5相交线 对顶线 垂线

相交线对顶线垂线（一）

一、内容：

对顶角的定义，邻补角的定义，对顶角的性质；

垂线的概念，垂线的性质，点到直线的距离；

同位角、内错角、同旁内角的概念

二、技能要求：

1、会过一个已知点画已知直线的垂线。

2、会过已知直线外一点，画已知直线的平行线。

3、会度量点到直线的距离。

4、会识别同位角、内错角、同旁内角。

5、理解对顶角，邻补角概念及性质，并会利用其进行推理与计算。

三、重要的数学思想：

1、数形结合的思想：把计算、推理与图形结合起来，以形辅算，以算辅形的思想。

2、方程的思想：利用方程（组）求解几何未知量的思想。

四、主要数学能力：

1、空间想象能力：从培养自己观察几何图形的位置关系的能力入手，逐步提高自己认图能力和抽象、概括几何概念的能力，从而培养自己的空间想象能力。

2、运算能力：通过几何计算，在熟练技能的基础上，培养运算能力。

3、逻辑推理能力：在初步掌握推理技能的基础上，逐步培养自己灵活运用各种推理形式的能力。

4、思维能力：在本章的学习中，要从几何语言能力的培养入手，在文字语言，符号语言，图形语言的相互转化训练中，逐步规范自己的演绎思维（因果思维），归纳思维，类比思维……等模式，为发展自己的思维能力打下好的基础。

五、知识点分析：

1、关于对顶角的概念：

（1）对顶角概念的本质：两条相交直线形成的四个角中，有公共顶点，没有公共边，这样的两个角叫对顶角。

如图：∵直线AB、CD相交于O（已知）

∴∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角（对顶角定义），

用对顶角概念的本质来判断某两个角是否是对顶角。

（2）对顶角的性质：对顶角相等。这就是说：如果这两个角是对顶角，那么这两个角就相等，这个性质反过来不成立，相等的两个角不一定是对顶角。

∵∠AOC和∠BOD是对顶角（已知），

∠AOD和∠BOC是对顶角（已知），

∴∠AOC=∠BOD（对顶角相等）

∠AOD=∠BOC（对顶角相等）

注意：既然两条直线相交可有对顶角，就可以直接说两角相等。

∵直线AB和直线CD相交于O（如图），

∴∠AOC=∠DOB（对顶角相等），

∠AOD=∠BOC（对顶角相等），

注意：两条直线相交组成两对对顶角。

例1、判断下列说法是否正确，并举例说明：

（1）有公共顶点的两个角是对顶角。

（2）有公共顶点且一边互为反向延长线的两个角是对顶角。

（3）有一边互为反向延长线，且相等的两个角是对顶角。

（4）相等的两个角是对顶角。

（5）互为对顶角的两个角的余角相等。

（6）顶点相对的角是对顶角。

（7）有公共顶点且相等的两个角是对顶角。

（8）两条直线相交，有公共顶点的两个角是对顶角。

（9）两条直线相交，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角。

解：（1）错，举例如图（1）

∠1，∠2不是对顶角。

（2）错，举例如图（2）

∠1，∠2不是对顶角。

（3）错，举例如图（3）

∠1，∠2不是对顶角。

（4）错，举例如图（4）

图中∠1=∠2，但都不是对顶角。

对顶角是两个角处于一种特殊的位置关系，相等的角是两个角的度量关系，这两个是不同范畴的概念，对顶角的大小相等，但相等的角不一定是对顶角。

（5）错。举例如图（5），∠AOD=∠BOC对顶角必相等，但并没有说对顶角一定是锐角，它们也可能是钝角，如图中∠AOD和∠BOC。钝角没有余角。所以对顶角不一定有余角。

（6）错，举例如图（6），∠1和∠2不是对顶角。

（7）错，举例如图（7），∠1和∠2不是对顶角。

（8）错，举例如图（8），∠1和∠2不是对顶角。

（9）对。

例2、如图直线AB，CD，EF相交于O点，写出图中所有的对顶角。

分析：识别图中的对顶角应从这个较复杂的图形中分解出三个基本图

形（即定义图形）即直线AB、CD相交于O；直线AB，EF相交于O；直

线CD，EF相交于O。由于两条直线相交组成对顶角，所以上述图中共有6对对顶角。

解：图中共有6对对顶角，它们是：∠AOC和∠BOD，∠AOD和∠BOC；∠AOF和∠BOE，∠AOE和∠BOF；∠COF和∠DOE，∠COE和∠DOF。

2、关于垂线的概念。

（1）垂线是相交线的特殊情况，当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫另一条直线的垂线。由这点出发来判定两条直线是否垂直，反之若两直线垂直那么交角都是直角。

∵∠BOC=900（已知），∵CD⊥AB于O（已知），

∴CD⊥AB（垂直定义），∠BOC=900（垂直定义），

这是判定两条直线互相垂直的依据这是两条直线垂直的性质

（2）垂线的性质：性质一是说垂线的存在性和唯一性，性质二是说垂线段最短。

3、关于点到直线的距离的概念：由垂线段最短这个性质得到“点到直线的距离”的概念。这个概念与“点到点的距离”一样，是一个数量概念，指的是垂线段的长。（即直线外一点到垂足的距离）

例3、判断下列说法是否正确，若错误请说明理由：

（1）画点到直线L的距离，（2）作出A，B两点距离。

（3）过直线AB外一点C，画AB的垂线，并使它过AB上一点D。

（4）过直线AB上一点C，画AB的垂线，并使它过AB外一点D。

解：（1）错，因为从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。点到直线的距离是垂线段的长度，所以是不能画的，只能度量。

（2）错，因为连结两点的线段的长度，叫做这两点的距离，所以两点的距离也要经过度量得到。

（3）错，因为过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，因此过C点画AB的垂线不一定能过AB上的D点，除非D点正好是垂足。

（4）错，与（3）题理由相同，过C点画AB的垂线不一定能过AB外的一点D。

例4、如图按要求作：

（1）过E点作直线CD的垂线。

（2）量出F点到直线AB的距离。

（3）量出EF两点的距离。

解：

（1）过E作EN⊥CD于N，（注意EN要画成垂线，不要画成线段EN）。

（2）先做出线段FM⊥AB于M，再量出FM的长为约1.2cm，F点到直线AB的距离约为1.2cm。

（3）先连结EF，再量出线段EF的长约为1.9cm, E、F两点的距离约为1.9cm。（不要画垂线）