材料力学第六章 弯曲变形

Fb x F ( x a ), L
Fb 2 F EI 2 EI 2 x ( x a ) 2 C2 2L 2 EI 2 Fb 3 F x ( x a)3 C2 x D2 6L 6
5、确定积分常数
ω
F a
EI 1
EI 1
EI 2
Fb 2 C1 ( L b 2 ) C2 , 6L
D1 D2 0
6、挠曲线方程 AC段 (0 x a) Fb 1 ( x) [3 x 2 ( L2 b 2 )], 6 LEI
Fb y1 ( x) [ x 3 ( L2 b 2 ) x], 6 LEI
3、代入各自的挠曲线近似微分方程中
M 1 ( x)
M 2 ( x)
Fb x, L
Fb x F ( x a), L
Fb EI 1 x, L
4、各自积分
Fb 2 EI1 EI1 x C1 2L EI 1 Fb 3 x C1 x D1 6L
EI 2
EI (F q ) M
总的近似微分方程：
EI M
分别计算出每一载荷单独引起的变形， 将所得的变形叠加即为载荷共同作用下引起的变形 ——叠加原理。
二、叠加原理的限制条件
叠加原理仅适用于线性函数， 要求挠度、转角是载荷的线性函数。 (1)、弯矩与载荷成线性关系; 梁发生小变形， 忽略各载荷引起梁的水平位移； (2)、曲率 与弯矩成线性关系; 梁处于线弹性范围内，满足虎克定律； (3)、挠曲线二阶导数 与 成线性关系;
0
连续性条件：
边界条件
ω A
P
B
a L C x
x 0: x L:
0
0
连续性条件
x a:
C
左
C 右
C 右
C
左
连续性条件：
ω C a L M
A
B
x
x a:
特别强调
C左 C右
C左 C右
在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。
例1：写出梁的边界条件、连续性条件： 边界条件 ω
证明
设弯矩
M ( x) M F M q
挠曲线 F q
分别满足各自的近似微分方程
M F EIF
将两个微分方程叠加
M q EIq
EIq M F M q EIF
M
q ) EI (F q ) EI (F
BC段 (a x L)
2 Fb F ( x a ) 2 ( x) [3x 2 ( L2 b 2 )] , 6 LEI 2
Fb L 3 2 2 y2 ( x) [ x ( L b ) x ( x a)3 ] 6 LEI 6
7、求转角
x0 xL
q
4、计算A截面的挠度和转角
A L
B
A截面处
x0
qL A 6 EI
qL4 A 8EI
3

1 1 3 1 3 ( qx qL ) EI 6 6
1 1 4 qL3 qL4 ( qx x ) EI 24 6 8
例2 一简支梁受力如
ω A x a
x
F B C L b x
案例1： 车削加工一等截面构件， 如果构件的的变形过大， 会加工成变截面；
案例2： 摇臂钻床简化为刚架， 如果钻床的变形过大，
受工件的反力作用； 不能准确定位。
车间桁吊大梁的变形
案例3： 车间桁吊大梁的过大变形
会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象； 还会引起较严重的振动；
２、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。 案例1：
左
C 右
C 右
C
左
讨论：挠曲线分段
（1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点； （2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；
（3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两
部分之间的相互作用力，故应作为分段点；
A
a
C
M
B
L
讨论：挠曲线分段
（4）凡分段点处应列出连续条件； 根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确 定的挠度和转角；

x
x
y
②：转角的物理意义
过挠曲线上点作挠曲线的切线 该切线与水平线的夹角为
tg
挠曲线在该点处的切线斜率； 挠曲线方程在该点处的一阶导数；
转角的正方向： 从x轴正向向切线旋转，逆时针转动为正。
4、挠曲线微分方程
中性层处曲率:
1


M ( x) EI
y
y f ( x)
d 2 2 dx 1
1
1
1 2 1.0 即梁处于小变形条件下;
三、叠加原理的特征
几种载荷共同作用下某截面的挠度和转角， 等于每种载荷单独作用下引起的同一截面挠 度、转角的向量和。
载荷叠加法 （查表法）
应用于多个载荷作用的情形
例1 已知：q、l、 EI，求：yC ,B
汽车板簧应有较大的弯曲变形, 才能更好的起到缓和减振的作用；
二、弯曲变形的物理量
拉伸
F
F
FN l l EA
T l G IP
扭转：
内 力 杆 件 长 度 弯曲变形的物理量如何？ 抗变形刚度
弯曲变形的物理量 1、挠曲线


x
2、挠度 3、转角 截面形心在力的方向的位移 ω 向上为正 截面绕中性轴转过的角度 挠度ω
A 1 x 0
B 2
Fb( L2 b 2 ) 6 LEI
Fab ( L a ) 6 LEI
xL
§6-4 用叠加法求弯曲变形
一、叠加原理
在小变形， 材料服从胡克定律的情况下，
挠曲线的近似微分方程 EI ( x) M ( x) 是线性的； 计算弯矩时，使用变形前的位置 弯矩 M ( x) 与载荷之间的关系 是线性的； 对应于几种不同的载荷， 弯矩可以叠加， 近似微分方程的解也可以叠加。
P
B a L C k
A
x
x 0:
0
FBy k
x L:
连续性条件
x a : C
C
左
C 右
C 右
左
例2：写出梁的边界条件、连续性条件：
边界条件 EA
x 0:
h B
0
FBy h EA
P A a L C
x L:
连续性条件
x a : C
5、挠曲线近似微分方程
在小变形的条件下，

