最值问题在经济管理中应用(经济数学建模课件(西安交通大学-戴雪峰)教程文件

最值问题在经济管理中的应用

本段举例说明最大、最小值问题在经济管理中的应用. 1. 最小成本问题

实际问题中成本一般是产量q 的函数: C =C (q ),求最小成本问题即是求C (q )的最小值问题,但在实用中,经常是用平均成本

q

q C )

(达到最小来控制产量,所以常常是求平均成本的最小值. 例2 设某企业每季度生产某种产品q 个单位时,总成本函数为

)0,0,0()(23>>>+-=c b a cq

bq aq q C

(1) 求使平均成本最小的产量;

(2) 求最小平均成本及相应的边际成本. 解 (1)平均成本函数为

c bq aq q

q C q C +-==

2)

()( )0(>q 令 02)(=-='b aq q C , 得唯一驻点a

b q 2= 又 02)(>=''a q C , 故 a

b

q 2=就是)(x C 的极小值因而是最小值. 所以,每季度产量为a

b

2个单位时,平均成本最小. (2) 当a

b

q 2=

时,最小平均成本为 a

b a

c c a b b a b a a b C 44)2()2()2(2

2-=

+-= 而边际成本函数为 c bq aq q C +-='23)(2

所以当a

b

q 2=

时,相应的边际成本为 a

b a

c c a b b a b a a b C 44)2(2)2(3)2(2

2-=

+-=' 由此可见,最小平均成本等于其相应的边际成本.

一般而言,如果平均成本q

q C q C )

()(=

可导,则令 0)]()([(1

)()()(2

=-'=-'=

'q C q C q

q q C x C q q C 当)(q C 在q 处取得极小值时,有)()(q C q C =',即对于成本函数,最小平均成本等于相应的边际成本,这也证实了我们在第二章研究边际成本时的结论.

由于,52

1

1500,380,400100

15

+

======k y

k y

k y

x x x 其中x =15时,y 最小,因此,当AD =15km 时,总运费最省.

2. 最大利润问题

在产量等于销量的情况下,利润等于总收入与总成本之差,即

)()()(x C x R x L -=

若企业以最大利润为目标而控制产量,问题就转化为选择怎样的产量,使利润最大. 根据极值存在的必要条件可知,

0)()()(='-'='x C x R x L

即当边际收入)(x R '等于边际成本)(x C '时,企业可获最大利润.

例 4 某厂生产服装,每天固定开支为500元,每件服装还要花销9元.已知需求函数p =30-0.2q ,其中p 为每件衣服的单价,q 为每天卖出衣服的件数,假设产量等于销量,问每件衣服以多少价格出售才能获利最大,并求最大利润.

解 由题意可知,需求函数为2)30(25p q -=. 由此,有 成本函数 C =500+9q = 500+9·25(30 - p )2 0

利润函数 ])30(259500[)30(2522p p p C R L -?+--=-= 500)30)(9(252---=p p

对L (p )求导得 )348()30(25)(p p p L --='

令 0)(='p L ， 得p =16 (元)， L (16)=33800 (元).

根据实际问题,最大利润点一定存在,由于p =16是(0,30)内唯一的驻点,所以当每件衣服的单价为16元时获利最大,最大利润为33800元.

例5 一家工厂生产一种成套的电器维修工具、厂家规定,若订购套数不超过300套,每套售价400元,若订购套数超过300套,每超过一套可以少付1元,问怎样的订购数量,才能使工厂销售收入最大?

解 设订购套数为q ,销售收入为R (q ).那么,当订购套数不超过300套时,每套售价为p =400,当订购套数超过300套时,每套售价为p =400-1×(q -300)=700-q .所以,工具每套售价为

??

?>-≤≤=300

700300

0400q q

q p

由此可得总收入函数为

???>-≤≤==300

7003000400)(2

q q

q q q

pq q R

令 0)(='q R ,得驻点3501=q ,且3002=q 是不可导点.

