线性代数矩阵PPT课件

例2. 四个城市间的单向航线如图所示. 若aij表示从i市 到j市航线的条数, 则右图可用矩阵表示为
1
4
2
3
①②③④
01 1 1 ①
A = [aij] =
10 01
0 0
0 0
② ③
10 1 0 ④
§1.1 矩阵的基本概念
一. 矩阵与向量
a11 a12 … a1n
1. mn矩阵 (Matrix)
0 1 3 0 2 00 0 1 0
01 0 0 0 0 01 1 0 0
是rref
00 0 0 0
0 0 0 0 0 不是rref
§1.2 矩阵的基本运算
一. 矩阵的线性运算
kA lB = (kaij lbij)mn 向量: k+l = (kai+lbi)
1. 加法 C = A+B = (aij+bij)mn 注1: A, B同型.
• aij = bij , 1 i m, 1 j n
7.零矩阵 Omn aij =0， 1 i m, 1 j n
二. 几种特殊矩阵
1. 对角矩阵(diagonal) 1 0 … 0
= diag(1, 2, …, n) =
0 2 … 0
…… ……
= (i ij)
2.数量矩阵
0 0 … n
3. 单位矩阵
A
1
= (ij)
E
n
1
=
(ij)
1
引入Kronecker记号 ij =
1, i = j 0, i j
4. 三角矩阵
上三角矩阵：方阵的主对角线下的元素全为0
a11 a12 … a1n 0 a22 … a2n … ………
0 0 … ann
a11 … a1n-1 a1n a21 … a2n-1 0 …………
an1 … 0 0
下三角矩阵：方阵的主对角线上的元素全为0
a11 0 … 0 a21 a22 … 0 … ………
an1 an2 … ann
0 … 0 a1n 0 … a2n-1 a2n …… … …
an1 … a1n-1 ann
5. 行阶梯矩阵 (简称阶梯阵) (row echelon form)
的关系 再学
质和运算 再学
行列式 的运算
二、主要问题 应用线性方程组 三、重点难点
•求方阵的特征值特征向量 •向量组的线性无关性
•方阵的相似对角化问题
•逆矩阵
•实对称矩阵的正定性
返回
线性方程组：
aa2111xx11
a12x2 a22x2
b1 b2
a11x1 a12 x2
a21x1 a22 x2
amn
bm
xn
第一章 矩 阵
§1.1 矩阵的基本概念 一. 矩阵与向量 二.几种特殊矩阵
§1.2 矩阵的基本运算 一. 矩阵的线性运算 二. 矩阵的乘法 三. 矩阵的转置
§1.1 矩阵的基本概念
例1. 某厂家向三个代理商发送四种产品.
啤酒(瓶装) 啤酒(易拉罐) 干啤 生啤
单价 重量
数量(箱)
2. 数乘
ka11 ka12 … ka1n
kA = (kaij)mn =
ka21 …
ka22 …
… …
ka2n …
注3: 负矩阵 A = (aij)mnkam1 kam2 … kamn 注4: 减法：A B = A + (B) (A, B是同型矩阵)
若A有零行(元素全为零的行), 则零行位于最下方; 非零行的非零首元 (自左至右第一个不为零的元, 称为主元) 的列标随行标的递增而递增.
称A中非零行的行数为A的阶梯数, 记为 r(A).
1 1 2 0 4 0 1 3 2 2 0 0 0 2 3 00 0 0 0
r(A)=3
11 0 0 4 0 1 0 2 2 0 0 0 2 3 00 0 0 4
•参考书目
➢工程数学—线性代数，第4版，同济大学 应用数学系，2003，高教出版社 ➢线性代数附册—学习辅导与习题选解，第 4版，同济大学应用数学系，2003，高教出 版社
线性代数
一、核心工具 解线性方程组
线性方程组 考虑
Ax b 再学
方程百度文库 方程对应一个向量
的关系
再学
向量间 向量组构成矩阵 矩阵的性 方阵
(元/箱) (Kg/箱) 南京 苏州 常州
20
16 200 180 190
50
20 100 120 100
30
16 150 160 140
25
16 180 150 150
20 50 30 25 A = 16 20 16 16
200 180 190 100 120 100 B = 150 160 140 180 150 150
r(A)=4
6. 行最简形矩阵
A为阶梯形矩阵(简称阶梯阵)
若A有零行, 则零行位于最下方; 主元的列标随行标的递增而递增.
A为行最简形矩阵(reduced row echelon form)(rref)
各非零首元(主元)全为1,
主元所在的列(称为主列)除1外其余元素全为0.
1 0 2 0 1
1 0 10 0 1 单位列向量
主对角线元素: aii (i = 1, …, n)
3. 向量 (Vector)
n维行向量: 1n矩阵 ai = (ai1, ai2, …, ain)
a1j
n维列向量: n1矩阵 Aj =
a2j …
4.11矩阵 (a11) = a11
anj
常用希腊字
母,,表示.
5.同型矩阵 A = (aij)mn与B = (bij)mn 6.相等矩阵A = B • 同型矩阵
am1x1 am2 x2
a1nxn b1 A1 a11 , a12 , , a1n a2nxn b2 A2 a21 , a22 , , a2n
amnxn bm Am am1 , am2 , , amn
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
Axb
a1n b1 x1 a2n ,bb2 ,xx2
线性代数
•课程的重要性 ➢工科基础 ➢考研基础 •课程要求
➢综合考评
❖期末成绩 ❖平时成绩
➢课时分配
❖授课学时 36
❖习题课 1*4=4
•如何学好
➢做好预习复习
➢按时完成作业 A B C ➢多看多练多想
教材与参考书目
•教材 ➢线性代数 科学出版社，2007.2
作者：陈建龙，周建华，韩瑞珠，周后型
Am×n=
a21 …
a22 …
… …
a2n …
= (aij)m×n
am1 am2 … amn
元素: aij (i = 1, …, m, j = 1, …, n)
注: 元素都是实(复)数的矩阵称为实(复)矩阵.
今后除非特别说明, 我们所考虑的矩阵都
是实矩阵(Rm×n). 复矩阵(Cm×n).
2. 方阵 n阶方阵: nn矩阵