1 ( x)
2
( x)
3

2
M ( x) EI z
挠曲线是一条光滑平坦的曲线， 转角 较小，
( x) ( x) 0
1 2 ( x) 1
故得挠曲线近似微分方程：
M ( x) ' ' EI
符号规定：
§6-1 工程中的弯曲变形问题 §6-2 挠曲线的微分方程 §6-3 用积分法求弯曲变形 §6-4 用叠加法求弯曲变形 §6-6 提高梁刚度的措施
§6-1 工程中的弯曲变形问题
一、为何要研究弯曲变形
M [ ] 仅保证构件不会发生破坏， Wz
但如果构件的变形太大也不能正常工作。 1、构件的变形限制在允许的范围内。
B3
wC 3
3ql 4 48EI
3、变形叠加
B B1 B 2 B3
3 ql3 ql3 ql3 11 ql 24EI 16EI 3EI 48EI
4 3 4 4 5 ql ( ql ) l 3 ql 11 ql C C1 C 2 C 3 384EI 48EI 48EI 384EI

逆时针为正
弯曲变形的物理量
+
转角
§6-2 挠曲线的微分方程
1、建立坐标系
y


x
2、挠曲线方程：
x
Xoy平面 就是梁的纵向对称面； 在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xoy面内 的一条平面曲线； 该曲线方程为 ：
f ( x)
3、挠度、转角物理意义
y

①：挠度的物理意义： 挠曲线在该点处的纵坐标；
在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。 M C A B
a 边界条件 L
x 0:
x al
0
0
0
连续性条件
x a:
C左 C右
例1悬臂梁受力如图所示。求 A 和 A 。
取参考坐标系 1、列写弯矩方程 ω A x
q
B x
1 2 M ( x) qx 2
(0 x L)
L
2、代入挠曲线近似微分方程中
' ' M ( x) EI z
6
1 EI ' ' qx 2 2
转角方程
积分一次： EI ' EI 1 qx 3 C
积分二次：
EI
1 4 qx Cx D 24
挠曲线方程
q
3、确定常数C、D. 边界条件：
A L
边界条件： x 0
xL
1 0
2 0
L
Fb 2 x C1 2L
Fb 3 x C1 x D1 6L
Fb 2 F x ( x a ) 2 C2 2L 2
x
连续条件：
xa
1 2
1 2
EI 2
Fb 3 F x ( x a)3 C2 x D2 6L 6
B
x L:
0
1 C qL3 6
0
1 4 D qL 8
1 EI ' EI qx 3 C 6
EI 1 4 qx Cx D 24
1 1 3 1 3 ( qx qL ) EI 6 6
1 1 4 qL3 qL4 ( qx x ) EI 24 6 8
d 2 M ( x) 2 dx EI z
转角方程
积分二次：
M ( x) ( dx)dx Cx D EI z
挠曲线方程
C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。
梁的边界条件
பைடு நூலகம்
悬臂梁：
ω L x
x 0:
0
0
梁的边界条件
ω
简支梁：
L
x
x 0: x L:
0
例2 用叠加法确定C和yC ?
w
w
w
w
w
w
ql3 C1 , 6 EI
ql 4 C 1 8EI
w
l 3 q( ) B2 2 , 6EI
c 2
C 2
l 4 q( ) l 2 B2 8EI 2
l B 2 B 2 2
M 0
d 2 0 2 dx
ω M x
M 0
d 2 0 2 dx
M 挠曲线为凸曲线 M x
ω M
挠曲线为凹曲线 弯矩M与二阶导数 y 符号一致。
M ( x) ' ' EI z
适用范围： 小变形。
挠曲线近似微分方程
§6-3 积分法求弯曲变形
挠曲线的近似微分方程 积分一次：
d M ( x) ' dx C dx EI z
ωC , B
1、载荷分解
2查表：单独载荷作用下
4 5 ql ql B1 , C1 384EI 24EI 3
(ql) l 2 ql3 B2 , 16EI 16EI (ql)l 3 wC 2 48EI (ql 2 ) l ql3 , 3EI 3EI
M ( x) EI

1
1

M ( x) EI z

1 y '
y ' ' ( x)
2
( x)

3
2
1 y'
y ' ' ( x)
2
( x)

3

2
1 ( x)
2
( x)
3
2
M ( x) EI z
挠曲线微分方程 瑞士科学家Jacbi.贝努利得到梁的挠曲线微分方程； 由于没有采用曲率的简化式， 且弹性模量E无定量结果， 故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。 适用于弯曲变形的任何情况。 该挠曲线微分方程是非线性的，
x
对于曲线 y=f(x) 在任一点处曲率
1


1 y '
y ' ' ( x)
2
( x)

3
2
（瑞士科学家Jacobi.贝努利得到） 平面弯曲的挠曲线 正好为xoy平面内的一条曲线， 所以曲线y=f(x)： 从数学上讲 是一条普通的平面曲线， 从力学上讲 就是梁发生弯曲变形的挠曲线。
挠曲线微分方程
图所示。试求 ( x), w( x)
和
A 。
Fa L
FAy
FBy
1、求支座反力
FAy
Fb , L
FBy
2、分段列出梁的弯矩方程 AC段 (0 x a)
Fb M 1 ( x) FA x x, L
BC段 (a x L)
Fb M 2 ( x) x F ( x a), L