拉氏变换详解
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L[af1 (t) bf 2 (t)] aL[ f1 (t)] bL[ f 2 (t)]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉 氏变换之和。 (2)微分性质 若 L[ f (t)] F(s) ，则有 L[ f (t)] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
2.常用函数的拉氏变换
数学知识回顾
(1)例1.求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。
F (s) Ae st dt
A e st
A
0
s
0
s
1
单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 s 。
(2)例2.求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。
lim lim
F (s) (t)est dt
0
0
f 2 ( )e s d
f ( )e s d 1
F (s)F (s)
2
1
0
0
即得证。
11
二.拉氏反变换
1. 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算
称为拉氏反变换。记为 L1[ F (s)] 。
由F(s)可按下式求出
f
(t)
L1[F (s)]
1
2
j
C j
C j
F (s)est ds(t
1 est dt
1 est
0
0 0
0 s
0
lim lim
1 (1 es )
1 (11 s 2s2 ) 1
0 s
0 s
1! 2!
1
e （3）例3.求指数函数f(t)= at 的拉氏变换
F (s) eat est dt e dt (as)t
1
e (sa)t
s
s
同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为
L[
f
(t)dt 2 ]
1 s2
F(s)
1 s2
f (1) (0) 1 f (2) (0) s
若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0
则有
L[
f
(t)dtn ]
1 sn
F (s)
即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象
函数除以 s n 。
6
（4）终值定理 lim f (t) lim sF(s)
证：设 h(t) f (t)dt 则有 h(t) f (t) 由上述微分定理，有
L[h(t)] sL[h(t)] h(0)
L[h(t)] 1 L[h(t)] 1 h(0) 1 L[ f (t)] 1 h(0)
s
s
s
s
1 F (s) 1 f 1(0)
s
s
5
即：
L[
f (t)dt] F (s) f 1(0)
f (0)
右边 lim[sF (s) f (0)] lim sF (s) f (0)
s0
s0
7
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
注：若 t 时f(t)极限 lim f (t) 不存在， t 则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦 函数就不能应用终值定理。
(5)初值定理：lim f (t) lim sF (s)
t
s0
原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。
证：由微分定理，有 L[ f (t)] f (t)est dt sF (s) f (0)
0
等式两边对s趋向于0取极限
左边
lim
f
(t)est dt
lim
f
(t)est dt
s0 0
0 s0
0
f (t)dt
f (t) 0
lim t
f (t)
依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏 变换 L[ f n (t)] snF(s) sn1 f (0) sn2 f (0) f n1(0)
4
(3)积分性质 若 L[ f (t)] F(s)
则
L[ f (t)dt] F (s) f 1(0)
s
s
式中 f 1 (0) 为积分 f (t)dt 当t=0时的值。
1
0
0
sa 0 sa
几个重要的拉氏变换
f(t)
F(s) f(t)
F(s)
δ(t) 1
sinwt
w (s2 w2 )
1(t)
1/s
coswt s
(s2 w2 )
t
1 s2
eat sin wt
w
(s a)2 w2
eat
1/(s+a)
eat cos wt
sa (s a)2 w2
2
❖ 3.拉氏变换的基本性质 (1)线性性质
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[
f
Hale Waihona Puke Baidu
(t)]
f
(t)est dt
s
f
(t)est dt
f
(t )e st
0
0
0
sF(s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t)] sL[ f (t)] f (0) s[sF (s) f (0)] f (0)
s2F (s) sf (0) f (0)
两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函
数的乘积。
即
t
L[
f (t 1
)
f 2
(
)d
]
F 1
(s)
F 2
(s)
0
t
t
证明： L[ f1(t ) f2( )d ] [ f1(t ) f2( )d ]estdt
0
00
t时，f1(t )1(t ) 0
t
f1(t ) f2( )d f1(t )1(t ) f2( )d
0)
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的 实部。
直接按上式求原函数太复杂，一般都用查 拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必 须是一种能直接查到的原函数的形式。 12
若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要 将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部 分分式的拉氏变换在表中可以查到。
t 0
s
证明方法同上。只是要将 s 取极限。
(6)位移定理：
a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延 迟 ，则其象函数应乘以 es L[ f (t )] es F (s) 8
b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，
原函数应乘以 eat
即： L[eat f (t)] F (s a)
0
0
10
t
L[
f (t 1
) f ( )d ] 2
0
[
f (t 1
)1(t
) f ( )d ]e st dt 2
00
f 2 ( )d
f (t 1
)1(t
)e st dt
0
0
令t , 则
t
L[
f (t 1
) f ( )d ] 2
0
f 2 ( )d
f ( )e d s ( ) 1
(7)时间比例尺定理
原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，
则象函数及其自变量都增加（或减小）同
样倍数。即：L[ f ( t )] aF (as)
证：
a L[ f ( t )] f ( t )est dt
a 0a
令t / a ,则原式 f ( )esa ad aF(as)
9
0
(8)卷积定理
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉 氏变换之和。 (2)微分性质 若 L[ f (t)] F(s) ，则有 L[ f (t)] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
2.常用函数的拉氏变换
数学知识回顾
(1)例1.求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。
F (s) Ae st dt
A e st
A
0
s
0
s
1
单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 s 。
(2)例2.求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。
lim lim
F (s) (t)est dt
0
0
f 2 ( )e s d
f ( )e s d 1
F (s)F (s)
2
1
0
0
即得证。
11
二.拉氏反变换
1. 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算
称为拉氏反变换。记为 L1[ F (s)] 。
由F(s)可按下式求出
f
(t)
L1[F (s)]
1
2
j
C j
C j
F (s)est ds(t
1 est dt
1 est
0
0 0
0 s
0
lim lim
1 (1 es )
1 (11 s 2s2 ) 1
0 s
0 s
1! 2!
