27电磁场的边界条件解析
电磁场的边界条件
将⑧代入⑨，得： sin 2 cos 1 sin 1 cos 2 sin(1 2 ) rs sin 2 cos 1 sin 1 cos 2 sin(1 2 )
2n1 cos 1 ts n1 cos 1 n2 cos 2
对绝大多数物质， 1 2
所以得到方程：
E1 y z E1' y z E2 y z
z 0
⑥
代入边界条件，可得：
k1 cos 1 A1s k1' cos 1' A1' s k2 cos 2 A2 s
k1 k1' 整理得： cos 1 A1s cos 1' A1' s cos 2 A2 s k2 k2' k1 sin 2 将 代入上式，得： k2 sin 1
AB BC CD DA
针对麦克斯韦 方程组积分形 式的第三个与 第四个方程， 建立如左图模 型，积分可得
E2t CD ( E2 n DF E1n FA) 0
E1t E2t 同理可得 H1t =H 2t
电磁场边界条件
（1）电场强度E 在分界面上的平行分量连续。
从右图可以看出， 对于s光：
Ex 0 E y ES Ez 0
根据几何关系，可知：
k x k sin 1 , k y 0, k z k cos 1
对于单色平面光波： E0 e E
i[t ( k x x k y y k z z )]
将上面的结论带 i[1t ( k sin 1 x k cos1 z )] E E0 e 入方程可得： 对于s光，可以分解为：
i ( k2 sin 2 x )
【精品】第八讲：麦克斯韦方程组、电磁场的边界条件
第八讲：麦克斯韦方程组、电磁场的边界条件2.6麦克斯韦方程组2.7电磁场的边值关系1、了解麦克斯韦方程组的建立过程，掌握它的基本性质；2、了解边界上场不连续的原因，能导出电磁场的边值关系；3、掌握电磁场方程微分形式和边界形式的联系与区别。
重点：1)麦克斯韦方程组的基本性质;2)电磁场的边值关系 难点：电磁场切向边值关系的推导 讲授法、讨论 2学时2.6麦克斯韦方程组（Maxwell ’sEquations ）一、麦克斯韦方程1865年发表了关于电磁场的第三篇论文：《电磁场的动力学理论》，在这篇论文中，麦克斯韦提出了电磁场的普遍方程组，共20个方程，包括20个变量。
直到1890 年，赫兹才给出简化的对称形式：00001(1)(2)0(3)(4)BE E tE B B J tρεμμε⎧∂∇⋅=∇⨯=-⎪∂⎪⎨∂⎪∇⋅=∇⨯=+⎪∂⎩实验定律3、法拉第电磁感应定律4、电荷守恒定律12314dq dq dF RR πε=S D dS q ⋅=⎰0l E dl ⋅=⎰34JdV R dB R μπ⨯=0SB dS ⋅=⎰()0=⋅∇B CH dl I ⋅=⎰()JH =⨯∇tB E ∂∂-=⨯∇ 0=∂∂+⋅∇tJ ρ 0J ∇⋅≡对矛盾的解决麦克斯韦理论稳恒况缓变情况2、毕奥－沙伐尔定律1、库仑定律()/ερ=⋅∇E()=⨯∇E t S d B dt d S ∂⎰⋅∂-=Φ-= ε0S QJ dS t ∂⋅+=∂⎰→上式即为真空中的麦克斯韦方程组，其中（2）（4）含有对时间的偏导数，对应 运动方程，（1）（3）为约束方程。
二、麦克斯韦方程组的基本性质 1、线性性麦克斯韦方程组是一组线性方程，表明场服从迭加原理。
2、自洽性方程组各个方程彼此协调，且与电荷守恒定律协调。
如（2）式和（3）式一致：由（2）式有：()0=∂⋅∂∇-=⨯∇⋅∇tBE⇒C B =⋅∇ ，考虑到静磁时0=⋅∇B,所以取0=C 。
电磁场的边界条件与电磁波的辐射和传播