又当300>q 时,02)(<-=''q R ,故3501=q 是极大值点.对3002=q ,当q 经过2q 的两侧时, )(q R '不变号,故2q =300不是极值点.故q =350是最大值点.即工厂若想获得最大销售收入,应将定购套数控制在350套.

3.最优库存问题

库存在正常生产经营活动中是不可避免的.但库存太多会使资金积压,库存变质会造成浪费,库存太少又会使生产活动受到影响,因此,确定最优库存量是很重要的.下面以确定型单周期库存问题为例,说明库存问题的解法.

例6 某厂每年需要某种材料3000kg,这个厂对该种原料的消耗是均匀的(即库存量是批量的一半).已知这种材料每kg 库存费为2元,每次订货费30元,试求最经济的订货批量和全年订购次数.

解 设每次订货批量为x kg,则库存量为

2x kg.库存费为x x

=?22

(元),全年订购次数为x

3000,订购费为

x

x 90000

303000=

?,设定购费与库存费之和为C (x ),则 x

x x C 90000

)(+

= (30000≤

1)(2

=-='x x C , 在(0,3000]中得唯一驻点x =300kg. 又 0180000

)(3

>=

''x x C 故x =300为极小值点,也就是最经济的定货批量为300kg,这时相应的订购次数为10次.

偏导数在经济分析中的应用

在本章第一节我们已说明了偏导数的经济意义.当),(y x f z =表示经济函数时，

),(y x f x 、),(y x f y 分别表示函数对自变量x 和y 的边际量，下面以边际需求和价格偏弹性

为例详细说明偏导数在经济分析中的应用。

1．边际需求

设有A 、B 两种相关的商品，它们的价格分别为1p 和2p ，需求量分别为1Q 和2Q 。由经济理论知道，需求量1Q 和2Q 随着价格1p 和2p 的变化而变动，因此，需求函数可表为

),(2111p p Q Q =，),(2122p p Q Q =

需求量1Q 和2Q 关于价格1p 和2p 的偏导数，表示A 、B 两种商品的边际需求；

1

1

p Q ??是商品A 的需求量1Q 关于自身价格1p 的边际需求，它表示A 商品的价格1p 发生变化时，A 商品需求量1Q 的变化率，类似地，

2

2

1221,,p Q p Q p Q ??????分别表示商品A 关于商品B 的价格2P 、商品B 关于商品A 的价格1p 及商品B 关于自身价格2p 的变化率.

对于一般的需求函数，若1Q 的自身价格1p 下降，则1Q 增加，若2Q 的自身价格2p 下降，则2Q 增加，因此，对于所有在经济上有意义的价格1p 和2p 的值，它们的边际需求

1

1

p Q ??和

2

2

p Q ??都是负的. 如果对于给定的价格1p 和2p ，边际需求

21p Q ??和1

2

p Q ??都是负的，说明当两种商品中任意一个价格减少，都将使需求量1Q 和2Q 增加，在经济学上称这两种商品是互补商品；如果对于给定的价格1p 和2p ，边际需求

21p Q ??和1

2

p Q ??都是正的，说明当两种商品任意一个价格减少，都将使其中一个需求量增加，另一个需求量减少，在经济学中称这两种商品是替代商品.判定两种相关产品是否互补或替代在商品市场中有非常重要的意义。

例1 已知两种相关商品的需求函数分别为

2211p p a Q =

，2

12

p p b

Q =

其中0,0>>b a 为常数，求边际需求函数，并判断这两种商品是互补商品还是替代商品.

解 由题意，应求出1Q 、2Q 的两个偏导

2

1p Q ??和12

p Q ??，用这两个偏导的符号判定。 222121p p a p Q -=?? 2

2112p p b

p Q -=?? 因为

021

2

例2 已知两种相关商品的需求函数分别为

121p p ae Q -=，212p p be Q -=

其中0,0>>b a 为常数，判断这两种商品是互补商品还是替代商品.

解 因为

01221>=??-p p ae p Q ，0211

2>=??-p p be p Q

所以这两种商品是替代商品.

