计算三重积分的一种特殊方法_费时龙

y， z） dV － ∑ f（ ξ ， η， ζ ） ΔV ∫∫∫f（ x，
V T（ 3） i i i
i
＜ ε， （ 1）
（ ξ i ， ηi ， ζi ） ∈ Vi
∫ φ（ t ） ψ （ t ） d x － ∑ φ（ t ） ψ （ t ） Δ t
a T（ 4） i i
b
i
＜ ε （ 2）
T' ∶ a = t0 ＜ t1 ＜ … ＜ t n = b， 让 δ ＜ δ1 ， Δi =［ t t i －1 ， ti ］ ， i = 1， 2， …， n， T ″ ∶ Vi ， i = 1， 2， …， n。 （ b） ， （ c） 的关于 V 与［ a， b］ 分别为满足条件（ a） ， j = 1， 2， …， 两个分割， 并对每个 V i 作分割 T i ∶ V ij ， ki ， i = 1， 使得 ‖T i ‖ ＜ δ1 ， 合并所有 V i 的分割 T i ， 2， …， n， 则得到 V 的分割 T = T1 + T2 + … + T n ， 显 （ 2） 知 然 ‖T ‖ ＜ δ1 ， 由（ 1 ） ， y， z） dV － ∑ f（ ξ ， η， ζ ） ΔV ∫∫∫f（ x，
三重积分的计算是数学分析的难点， 计算三 但由于 重积分的常用方法是将其化成累次积分， 积分区域是空间立体的， 图形往往难以画出， 根据 图形定限比较困难。 很多情形即使化成累次积分， 却由于被积表达式的复杂性使得三重积分的计算 变得复杂。 在三重积分的计算过程中， 常常会遇到 或 被积函数与积分区域的表达式相类似的情形 ， 者是通过适当的变换变成相类似的情形， 在明确 函数可积的条件下， 结合三重积分的背景知识， 通 过函数值相近的特殊分割方法可直接将一类三重 积分转换成定积分的计算， 从而将三重积分计算 得到简化。 y， z） 在可求体积的空间 设函数 f（ x， a， b］ 上的 有界区域 V 上三重积分存在， 若存在［ 可积函数 φ（ t） ， ψ（ t） ， 使得对任意正数 ε ＞ 0 ， δ ＞ 定理 0， a， b］的分割及 V 的分割 T' ∶ a = t0 ＜ 分别存在［ t1 ＜ … ＜ t n = b ， t t i －1 ， ti ］ ， i = 1， 2， …， n， Δi = ［ T ″ ∶ Vi ， i = 1， 2， …， n。 满足下列条件： （ a） ‖T' ‖ ＜ δ， （ b） | f（ ξi ， ηi ， ζi ） － φ（ t i ） | ＜ ε， （ ξi ， ηi ， ζ i ） ∈ Vi Δ V i － ψ（ t i ） Δ t i （ c） ＜ ε， 则 Δt i y， z ） d V = ∫ φ（ t ） ψ （ t ） d t ∫∫∫f（ x，
∫∫∫
π 0
∫ d θ∫ d φ∫ r
0
r sinφdr =
4 πR2 α + 3 2α + 3
成累次积分， 略。 注 解法 2 与解法 3 的关键都是将三重积分 转换成累次积分， 然后再计算三个累次积分， 计算 过程繁琐。 解法 1 利用椭球体的体积公式及椭球 面上函数值相等的特殊分割方法直接将三重积分 从而 的被积表达式转换成定积分的被积表达式 ， 将此三重积分的计算得到简化。 dxdydz ， 例3 求I = 其中 V 是 （ 1 + x + y + z） 3 V
· 102·
安庆师范学院学报（ 自然科学版）
2013 年
f（ ξ ij ， η ij ， ζ ij ） Δ V ij － ∑ φ（ t i ） ψ（ t i ） Δ t i ∑ T T' （ f（ ξ ij ， η ij ， ζ ij ） ∑ T － φ（ t i ） ） Δ V ij + ≤
≤
利用定理的条件， 按函数值相近的 0， 1］上的 设 T' 是［ 分割方法直接转换成定积分， 解法 1 T' ∶ 0 = t0 ＜ t1 ＜ … ＜ t n = 1 ， 一个分割， Δi = ［ t t i －1 ， ti ］ ， i = 1， 2， …， n， 设 T ″ 是 V 上的一个分割， T ″ ∶ V i = ｛ t2 i －1 ≤ x2 y2 z2 + + ≤ t2 i = 1， 2， …， i｝ ， a 2 b 2 c2
2 2 V V
2
2
∫∫∫f（ x
V
2
+ y2 +
2 2 2 2 z2 ） α d x d y d z ， 其中 V 是实心球 x + y + z ≤ R 。 解法 1 利用定理的条件， 按函数值相近的
∫
a
x2 2 dx －a a
2
∫∫
Rx
dydz， 这里 R x 表示椭圆面：
y2 z2 + ≤ b 2 c2
2 V
2
{
所以 I = x ∫∫∫（ a
V 2 2
+
z = rsinφ， 0 ≤ θ ≤ 2π （ x + y + z ） dxdydz =
α R 2α 2 2 2 2 V
y2 z2 4 πabc 2 + 2 ） dxdydz = 5 b c 利用广义球坐标变换将三重积分化
解法 3
从而
2π 0
I =
3
1 （ 3 r2 Δ r + 3 r （ Δ r ） 6
∫∫∫
第1 期
1 0 1 －z 0 1 －x －z 0
费时龙， 孙善辉： 计算三重积分的一种特殊方法
· 103·
∫ ∫ ∫ （ 1 + x d+yy + z） = 1 1 1 dz∫ （ － ） dx = ∫ 2 4 （ 1 + x + z）
dz dx
3 1 0 1 －z 0 3
解
由对称性知 I =
＊?