电磁场的边界条件与电磁波的辐射和传播[摘要]：本文结合相关示意图简要总结了电磁场的边界条件，在参考大量相关文献的基础上，由边界条件出发分析了交变电磁场传播的原理，联系实际解释了电磁场的辐射和传播。
关键字：电磁场；电磁波；边界条件；辐射；传播。
一、电磁场的边界条件电磁场在两种不同媒质分界面上，从一侧过渡到另一侧时，场矢量E、D、B、H一般都有一个跃变。
电磁场的边界条件就是指场矢量的这种跃变所遵从的条件，也就是两侧切向分量之间以及法向分量之间的关系。
电磁场的边界条件可以由麦克斯韦方程组的积分形式推出，它实际上是积分形式的极限结果。
这些边界条件是：n·(D1-D2)=ρs； (1)n×(E1-E2)=0； (2)n·(B1-B2)=0； (3)n×(H1-H2)=J)s。
(4)式中n为两媒质分界面法线方向的单位矢量，场矢量E、D、B、H的下标1或2分别表示在媒质1或2内紧靠分界面的场矢量,ρ为分界面上的自由电荷面密度,J为分界面上的传导电流面密度。
式(1)表示在分界面两侧电位移矢量D的法向分量的差等于分界面上的自由电荷面密度。
当分界面上无自由电荷时，两侧电位移矢量的法向分量相等,即其法向分量是连续的。
式(2)表示在分界面两侧电场强度E的切向分量是连续的。
式(3)表示在分界面两侧磁通密度B的法向分量是连续的。
式(4)表示在分界面两侧磁场强度H的切向分量的差等于分界面上的表面传导电流面密度。
当分界面上无表面传导电流时，两侧磁场强度的切向分量相等，即其切向分量是连续的。
当媒质2为理想导体时，E2、D2、B2、H2等于零，式(1)表示D1的法向分量等于自由电荷面密度；式(2)表示E1无切向分量.式(3)表示B1的法向分量为零；式(4)表示H1的切向分量等于表面传导电流面密度,并且与电流方向正交。
二、电磁波的辐射和传播电磁波的产生与发射是通过天线来实现的。
由振荡电路产生的强大交变讯号通过互感耦合到天线上，天线就有交变电流产生，如下图所示。
电磁场的源与边界条件
q 所趋近的极限值就定义为点 P 的电 V
(r ) lim
式中 r 是源点的位失。
V 0
q dq V dV
2、 电荷面密度 在实际问题中，常会遇到电荷分布在薄层内的情况，如果薄层的厚度趋近于零，可近似 认为电荷分布在曲面上， 可以用电荷面密度 S (r ) 来描述其分布。 设曲面 S 上任一面元 S 内所包围的电荷量为 q ，则 S (r ) 定义为
3、磁感应强度 B 的散度、旋度和边界条件 （1）磁感应强度 B 的散度 根据磁通连续性原理的微分形式可知恒定磁场为无散场，故
B0
磁通连续性原理表明自然界无孤立的磁荷存在。上式即为麦克斯韦第二方程的微分形式。 （2）磁感应强度 B 的旋度 根据安培环路定理可得恒定磁场的磁感应强度 B 的旋度为
二、
电流及电流分布
电荷做定向运动形成电流，通常以电流强度来描述其大小。在电磁理论研究中，常用到 体电流模型，面电流模型和线电流模型。 1、 体电流 电荷在某一体积内定向流动形成的电流成为体电流。体电 流在导体内某一截面的分布用电流密度矢量 J 来描述，其定义 为：空间任一点 J 的方向是该点正电荷运动的方向， J 的大小 等于通过该点与 J 垂直的单位面积的电流，即
Nqd dS P dS P endS
因此，穿出闭合面 S 的正电荷为 P dS 。与之对应，留在闭合面 S 内的极化电荷量为
S
q p P dS PdV
S V
又由于
qP P dV
V
故有
P P
（2）极化强度 P 的旋度 对于各向同性和线性介质，有 P e 0 E ，其中合成电场强度 E 为自由电荷产生的外 电场 E 0 和极化电荷产生的附加电场 E 的叠加，由于两种电场强度的旋度都为零，故
27-28静电场边界条件(10学时).