2．偏弹性

与一元函数类似，我们也可以定义二元函数的弹性概念，在此只讨论在市场经济中非常重要的商品的需求弹性问题。

设两种相关商品A 、B 的需求函数分别为

),(2111p p Q Q =，),(2122p p Q Q =

当商品B 的价格2p 不变，而商品A 的价格1p 发生变化时，需求量1Q 和2Q 将随价格1

p 变化而变动，此时需求量1Q 和2Q 对价格1p 的弹性分别为

1

1

11111111011//lim

1p Q Q p p p Q Q E p ??=??=→?

12

211

11221021//lim

1p Q Q p p p Q Q E p ??=??=→?

其中 ),(),(211211111p p Q p p p Q Q -?+=?

),(),(212211221p p Q p p p Q Q -?+=?.

类似地，当商品A 的价格1p 不变，而商品B 的价格2p 发生变化时，需求量1Q 和2Q 对价格2p 的弹性分别为

2

1

1222112012//lim

2p Q Q p p p Q Q E p ??=??=→?

22

222

2212022//lim

2p Q Q p p p Q Q E p ??=??=→?

其中 ),(),(211221112p p Q p p p Q Q -?+=?，

),(),(212221222p p Q p p p Q Q -?+=?

通常11E 称为A 商品需求量1Q 对自身价格1p 的直接价格偏弹性，它表示当A 、B 商品的价格为21p 和p 时，A 商品价格改变1%时其销售量改变的百分数；12E 称为A 商品需求量

1Q 对相关价格2p 的交叉价格偏弹性，它表示当A 、B 商品的价格为21p 和p 时，B 商品价

格改变1%时其销售量改变的百分数.对21E 和22E 可作类似的解释.

由交叉偏弹性的定义看到，利用交叉偏弹性12E 和21E 的符号，也同样可以判别两种商品是互补商品还是替代商品.

例3 已知两种相关商品A 、B 的需求量1Q 、2Q 和价格1p 、2p 之间的需求函数分别

为121p p Q =，2

212p p Q =

求需求的直接价格偏弹性11E ，22E ，交叉价格偏弹性21E 和12E .

解 因为

2

1211p p p Q -=??， 1

211

p p Q =?? 21122p p p Q =??， 22

2

122p p p Q -=?? 所以 1)(2

12221111111-=-?=??=p p

p p p Q Q p E

11

1

1211212=?=??=

p p p Q Q p E

222

1

12122121=?=??=

p p p p p Q Q p E

1)(22

2

12122222222-=-?=??=p p p p p Q Q p E

由012>E 和021>E 可知，这两种商品是替代商品.

最值问题在最优经济决策中的应用

1．最优价格问题

在生产和销售商品过程中，商品销售量、生产成本与销售价格是互相影响的，厂家如何选择合理销售价格，才能获得最大利润，这个问题称为最优价格问题，下面举例说明.

例4 某工厂生产两种产品，当产量分别为21,x x 时，其总成本函数为

2

2212121),(x x x x x x C ++=

而市场对这两种产品的需求函数为

211240p p x +-=，21215p p x -+=

其中，1p 、2p 分别是这两种产品的价格。试问：工厂应怎样确定两种产品的价格，才能使所获利润为最大？

解 先求总收入函数

221121),(x p x p x x R +=

由需求函数方程组

??

?-+=+-=2

122

1115240p p x p p x 解得 ???--=--=212

2

1127055x x p x x p

于是 22112121)270()55(),(x x x x x x x x R --+--=

2

221212127055x x x x x x ---+=

总利润函数为

)()27055(2

2212122212121x x x x x x x x x x C R L ++----+=-= 2

22221213237055x x x x x x ---+=

令 ???????=--=??=--=??0

6370043552

12

121

x x x L x x x L

解得 81=x ，3

23

2=

x 又 42

12-=??=x L A ，2212-=???=x x L B ，622

2-=??=x L

C 于是0152

<-=-AC B ，且04<=A .

