数学分析二知识点总结

数学分析二知识点总结

1. 函数列的收敛性：对于一列实函数{f_n(x)}，研究其各种收敛性

概念。点wise收敛、均匀收敛、几乎处处收敛等。并研究收敛函数的性

质和性质与各种收敛性的关系。

2.序列与函数的一致收敛性：研究函数列和函数序列的一致收敛性。

定义一致收敛，讨论一致收敛的性质，研究一致收敛性与各种极限的关系，以及一致收敛性与函数列、函数序列的运算。

3.无穷级数：研究无穷级数的性质和收敛性。包括正项级数的收敛判

别法，相对收敛性和绝对收敛性的概念与判断方法，以及收敛级数的性质（如正项级数的可加性和乘性和级数的收敛域）。

4.一致收敛级数的性质：研究一致收敛级数的性质和运算法则。包括

可逐项积分、可逐项微分、可逐项求和等。

5.可积函数与一致收敛级数的关系：研究可积函数与一致收敛级数的

关系。包括一致收敛级数在区间上的连续性、可逐项积分导数（或小定理）、可积函数级数的可逐项求和等。

6.点集拓扑：介绍点集拓扑的基本概念和性质。研究拓扑空间、度量

空间、连续映射、紧性等概念。

7.紧致性：研究集合紧致性，包括紧集合的性质、紧集合的判定、紧

致性在拓扑空间中的性质和应用等。

8.一致连续性与紧致性：研究一致连续性与紧致性的关系。证明一致

连续函数在紧致集内一致连续，以及紧致集上的连续函数的一致连续性。

9.一致连续函数的等价刻画：研究一致连续函数的等价刻画定理，比较不同刻画方法的优劣以及与其他函数性质的关系。

10.极限函数的一致连续性：研究极限函数的一致连续性与原函数的一致连续性的关系。证明原函数的一致连续性在全体点和紧致集上一致极限函数都是一致连续的。

11.齐一致收敛：研究级数齐一致收敛的概念与性质。证明齐一致收敛级数可逐项微分、一致积分，且具有所得可逐项积分或微分等性质。

12.函数序列的逐点收敛性与一致收敛性的关系：讨论函数序列的逐点收敛与一致收敛的关系。证明逐点收敛到连续函数的函数序列是一致收敛的。

以上只是数学分析二的一些主要知识点总结，该科目还包含其他更深入和复杂的理论和方法，如不完备空间、类连续函数、紧性判定定理等。所以学好数学分析二需要不断地巩固基础知识，理解概念和定理的内涵，以及掌握运用各种理论和方法解决实际问题的能力。