§2.8 导体系统的电容
电磁场与电磁波
1
§2.7 静电场的边界条件
问题的提出
一般情况下求电位或场强 两个“方程”：
无源——Laplace’s Equation 有源——Poission’s Equation
边值问题：在给定边界条件下求解偏微分方程。
边界条件就是不同介质(或导体)分界面两侧的场量之间 的关系。
边界条件的作用：
确定方程的解中的待定因素； 使方程通解成为适用于具体问题的特解。
电磁场与电磁波
2
边界的分类
边界的分类：
第1类: 已知整个边界上的电位
Dirichlet Problems 狄理赫利问题
第2类: 已知整个边界上电位的法导
Neumann Problems 纽曼问题
第3类: 已知部分边界电位+另一部分边界电位法 导
电磁场与电磁波
8
介质分界面上电位的连续性
a1n
b
E1
a E2
a2 n
1 2
b a lim E dl lim Em h 0
ba b h0
a
b a
电磁场与电磁波
9
电介质的边界条件-小结
1. 法向：
D1n D2n s
2. 切向：
a 3 2 (r ) 3 0 r
0ra ar
电场强度（球坐标梯度公式）：
E1 (r ) 1
1 r er er r 3 0
0ra
2 a 2 E2 (r ) 2 er e 2 r r 3 0 r
ar
对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程 积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由 得到电场强度 E E的分布。 电磁场与电磁波 12
电磁场的源与边界条件
根据安培环路定理可得恒定磁场的磁感应强度 B 的旋度为
当有磁介质存在时，上式变为
B 0J B 0 (J JM )
式中 J 为传导电流密度， J M 为磁化电流密度。
（3）磁感应强度 B 的边界条件 将积分形式的麦克斯韦第三方程应用于如图 4 所示的圆
柱，易得
en (B1 B2 ) 0 上式表明磁感强度的法向分量是连续的。
球的极限当带电体的尺寸相对于观察点至带电体的距离可以忽略时，就可以认为电荷分布于
带电体中心上，即将带电体抽象为一个几何点。点电荷的电荷密度分布可以用数学上的 (r )
来描述。
二、 电流及电流分布
电荷做定向运动形成电流，通常以电流强度来描述其大小。在电磁理论研究中，常用到 体电流模型，面电流模型和线电流模型。 1、 体电流
移矢量的切向分量是不连续的（两种介质的 通常不等）。
3、磁感应强度 B 的散度、旋度和边界条件
（1）磁感应强度 B 的散度 根据磁通连续性原理的微分形式可知恒定磁场为无散场，故 B0
磁通连续性原理表明自然界无孤立的磁荷存在。上式即为麦克斯韦第二方程的微分形式。 （2）磁感应强度 B 的旋度
即
故有
(P1 P2 ) enS SPS
en (P1 P2 ) SP 上式表明极化强度的法向分量是不连续的。一般情况下，其切向分量也不连续。
7、磁化强度 M 的散度、旋度和边界条件
7/9
电磁场与电磁波
第二章 电磁场的基本规律
学习报告
（1）磁化强度 M 的散度
对于各向同性和线性磁介质， M m H ，由于 H 的散度为零，故
自然界中存在两种电荷：正电荷和负电荷。带电体上所带的电荷是以离散的方式分布的， 任何带电体的电荷量都是基元电荷的整数倍，但在研究宏观电磁现象时，人们关注的是大量 微观带电粒子的整体效应，因此可以认为电荷是以一定形式连续分布的，并用电荷密度来描 述电荷的分布。 1、 电荷体密度
电磁场理论中的边界条件与边值问题解析研究
电磁场理论中的边界条件与边值问题解析研究引言：电磁场理论是物理学中的重要分支，广泛应用于电磁波传播、电路分析等领域。
其中，边界条件和边值问题是电磁场理论中的核心概念，对于解析研究电磁场的性质和行为具有重要意义。
本文将就电磁场理论中的边界条件与边值问题进行探讨。
一、边界条件的概念与分类边界条件是指电磁场在两个不同介质的交界面上需要满足的条件。
根据边界条件的不同形式，可以将其分为电场边界条件和磁场边界条件。