2013 年 2 月 第 19 卷第 1 期
安庆师范学院学报（ 自然科学版）
Journal of Anqing Teachers College（ Natural Science Edition）
Feb． 2013 Vol． 19 No． 1

V a b
证明
y， z） 在 V 上可积及 φ（ t） ， 由 f（ x， ψ（ t）
a， b］上可积知， 在［ 对上述的正数 ε ＞ 0 ， 存在 a， b］的任意两个分割 T （ 3） ， T （ 4） ， δ1 ＞ 0 ， 及 V 与［ 使得当 ‖T
（ 3） （ 4） ‖ ＜ δ1 ， ‖T ‖ ＜ δ1 时， 有
φ（ t i ） Δ V ij － ∑ φ（ t i ） ψ（ t i ） Δ t i ∑ T T'
（ 5） εΔ V + Mε（ b － a） M | （ t ） | ， （ 3 ） ， （ 4 ） ， （ 5） 这里 为 φ 的一个上界 由 及 ε 的任意性知
2 2 n， φ（ t ） = t ， ψ（ t） = 4 πabct ， 则定理的条件满
2 V 2
2
2
因此 4 πR2 α + 3 I = m = r2 α 4 πr2 d r = 2α + 3 0 解法 2 利用球坐标变换将三重积分化成累
同理可得
∫
R
作变换 次积分， x = rsinφcosθ， 0 ≤ r ≤+ ∞ T ∶ y = rsinφsinθ， 0≤φ≤π
4 πabc ∫∫∫ cz dxdydz = 15
x x2 ， bc （ 1 － ）， 它的面积为 π 于是 a2 a2 x dxdydz = ∫ ∫∫∫ a
2 V 2 a －a
x2 dx a2
∫∫dydz =
Rx
∫
a －a
x 4 πbcx （ 1 － 2 ） dx = πabc 15 a2 a 4 dxdydz = πabc ∫∫∫ y 15 b
I =
∫∫∫xdxdydz =
V
1 （ 3
∫∫∫（ x + y + z） dxdydz
V
注意到在面 x + y + z = r 上的函数值相等， 考 r， r + Δ r］上的体积变化量为 虑从［ ΔV = 1 （ r + Δr） 6
3
－
2
1 3 r = 6 + （ Δr） 3 ）
物体的质量。 注意到在面 x + y + z = r 上的函数值 r， r + Δ r］上的体积变化量为 相等， 考虑从［ ΔV = 1 （ r + Δr） 6
1 －
0， R］上的 分割方法直接转换成定积分， 设 T' 是［ T' ∶ 0 = t0 ＜ t1 ＜ … ＜ t n = R ， Δi = 一个分割， ［ t t i －1 ， ti ］ ， i = 1， 2， …， n， 设 T ″ 是 V 上的一个分割，
2 2 2 2 T ″ ∶ V i = ｛ t2 i = 1， 2， …， i －1 ≤ x + y + z ≤ t i ｝ ， 2 2 n， φ（ t ） = t α ， ψ（ t ） = 4 πt ， 则定理的条件满足，
∫ r 4πabcr dr =
2 2 0
1
4 πabc 5
∫∫∫
V 2 2
直接将三重积分化成累次积分， 由 y2 z2 x x2 （ 2 + 2 + 2 ） dxdydz = dxdydz a b c a2 V
2∫∫∫V源自z x dxdydz + ∫∫∫ dxdydz， 其中∫∫∫ dxdydz ∫∫∫ y b c a
V
（
x2 y2 z2 + + ） dxdydz， 其中 a 2 b 2 c2