测量(金字塔高度、河宽)问题

相似三角形应用举例学案

一、学习目的:

1．进一步巩固相似三角形的知识．

2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．

3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．

二、重点、难点

1．重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．2．难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．

三、学习过程

（一）知识链接

1、判断两三角形相似有哪些方法?

2、相似三角形有什么性质？

（二）探索新知

1.问题1：

学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？你有什么办

法测量？

2.世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？

胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？

（三）知识应用

例 1.据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．

如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．（思考如何测出OA的长？）

分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．

解：

课堂练习

在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米? （在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．）

问题：估算河的宽度，你有什么好办法吗？

例2.如图，为了估算河的宽度，我们可以在

河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，

使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着

在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的

点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b

的交点R．如果测得QS = 45 m，ST = 90 m，

QR = 60 m，求河的宽度PQ．

分析：设河宽PQ 长为x m ，由于此种

测量方法构造了三角形中的平行截线，故可 得到相似三角形，因此有ST

QR

PS PQ =， 即

90

60

45x x =+．再解x 的方程可求出河宽． 解：

课堂练习

如图，测得BD=120 m ，DC=60 m ，EC=50 m ，求河宽AB 。

结合此题写出测量河宽的方案。

例3.已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m 和CD=12m ，两树的根部的距离BD=5m ，一个身高1．6m 的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L 从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C ？

（四）回顾与反思．

谈谈本节课你有哪些收获．

（五）当堂检测

1.如图，这是圆桌正上方的灯泡（当成一个点）发出的

光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面为1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为多少？

2.为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使AC⊥AB，在AC 上找到一点D ，在BC 上找到一点E,使DE⊥AC，测出AD=35m ，DC=35m ，

DE =30m,那么你能算出池塘的宽AB 吗? E 3.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这

两棵树之间还有三棵树，则河宽为 米．

4.如图，已知零件的外径a 为25cm ，要求它的厚度x ，需先求出内孔的直径AB ，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）去量，若OA:OC=OB:OD=3，且量得CD=7cm ，求厚度x 。

5 .如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在 AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？

B

N

M

Q P E

D C

B A

A