1. 电场边界条件电场边界条件是指电场在介质交界面上满足的条件。
其中，最基本的电场边界条件是法向分量的连续性条件，即电场的法向分量在两个介质交界面上的值相等。
此外，还有切向分量的连续性条件和切向分量的不连续性条件等。
2. 磁场边界条件磁场边界条件是指磁场在介质交界面上满足的条件。
与电场边界条件类似，磁场的法向分量在两个介质交界面上的值相等，即磁场的法向分量是连续的。
此外，磁场的切向分量也需要满足一定的条件，如切向分量的连续性条件和切向分量的不连续性条件等。
二、边值问题的解析研究边值问题是指在给定边界条件的情况下，求解电磁场的数学模型。
在电磁场理论中，边值问题的解析研究是十分重要的，可以帮助我们深入理解电磁场的行为和性质。
1. 边值问题的数学模型边值问题的数学模型是由麦克斯韦方程组和边界条件共同构成的。
通过求解这个数学模型，我们可以得到电磁场的解析解，从而揭示电磁场的基本特性。
2. 边值问题的解析方法边值问题的解析方法主要有分离变量法、格林函数法和辐射条件法等。
其中，分离变量法是应用最广泛的一种方法，它将电磁场分解为多个独立的分量，并通过求解每个分量的方程来得到整个电磁场的解析解。
格林函数法则是通过引入格林函数，将边值问题转化为积分方程的形式，从而求解电磁场的解析解。
辐射条件法则是在边界条件已知的情况下，通过辐射条件来求解电磁场的解析解。
三、边界条件与边值问题的应用边界条件与边值问题在电磁场理论的应用中起着重要的作用，可以帮助我们研究电磁波的传播、电路的分析等问题。
理论整理-电磁场的源与边界条件
D E
（3） 电位移矢量 D 的边界条件 利用积分形式的麦克斯韦第四方程可得
B t
en ( D1 D2 ) S
上式表明分界面上存在自由电荷面分布时，电位移矢量的法向分量是不连续的。 对于各向同性的介质，由于 D E ，且由于电场强度 E 的切向分量是连续的，故电位 移矢量的切向分量是不连续的（两种介质的 通常不等） 。
当存在时变的位移电流时，上式变为
H J
上式即为麦克斯韦第一方程的微分形式，表明磁 场的旋度源是传导电流和时变的位移电流。 （3）磁场强度 H 的边界条件 将麦克斯韦第一方程的积分形式应用到如图 5 所示的环路，可得磁场强度的边界条件为
D t
en ( H1 H 2 ) J S
dq d dV dt dt V 此方程即为电流连续性方程的积分形式。假定闭合面 S 所限定的体积 V 不随时间变化，上
S
J dS
式变为
S V
S
J dS
dq dV V t dt
应用散度定理， J dS JdV ，上式变为
5/9
学习资料
J S en lim
l 0
i di en l dl
面电流可以看作是体电流在某一方向线度趋近于 0 的 结果。 3、 线电流 分布与横截面积可以忽略的细线上的电荷沿细线定向流动所形成的电流称为线电流， 线 电流没有线电流密度矢量。长度元 dl 中流过电流 I ，则将 Idl 成为电流元。
6/9
学习资料
2017-9-25 周报 （姬应科）
电磁场与电磁波学习报告
为 p qd ， d 由负电荷指向正电荷。以 dS 为底， d 为斜高构成一个体积元 V dS d ，如 图 6 所示。只有电偶极子中心在 V 内的正电荷才穿出面元 dS 。设电介质中单位体积的分 子数为 N ，则穿出面元 dS 的正电荷为
电磁场的边界条件
电磁场与电磁波
第 2 章
电磁场的基本规律
§8
边界条件的推证 （1） 电磁场量的法向边界条件
ΔS
媒质1
en
S
媒质2
D1
Δh
在两种媒质的交界面上任取一
点P，作一个包围点P 的扁平圆柱 曲面S，如图表示。 令Δh →0，则由
P
D2
即 同理 ，由
S
D dS
d
x
π ez sin( z ) cos(t k x x) (A/m) 0 d k x E0
（2） z = 0 处导体表面的电流密度为
J S ez H
z 0
πE0 ey sin(t k x x ) 0 d
(A/m)
z = d 处导体表面的电流密度为
J S ( ez ) H
