2）
T' ∶ a = t0 ＜ t1 ＜ … ＜ t n = b， 让 δ ＜ δ1 ， Δi =［ t t i －1 ， ti ］ ， i = 1， 2， …， n， T ″ ∶ Vi ， i = 1， 2， …， n。 （ b） ， （ c） 的关于 V 与［ a， b］ 分别为满足条件（ a） ， j = 1， 2， …， 两个分割， 并对每个 V i 作分割 T i ∶ V ij ， ki ， i = 1， 使得 ‖T i ‖ ＜ δ1 ， 合并所有 V i 的分割 T i ， 2， …， n， 则得到 V 的分割 T = T1 + T2 + … + T n ， 显 （ 2） 知 然 ‖T ‖ ＜ δ1 ， 由（ 1 ） ， y， z） dV － ∑ f（ ξ ， η， ζ ） ΔV ∫∫∫f（ x，
∫ r 4πabcr dr =
2 2 0
1
4 πabc 5
∫∫∫
V 2 2
直接将三重积分化成累次积分， 由 y2 z2 x x2 （ 2 + 2 + 2 ） dxdydz = dxdydz a b c a2 V
2
∫∫∫
V
z x dxdydz + ∫∫∫ dxdydz， 其中∫∫∫ dxdydz ∫∫∫ y b c a
φ（ t i ） Δ V ij － ∑ φ（ t i ） ψ（ t i ） Δ t i ∑ T T'
（ 5） εΔ V + Mε（ b － a） M | （ t ） | ， （ 3 ） ， （ 4 ） ， （ 5） 这里 为 φ 的一个上界 由 及 ε 的任意性知
2 2 n， φ（ t ） = t ， ψ（ t） = 4 πabct ， 则定理的条件满
解法 2 利用广义球坐标变换将此三重 积分转换成累次积分， 然后再计算三个累次积分。 解法 1 直接将三重积分的计算转换成一个定积分 与解法 2 相比有了很好的简化。 运用此方 的计算， 法的关键是将三重积分的被积表达式转换成定积 分的被积表达式， 然后利用定积分进行计算。 例2 求I =
注
∫∫∫
∫∫∫
计算三重积分的一种特殊方法
费时龙， 孙善辉
（ 宿州学院 数学与统计学院， 安徽 宿州 234000 ）
摘
要： 计算三重积分的常用方法主要有直接化成累次积分和先做适当的换元后再化成累次积分 。 这里主要讨论
利用三重积分的应用背景， 运用函数值相近的分割方法将三重积分的计算转化成微元表达式， 从而将三重积分的计算转 使得三重积分的计算得以简化， 并举例加以说明。 化成定积分的计算， 关键词： 三重积分； 微元法； 截面法 中图分类号： O172 文献标识码： A 文章编号： 1007 － 4260 （ 2013 ） 01 － 0101 － 03
V a b
证明
y， z） 在 V 上可积及 φ（ t） ， 由 f（ x， ψ（ t）
a， b］上可积知， 在［ 对上述的正数 ε ＞ 0 ， 存在 a， b］的任意两个分割 T （ 3） ， T （ 4） ， δ1 ＞ 0 ， 及 V 与［ 使得当 ‖T
（ 3） （ 4） ‖ ＜ δ1 ， ‖T ‖ ＜ δ1 时， 有
x x2 ， bc （ 1 － ）， 它的面积为 π 于是 a2 a2 x dxdydz = ∫ ∫∫∫ a
2 V 2 a －a
x2 dx a2
∫∫dydz =
Rx
∫
a －a
x 4 πbcx （ 1 － 2 ） dx = πabc 15 a2 a 4 dxdydz = πabc ∫∫∫ y 15 b
2 V 2
2
2
因此 4 πR2 α + 3 I = m = r2 α 4 πr2 d r = 2α + 3 0 解法 2 利用球坐标变换将三重积分化成累
同理可得
∫
R
作变换 次积分， x = rsinφcosθ， 0 ≤ r ≤+ ∞ T ∶ y = rsinφsinθ， 0≤φ≤π
4 πabc ∫∫∫ cz dxdydz = 15