瞬时速度与导数教案

t t

t t ∆--=∆∆-∆-=9.41.139.41.132

（2）求出当0001.0,001.0,01.0,1.0=∆t ，… 时质点的平均速度； 求出当0001.0,001.0,01.0,1.0----=∆t ，… 时质点的平均速度；

时间区间 ([]t ∆+2,2) 时间间隔（0>∆t ）

平均速度（v ） []1.2,2

[]01.2,2

[]001.2,2

9

[]0001.2,2 1 49 []00001.2,2

01 049 ……

……

……

时间区间 ([]2,2t ∆+) 时间间隔（0<∆t ）

平均速度（v ）

[]2,9.1 []2,99.1

[]2,999.1 1 []2,9999.1 51 []2,99999.1

951 ……

……

……

观察平均速度v 随t ∆的变化趋势

问题2 当t ∆的绝对值无限趋近于零时，平均速度会无限趋近于一个确定的值，我们能用解析式表示这种变化趋势吗 引入极限符号 观察数列1，

21，31，……，n

1

，……

当n 无限变大时，n

1会无限趋近于0。我们用极限符号01

lim =∞→n n 表示。

练习1.=+

∞

→)3

1(lim n

n 设函数12)(+=x x f 当x 无限趋近于1时，)(x f 的变化趋势是什么 用极限符号表示3)12(lim 1

=+→x x

练习2.=∆--→∆)9.41.13(lim 0

t t

问题3 由平均速度的变化趋势，我们能求出运动员在t=2时的瞬时速度吗 平均速度可以作为时刻t=2时的瞬时速度的近似值 近似值的精确度与什么有关 当t ∆无限接近于0时平均速度v 的变化趋势是什么

④现在可以求出运动员在t=2时的瞬时速度

构建导数概念

问题1 从函数的变化率的角度看问题，平均速都是函数的平均变化率，那瞬时速度应该是什么呢

问题2 你能给出函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率的定义吗 一般地，函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是

x x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim

0000

问题3 除瞬时速度外，很多科学问题和其他问题也可以用函数的瞬时变化率来表示。我们应该以什么样的态度面对这样的问题 一般地，函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是

x x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim

0000

我们称它为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0x f '。 即x

x f x x f x y

x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim

)(00000

【知识迁移】

试问运动员在多长时间后向上的速度为0（向上的速度为0，意味着什么，你能计算出远动员距离水面的最大高度吗）