E1 ( z , t ) ex [60 cos(15 108 t 5 z ) 20 cos(15 108 t 5 z )] V/m
媒质2中的电场强度为
（1）试确定常数A的值;（2）求磁场强度 H 1 ( z , t ) 和 H 2 ( z , t ) ； （3）验证 H 1 ( z , t ) 和 H 2 ( z , t ) 满足边界条件。
H1 1 1 E1x E1 ey t 1 1 z 1 e y [300sin(15 108 t 5 z ) 100sin(15 108 t 5 z)] 0
将上式对时间 t 积分，得
1 2 7 8 H1 ( z , t ) ey [2 10 cos(15 10 t 5 z ) 10 7 cos(15 108 t 5 z )] A/m 0 3
电磁场的边界条件
也可以表示为标量形式：
可见， 的切向分量在不同的媒质分界面上不连续， H 与分界面上的传导电流面密度有关。
②、E 的边界条件
en
(E1 E2 ) 0 E E 1t 2t
结论： E 切向连续。
③ D 的边界条件
1
dv
n
D2
D1 h 0
D dS
s
2
电磁场的边界条件
1 什么是边界条件？
2 为什么要研究边界条件？ 3 如何讨论边界条件？
在两种不同媒质的分界面上，场矢量E, D, B, H
各自满足的关系，称为电磁场的边界条件。
在实际的电磁场问题中，总会遇到两种不
同媒质的分界面（例如：空气与玻璃的分界面、 导体与空气的分界面等），边界条件在处理电 磁场问题中占据着十分重要的地位。
或
B 1n B 2n D 1n D 2n
2.理想导体与介质的分界面，电导率 ， 假设I为介质，II为理想导体。 此时
E 2 0 , B 2 0, D 2 0, H 2 0
en en en en
H1 Js E1 0 B1 0 D 1 ρ s
dS )
由于
D t
有限，故 lim S
h 0
D t
dS 0
而 lim
h 0
J dS
s
h 0
lim
(J S )
h 0
lim
( J e p l h ) J s e p l
en ( H 1
H2) Js
H 1t H 2t J s
数
, ,
2-7 电磁场的边界条件
ห้องสมุดไป่ตู้
解： ⑴ 电介质分界面，分界面上 E 的切向分量连续，z 0 处
E1 (0, t ) ex [60cos(15108 t ) 20cos(15108 t )]V / m ex 80cos(15108 t )V / m
E2 (0, t ) ex Acos(15108 t ) V / m
2.7
电磁场的边界条件
求解由不同媒质所构成的各区域中的电磁场问题。
电磁场矢量 E、 D、 H、 B 在不同媒质分界面上各自满足的关系，称为
电磁场的边界条件。
1. 磁场强度 H 的边界条件
在媒质分界面上，包围P点作一矩形回路l 。 令 l2 0，根据麦氏第一方程 D 1 1 1 2 2 2 l H dl SJ dS S t dS H dl ( H1 H 2 ) e dl H dl 0 ep l l2 l1 en D lim dS 0 lim J dS J e p dl e S h 0 t S l1 h 0
顶面
D1 en dS
D2 en dS S dS
S
可得 en ( D1 D2 ) S
D1n D2n S
D 的法向分量不连续。
当 S 0 时，
en ( D1 D2 ) 0
D1n D2n 0
磁场矢量穿过不存在面电流的分界面时，方向发生变化与磁介质
参数的关系。
总结：电磁场的边界条件 ①在两种媒质分界面上，如果存在面电流，使 H 的切向分量不连续， 其不连续量由 en ( H1 H 2 )确定。若分界面上不存在面电流，则 JS 的切向分量是连续的。 H
电磁场边界条件
解：（1）磁场强度
r
Q
r E
0
H t
ex
E y z
ez
Ey x
0
H t
可求得
r
H t
E0
0
r [ex
d
cos(
d
z)
cos(t
kx)
r ez
k
sin(
d
z)sin(t kx)]
r H
r ex
0d
E0
cos(
d
z) sin(t
r kx) ez
k
0
E0