1
e （3）例3.求指数函数f(t)= at 的拉氏变换
F (s) eat est dt e dt (as)t
1
e (sa)t
s
s
同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为
L[
f
(t)dt 2 ]
1 s2
F(s)
1 s2
f (1) (0) 1 f (2) (0) s
若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0
则有
L[
f
(t)dtn ]
1 sn
F (s)
即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象
函数除以 s n 。
6
（4）终值定理 lim f (t) lim sF(s)
证：设 h(t) f (t)dt 则有 h(t) f (t) 由上述微分定理，有
L[h(t)] sL[h(t)] h(0)
L[h(t)] 1 L[h(t)] 1 h(0) 1 L[ f (t)] 1 h(0)
s
s
s
s
1 F (s) 1 f 1(0)
s
s
5
即：
L[
f (t)dt] F (s) f 1(0)
f (0)
右边 lim[sF (s) f (0)] lim sF (s) f (0)
s0
s0
7
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
注：若 t 时f(t)极限 lim f (t) 不存在， t 则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦 函数就不能应用终值定理。
(5)初值定理：lim f (t) lim sF (s)
t
s0
原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。
证：由微分定理，有 L[ f (t)] f (t)est dt sF (s) f (0)
0
等式两边对s趋向于0取极限
左边
lim
f
(t)est dt
lim
f
(t)est dt
s0 0
0 s0
0
f (t)dt
f (t) 0
lim t
f (t)
依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏 变换 L[ f n (t)] snF(s) sn1 f (0) sn2 f (0) f n1(0)
4
(3)积分性质 若 L[ f (t)] F(s)
则
L[ f (t)dt] F (s) f 1(0)
s
s
式中 f 1 (0) 为积分 f (t)dt 当t=0时的值。
1
0
0
sa 0 sa
几个重要的拉氏变换
f(t)
F(s) f(t)
F(s)
δ(t) 1
sinwt
w (s2 w2 )
1(t)
1/s
coswt s
(s2 w2 )
t
1 s2
eat sin wt
w
(s a)2 w2
eat
1/(s+a)
eat cos wt
sa (s a)2 w2
2
❖ 3.拉氏变换的基本性质 (1)线性性质
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[
f
Hale Waihona Puke Baidu
(t)]
f
(t)est dt
s
f
(t)est dt
f
(t )e st
0
0
0
sF(s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t)] sL[ f (t)] f (0) s[sF (s) f (0)] f (0)
s2F (s) sf (0) f (0)
两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函
数的乘积。
即
t
L[
f (t 1
)
f 2
(
)d
]
F 1
(s)
F 2
(s)
0
t
t
证明： L[ f1(t ) f2( )d ] [ f1(t ) f2( )d ]estdt
0
00
t时，f1(t )1(t ) 0
t
f1(t ) f2( )d f1(t )1(t ) f2( )d
0)
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的 实部。
直接按上式求原函数太复杂，一般都用查 拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必 须是一种能直接查到的原函数的形式。 12
若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要 将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部 分分式的拉氏变换在表中可以查到。
t 0
s
证明方法同上。只是要将 s 取极限。
(6)位移定理：
a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延 迟 ，则其象函数应乘以 es L[ f (t )] es F (s) 8
b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，
原函数应乘以 eat
即： L[eat f (t)] F (s a)
0
0
10
t
L[
f (t 1
) f ( )d ] 2
0
[
f (t 1
)1(t
) f ( )d ]e st dt 2
00
f 2 ( )d
f (t 1
)1(t
)e st dt
0
0
令t , 则
t
L[
f (t 1
) f ( )d ] 2
0
f 2 ( )d
f ( )e d s ( ) 1
(7)时间比例尺定理
原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，
则象函数及其自变量都增加（或减小）同
样倍数。即：L[ f ( t )] aF (as)
证：
a L[ f ( t )] f ( t )est dt
a 0a
令t / a ,则原式 f ( )esa ad aF(as)
9
0
(8)卷积定理