同余的基本概念和性质PPT课件

的形式，再利用式(2)。
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第一节 同余的基本性质
例2 求 Nan 1an2 a1a0被7整除的条件，并 说明1123456789能否被7整除。
解 100 1, 101 3, 102 2, 103 1 (mod 7),因 此
N a n 1 a n 2 a 1 a 0a 2 a 1 a 010 0a 5 a 4 a 313 0 a 2 a 1 a 0 a 5 a 4 a 3 a 8 a 7 a 6 (m 7 )， od
(ⅱ) a b (mod m), k > 0, kN
ak bk (mod mk)；
(ⅲ) a b (mod mi )，1 i k a b (mod [m1, m2, , mk])；
(ⅳ) a b (mod m) (a, m) = (b, m)；
(ⅴ) ac bc(modm), (c, m) =1 a b (mod m).
由上式可得到结论(ⅰ)。
结论(ⅱ)，(ⅲ)用同样方法证明。
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第一节 同余的基本性质
为了证明结论(ⅳ)，只需利用式(2)及 100 1，101 3，102 4，103 1， (mod
13) 和
N a n 1 a n 2 a 1 a 0 a 2 a 1 a 0 1 0 a 5 0 a 4 a 3 1 3 0 .
§3. 1 同余的概念和性 质
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第三章 同 余
• 同余是数论中的一个基本概念。本 章除介绍同余的基础知识外，还要 介绍它的一些应用。
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第一节 同余的基本性质
定义1 给定正整数m，如果整数a与b之差被m整 除，则称a与b对于模m同余，或称a与b同余， 模m，记为 a b (mod m)， 此时也称b是a对模m的同余
即 7 |N 7 |a 2 a 1 a 0 C HEa NL5 Ia 4 a 3 a 8 a 7 a 6 15
第一节 同余的基本性质
由于 789 456 123 1 = 455，7455，
所以71123456789。
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第一节 同余的基本性质
例3 说明 225 1 是否被641整除。
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第一节 同余的基本性质
注: 一般地，在考虑使 Nan1an2 a1a被0m
除的余数时，首先是求出正整数k，使得
10k 1或1 (mod m)，
再将 Nan1an2 a1a 写0成
N a k 1 a k 2 a 1 a 0 1 0 a 0 2 k 1 a 2 h 2 a k 1 k 0
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第一节 同余的基本性质
例4 求(25733 46)26被50除的余数。 解 (25733 46)26 (733 4)26 = [7(72)16 4]26 [7( 1)16 4]26 = (7 4)26 326 = 3(35)5 3(7)5 = 37(72)2 21 29 (mod 50)，
如果整数a与b之差不能被m整除，则称a
与b对于模m不同余，或称a与b不同余，模m，
记为 a b(mod m)。
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第一节 同余的基本性质
定理1 下面的三个叙述是等价的： (ⅰ) a b (mod m)； (ⅱ) 存在整数q，使得a = b qm； (ⅲ) 存在整数q1，q2，使得a = q1m r，
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第一节 同余的基本性质
因此
m(a c) (b d)，
此即结论(ⅰ)；
(ⅱ) 由式(1)及定理1可知，存在整数q1与q2 使得
因此
a = b q1m，c = d q2m，
ac = bd (q1q2m q1d q2b)m，
再利用定理1，推出结CH论ENL(Iⅱ)。证毕。
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第一节 同余的基本性质
证明 留作习题。
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第一节 同余的基本性质
定理3 设a，b，c，d是整数，并且
a b (mod m)，c d (mod m)，
(1)
则
(ⅰ) a c b d (mod m)；
(ⅱ) ac bd (mod m)。
证明 (ⅰ) 由式(1)及定义1可知
ma b，mc d，
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b = q2m r，0 r < m。
证明 留作习题。
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源自文库
第一节 同余的基本性质
定理2 同余具有下面的性质： (ⅰ) (自反性) a a (mod m)； (ⅱ) (对称性) a b (mod m) b a (mod m);
(ⅲ) (传递性) a b，b c (mod m) a c (mod m)。
定理4 设ai，bi（0 i n）以及x，y都是整数， 并且
x y (mod m)，ai bi (mod m)，0 i n，
则
n
n
aixi biyi(momd).
(2)
i0
i0
证明 留作习题。
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第一节 同余的基本性质
定理5 下面的结论成立：
(ⅰ) a b (mod m), dm, d>0 a b (mod d);
解 依次计算同余式
22 4，24 16，28 256，216 154，232 1
因此
(mod 641)。
225 1 0 (mod 641)，
即641 225 1。
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第一节 同余的基本性质
注: 一般地，计算ab (mod m)常是一件比较繁 复 的 工 作 。 但 是 ， 如 果 利 用 Euler 定 理 或 Fermat定理（见第四节）就可以适当简化。
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第一节 同余的基本性质
证明 结论(ⅰ)—(ⅳ)的证明，留作习题。 (ⅴ) 由
ac bc (mod m)
得到m c(a b)，再由(c, m) = 1和第一章第三
节定理4得到m a b，即
证毕。
a b (mod m)。
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第一节 同余的基本性质
例1 设N =是整数N的十进制表示，即 N = an10n an 110n 1 a110 a0 ，则
(ⅰ) 3|N
n
3 | ai;
i0
(ⅱ) 9|N
n
9| ai;
i0
(ⅲ) 11|N
n
11| (1)i ai ;
i0
(ⅳ) 13|N 1|3 a2a CH1Ea N0 LIa5a4a3 . 11
第一节 同余的基本性质
证明 由 100 1，101 1，102 1， (mod 3)
及式(2)可知 N =(mod 3)，