sin(
d
z) cos(t
kx)
2）两导体表面的面电流密度
D2 )
0
s
相应的标量形式为
H1t H2t B1n B2n
E1t E2t D1n D2n
2.7.2 两种特殊情况的边界条件
1、理想导体表面上的边界条件
理想导体是指σ→∞，所以在理想导体内部不存在电场
。此外，理想导体内部也不存在磁场。理想导体内部不存 在电磁场，即所有场量为零。设 e是n 理想导体的外法向矢
θ1=1.09°，B1 / B2=0.052。由此可见，铁磁材料内部的磁感应强 度远大于外部的磁感应强度，同时外部的磁感应线几乎与铁磁 材料表面垂直。
例1、在两导体平板（z=0和z=d）之间的空气中传播的
电磁波，已知其电场强度为
r E
ery E0
sin(
d
z) cos(t
kx)
式中k为常数，求：（1）磁场强度；（2）两导体表面的面电流 密度和面电荷密度。
s
en
D |zd
ez
D |zd
电磁场三类边界条件
电磁场三类边界条件电磁场三类边界条件电磁场的边界条件是指在介质边界处，电场和磁场的变化情况。
根据边界条件的不同，可以将其分为三类：第一类边界条件、第二类边界条件和第三类边界条件。
下面将详细介绍这三类边界条件。
一、第一类边界条件第一类边界条件也称为零法向电场和零切向磁场边界条件。
它是指在介质表面上，法向于表面的电场强度和切向于表面的磁感应强度均为零。
1. 零法向电场在介质表面上，由于介质内部和外部存在不同的电荷分布情况，因此会产生一个法向于表面方向的电场。
而当这个电场穿过介质表面时，就会发生反射和折射现象。
为了描述这种现象，我们需要引入一个重要的物理量——法向于表面方向上的电通量密度。
根据高斯定理可知，在任意一个闭合曲面内部，通过该曲面的总电通量等于该曲面所包围空间内部所有自由电荷之代数和。
因此，在介质表面附近，我们可以将其看作一个微小的闭合曲面。
则在该曲面上的电通量密度可以表示为：$$\vec{D_1}\cdot\vec{n}=\rho_s$$其中，$\vec{D_1}$表示介质1内部的电位移矢量，$\vec{n}$表示介质表面法向矢量，$\rho_s$表示表面自由电荷密度。
当我们将这个式子应用于介质表面时，可以得到：$$D_{1n}=\rho_s$$其中，$D_{1n}$表示介质1内部法向于表面方向上的电场强度。
由于介质表面上不存在自由电荷，因此$\rho_s=0$。
因此，在第一类边界条件下，法向于介质表面方向上的电场强度为零。
2. 零切向磁场在介质表面上，由于介质内部和外部存在不同的磁场分布情况，因此会产生一个切向于表面方向的磁感应强度。
而当这个磁场穿过介质表面时，就会发生反射和折射现象。
为了描述这种现象，我们需要引入一个重要的物理量——切向于表面方向上的磁通量密度。
根据安培环路定理可知，在任意一个闭合回路上，通过该回路的总磁通量等于该回路所包围空间内部所有电流之代数和。
因此，在介质表面附近，我们可以将其看作一个微小的闭合回路。
电磁场的边界条件(一)
1. 电场法向分量的边界条件 2. 电场切向分量的边界条件 3. 标量电位的边界条件
决定分界面两侧电磁场变化关系的方程称为边界条件。
1.电场法向分量的边界条件
如图所示，在柱形闭合面上应 用电场的高斯定律
= & •0A5 +爲・Z)2冨= Qs勇 故： 疋占1兰対.刀2二用
风=01.小=（葯久+歯a y+歯a）
“=廁=顷2 ” a + 弟 a y + 弟 a z)
E、t = E、_E\
=(—a -
124 ay+95 az)
n
50 a 50
y 50
得:
EH = E,t
"l 3 n = S0E2 n
D\n — D2n = 0
E2n = (279 八aa + 372人ay + 465 az) 50 50 50
Ez= E2, + "5.72% + 4.960, + 11乓
小结:
1. 电场法向分量的边界条件Dm -D2n = PS
2. 电场切向分量的边界条件EH = At
域 。 3. 标量电位的边界条件
|s =
2I
-f 愛dS = _^MAh = 0 Js d t
dt
