第七章 弹性力学【VIP专享】

z
dz)dxdy zxdxdy
Xdxdydz
0
由：Fy 0和Fz 0可得类似表达式，整理并两边除以
dxdydz ，注意到剪应力互等关系，得：
x yx zx X 0 x y z
xy y zy Y 0
x
y
z
（7-1）
xz yz z z 0 x y z
三、物理方程：(广义虎克定律）
x
1 E
[ x
(
y
z )]
y
1 E
[
y
( z
x )]
z
1 E
[
z
(
x
y )]
yz
2(1 E
)
yz
zx
2(1 E
) zx
若： x
y
（7-12）
xzy
yz
xz
[ x y z xy yz xz]T
xy
2(1 E
) xy
则：物理方程用矩阵表示： C （7-12A）
x
v y
w v u z x y
w v y z
x y
w
v
y z
u
z
w
x
（7-8)
u z
w T
x
二、变形相容方程（协调方程）
空间中，不同平面间应变分量的关系。即变形连续 性条件。
2 x
y 2
2 y
x2
2 xy
xy
2 2 x ( yz xz xy )
yz x x y z
2 y
z 2
2 z
y 2
2 yz
yz
2 2 y ( xz xy yz )
xz y y z x
2 z
x 2
2 x
z 2
2 xz
xy
2 2 z ( xy yz xz )
xy z z x y
其中左边三个形式上是类似的，第一个为平面问题的
连续性方程。（推导见§2-8）
右边三式可按第一式由xy z x轮换字母获得。
§7-3物体内任一点的应力状态 一、任一平面上的应力：
设任一点P的6个应力分量已知
x , y , z , yz zy ,
n C
zx zx , xy yx
求：经过P点的任一 斜截面的应力
设平面为ABC,外法线为 n，其方向余弦为：
n
yx xy
x
z y yz P n xz
由对三根轴的合力矩分别为零，可证明剪应力互等。 （7-1）为空间问题的平衡方程。
独力未知函数为6个，平衡方程数目为3个，问题是超 静定的。须考虑几何、物理方面关系。
§7-2几何及物理方程
一、几何方程 平面问题中，通过研究度oxy平面内平行于x轴、y 轴 的线元dx和dy的变形得到几何方程，若用同样的方法分 析oyz、ozx两平面内相应线元的变形，可得类似的方程。 在小变形情况下，在推导过程中，忽略第一次变形在以后 变形过程中的影响。可得下式：
u , x x
v , y y
w z z
v u ,
xy x y
w v , yz y z
u w xz z x
（7-8）
如用矩阵表示：
应变列阵： 几何方程：
x
y
z x
y
x
y
z
xy yz
T xz
yz
xz
u
x
v
y
w
z
v
u
u
Xn
Sn
yz P n zxxz
A zy
B
由四面体PABC的平衡 x
Fx 0
y z
X nS xS yxmS zxnS XV 0
1 E
[(1
)
x
(
x
y
z )]
1 E
[(1
)
x
]
解出：
x
1
1
(E
x
)
e
1 2
E
(7-13)
Ee
将（7-13）代入后：
1 2
x
E
1
( 1 2
ex)
同理有其他： y
E
1
( 1 2
ey)
z
E
1
(
1 2
ez)
yz
E 2(1
)
yz
空间问题：
xz
E 2(1
)
xz
xy
E 2(1
)
xy
第七章 空间问题的基本理论
§7-1平衡微分方程
应力分量：
{}={x;y;z;xy;xz
;yz}
体力分量：
xx
{X}={X;Y;Z}
z
z
zx zy
xz yz
xy
yx
y y
在物体内的任意一点P，取PA=dx，PB=dy，PC=dz，割 取一平行六面体，研究应力逐点变化的规律。
z
z z
dz
zx
B
zx
A zy
cos(n, x) , cos(n, y) m,
cos(n, z) n
x
y
z
设三角形ABC面积为：S ABC S
C
n
则： SBPC S
SAPC mS
SBPA nS
若：ABC面上的总应力为Sn 其在坐标轴上的投影为：z
X n ,Yn , Zn
y
n x
yxZn xy Yn
（7-14）
基本未知函数15个：
应力分量（6个）： x , y , z , yz zy , zx zx , xy yx
位移分量（3个）： u, v, w
应变分量（6个）： x , y , z , yz zy , zx zx , xy yx
基本方程15个： 平衡微分方程3个（7-1）；几何方程6个（7-8）；物理 方程6个（7-12）。加上边界条件可解空间问题。
0 0 0
0
0
1 2
2(1
)
注意： [D]=[C]-1
四、体积应变： e x y z 体积应变
由（7-12A)： e x y z
1 2
E
(
x
y
z
)
令：σx+ σy +σz=Θ
体积应力
e x y z
1 2
E
(7-13)
E 体积弹性模量
1 2
物理方程的另一形式：
由： x
式中：
1 0
0
0
1
0
0
0
[C]
1 E
0
0
1 0
0
2(1 )
0 0
0
0
0 0 0
0 2(1 ) 0
0 0 0
0
0
2(1
)
用应变表示应力：x
E(1 ) (1 )(1 2)
(
x
1
y
1
z
)
y
E(1 ) (1 )(1 2)
( y
1
x
1
z)
z
E(1 ) (1 )(1 2)
zx
z
dz
zy
zy
z
dz
z 0
y
y
yx yz
xy
x
yz
yz
y
dy
ZY X
xz
yx
y yx dy
y
y y
dy
zx zy
x
x
x x
dx
z
根椐平衡条件： Fx 0
xz
xzx
x
dx
x
x
x
dx dydz
xdydz
(
yx
yx
x
dy)dxdz
yxdxdz
( zx
zx
( z
1
x
1
y)
yz
来自百度文库
E
(1 )
yz;
xy
E 2(1
)
xy;
xz
E 2(1
)
xz
方程用矩阵表示： D
式中[D]为弹性矩阵表示为：
1
1 1
1
0 0
0 0
0
0
1
1
[D]
E(1 )
1 1
(1 )(1 2)
0
0
0
0
1 0 0
0
1 2 2(1 )
0
0
0
1 2
0
0
0
2(1 )