故: Eit = E2t 或 n x （瓦-瓦）=0
因为：D = sE
该式表明，在分界面上电场强度的切向分量总是连续的。
D\t _ D2t ^2
若媒质□为理想导体时：E1t = 0
面上取两点，分别 为爾站，如图，从标量电位的物理意 义出 发
例1:试求两个平行板电容器的电场强度。 解：
最新27-28静电场边界条件10学时汇总
22r12dd(rr2dd2r)0
(ar)
积分之，得通解
1(r)6r02 C1 1r C2
边界条件
1ra
2 ra
2(r)Cr3 C4
1 r
r0 0
0r1 ra0r2 ra
2 r 0 参考点电位
电磁场与电磁波
10
解得 C1 0 C4 0
电位：
a2
a3
C31(r)2 06,0C(32a2 3r02)
E•dl 0
c
E 1 Δ l 1 E 2 Δ l 2 E 1 t Δ l E 2 t Δ l 0
E1t E2t
电磁场与电磁波
7
介质分界面上电位的连续性
a1n
E1
b
1
a 2
a2n
E2
a ba lb i m abE d l lh i m 0E m h 0
b a
电磁场与电磁波
8
电介质的边界条件-小结
0ra
2(r)3 a03 r
ar
电场强度（球坐标梯度公式）：
E 1 ( r ) 1 r 1 e r 3 r 0 e r
0 r a
E 2 (r ) 2 r 2e r 3 a 0 r 2 2e r a r
对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程
Ear
U lnba
1 r
单位长度上内导体Q ?
QS?
1 a
b
Q D 1 [a] D 2 [a (2) ] ? U
2
CQ 0(2)
0
U
lna b()
电磁场与电磁波
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一般同轴线的电容
a
b
U
电磁场边界条件的推导
电磁场边界条件的推导
电磁场边界条件的推导
一、电磁场传输方程的边界条件
1、定义
电磁场传输方程的边界条件，是指根据电磁场传播方程的数学形式，推导出它需要满足的边界条件的过程。
它是一个物理模型，用来描述电磁场在实际应用中的变化。
2、分析
电磁场传输方程是用来描述电磁场在介质中传播的实际方程，可表示为：
E/t = c~2 ~2E + u E
其中，E/t是电磁场强度变化的函数，c~2是介质的绝缘度，~2E 是位移电场的梯度，u是电荷的电位。
由于电磁场在介质内传播时，要满足以下几种边界条件：
（1）空气两侧的边界条件：空气电磁场的传播在两端要满足有限性条件，即对应的电场线不能漫出介质的边界；
（2）介质边界的边界条件：介质边界处电磁场的传播要满足平衡性条件，即电磁场在介质内外应当是平衡的，而且传播的电磁场线不应改变方向；
（3）源场点的边界条件：源场点的边界条件是指传播电磁场的源场的表示，即源场电磁场的两端均具有有限的电场和磁场强度。
三、总结
电磁场传输方程的边界条件是指，根据电磁场传播方程的数学形式，推导出所需满足的边界条件。
电磁场传输方程的边界条件主要有空气两侧的边界条件，介质边界的边界条件和源场点的边界条件。
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H1t H2t JS E1t E2t B1n B2n
D1n D2n S
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分界面上的自由电荷面密度
电磁场与电磁波
第 2 章 电磁场的基本规律
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边界条件的推证
（1）电磁场量的法向边界条件
媒质
在两种媒质的交界面上任取一 1
点P，作一个包围点P 的扁平圆柱
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第 2 章 电磁场的基本规律
1
2.7 电磁场的边界条件 • 什么是电磁场的边界条件?
ern
媒质1
ert
媒质2
实际电磁场问题都是在一定的物理空 间内发生的，该空间中可能是由多种不同 媒质组成的。边界条件就是不同媒质的分 界面两侧的电磁场物理量满足的关系。
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eeerrrnnn ern
rr r (Hr 1 Hr 2) JS (rE1 rE2) 0 (Br1 Br2) 0 (D1 D2) S
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errn en r en ern
rr Hr 1 JS rE1 0 Br1 0
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（2）电磁场量的切向边界条件
左边在=C分(HH界1面dlH两2侧) S，(lJ选取如Dt)图 d所S示附的A录小AB1.环1式C路： ，媒令质1ΔhΔ→lr er0erp，n 则H：er1t Δh
l ep enl
媒质2
r ern Δl
er p
E2
E1
ert
Δh
则： en (E1 E2 ) 0
或 E1t E2t
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2.7.2 两种常见的情况
r
1. 两种理想介质分界面上的边界条件
en
在两种理想介质分界面上，通常没有电荷和电
流分布，即JS＝0、ρS＝0
(Br1 ( D1
Br2 ) D2 )
0 0
或
H1t H2t
E1t B1n
E2t B2n
D1n D2n
H的切向分量连续
E的切向分量连续 B的法向分量连续 D的法向分量连续
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方向角：
同理可证：
tg1 1 tg2 2
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r
2. 理想导体表面上的边界条件
en
理想导体：电导率为无限大的导电媒质
媒质1
r et
特征：理想导体内没有电磁场
媒质2
设媒质2为理想导体，则E2=D2=H2=B2=0 则理想导体表面上的边界条件为：
r dl
r JS
erpl
0
故得：[ern
r (H1
r H
2
)]
er p
l
r JS
erpl
或en H 1(tH1
H
H
2t
2)
JS
J
S
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同理由MEⅡ可证明电场的边界条件： 媒质
1
B
C E dl S t dS 0 S 0
媒质
2
曲面S，如图表示。（Δh →0）则：
ΔS
en
D1
S P Δh
D2
S D dS V ρdV
(D1 D2 ) enS SS
即： en (D1 D2 ) S
同理 ，由 B dS 0 S 中国矿业大学
或 D1n D2n S en (B1 B2 ) 0 或 B1n B2n
D1 S
H1t Js
或
E1t B1n
0 0
D1n S
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H1t Js
E1t B1n
0 0
理想导体表面上的电流密度等于 H的切向分量 理想导体表面上 E的切向分量为0 理想导体表面上 B的法向分量为0
tg1
tg2 tg1
1 2 1
tg2 2
媒质 1
媒质 2
ern 1
2
证明： Q D1n D2n
1E1n 2 E2n
1E1 cos1 2 E2 cos2
又Q E1t E2t
E1 sin1 E2 sin2
tg1 1 tg2 2
D1n S
理想导体表面上的电荷密度等于 D的法向分量
“电立不躺，磁躺不立”
——在导体的表面处，理想介质中的电场只有法向分量 而磁场只有切向分量。
dS
dS
ern
媒质1
媒质2
ert
S D dS V ρdV
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边界条件的一般形式：
分界面上的自由电流面密度
errn ern en ern
rr r (Hr 1 Hr 2) JS (rE1 rE2) 0 (Br1 Br2) 0
eeerrrnnn ern
rr r
(Hr 1
H r
2
)
J
S
(rE1 rE2) 0
(Br1 Br2) 0
(D1 D2) S
媒质 1
媒质 2
errn en r
r (Hr 1 (rE1
r
H r
2
)
0
rE2 ) 0
en ern
B (C A) 媒质2
H2
(C A) B
(H1 H2 ) l (H1 H2 ) (ep en ) l [en (H1 H2 )] epl
r r
右边= J dS
r 2t 43
s0
l
r JS
2
本节内容
2.7.1 边界条件一般表达式 2.7.2 两种常见的情况
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3
2.7.1 边界条件一般表达式
C
C S
H dl S (
E dl S
B dS 0
J
B t
D ) t