所以81=x ，3

23

2=

x 是极大值。当0,021>>x x 时,这是唯一的极值点,也是最大值点，此时相应的产品价格为

3118

3238551=

-

-=p 3

140

32328702=

?--=p 即当两种产品的价格分别为31181=p ，3

140

2=p 时，可获利最大.

例5 某企业在两个相互分离的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是

11218Q p -=，2212Q p -=

其中1p 和2p 分别表示该产品在两个市场上的价格（单位：万元/吨），1Q 和2Q 分别表示该产品在两个市场上的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是52+=Q C ，其中Q 表示该产品在两个市场的销售总量，即21Q Q Q +=.

（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；

（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及统一价格，使该企业的总利润最大化，并比较两种价格策略下的总利润大小.

分析 企业实行价格差别策略，即两个市场上的价格1p 和2p 可独立变动，从而问题（1）是求总利润函数的无条件最大值问题.企业实行价格无差别策略，即两个市场上的价格1p 和

2p 满足21p p =，从而问题（2）是求总利润函数在约束条件21p p =（即6221=-Q Q ）

之下的条件最大值问题，因此可用拉格朗日乘数法解决.

解 （1）根据题意，总利润函数为

)52(2211+-+=-=Q Q p Q p C R L

510162212

221-++--=Q Q Q Q

令 ???????=+-=??=+-=??0

10201642

2

11

Q Q L Q Q L

解得唯一驻点为41=Q ，52=Q ，则101=p （万元/吨），72=p （万元/吨） 因驻点)5,4(唯一，且实际经济问题一定存在最大值，故最大值必在驻点达到，所以最大利润为

52551041654222=-?+?+--=x L （万元）

（2）若企业实行价格无差别策略，则21p p =，从而有约束条件6221=-Q Q ，构造拉格朗日函数，得

)62(510162),,(21212

22121--+-++--=Q Q Q Q Q Q Q Q F λλ

令 ????

?????=--=??=-+-=??=++-=??062010202164212211Q Q F

Q Q F

Q Q F

λλλ 解得 51=Q ，42=Q ，则821==p p （万元/吨）

因驻点（5,4）唯一，且实际问题一定存在最大值，故最大值必在驻点达到，所以最大

利润为

49541051645222=-?+?+-?-=L （万元）

由上述结果可知，企业实行差别定价所得总利润要大于统一定价的总利润.

2．产量固定时的最低成本问题

例6 设生产某种产品需要投入两种生产要素，其投入量分别为1x 和2x ，价格分别为1

p 和2p ，生产函数为),(21x x f Q =，成本函数为2211x p x p C +=.当生产固定数量的产品（设为a ）时，问应怎样分配两种要素的投入量，才能使成本最低.

解 根据题意，这是求成本函数2211x p x p C +=在附加条件

),(21x x f a -=0

下的最小值问题.

构造拉格朗日函数

)],([),(21221121x x f a x p x p x x L -++=λ

令 ??

?

?

???=-=-==-=0),(0021212211a x x f f p L f p L x x x x λλ

由前两个方程，解得

2

121x x f p

f p ==

λ 即

2

12

1x x f f p p =

由此可见，如果产量固定，只有当两种投入量使两个边际产量与相应价格成比例时，才可能使生产成本最低.

3．成本固定时的最高产量问题 例7 设某产品的生产函数为

21ln 4ln 2x x y +=

其中1x 、2x 分别是两种原料的投入量，设两种原料的单价分别为4元和3元，现在用10000元购买两种原料，问怎样分配两种原料的投入量，才能获得最大的产量？

解 成本函数为

2134x x C +=

根据题意，这就是在条件0341000021=--x x 的约束下，求函数

21ln 4ln 2x x y +=

的最大值问题.

构造拉格朗日函数

)3410000(ln 4ln 2),(212121x x x x x x L --++=λ

解方程组

????

?????=-+=-=??=-=??010000340340422122

1

1

x x x x L x x L λλ

由前两个方程得123

8

x x =

，代入第三个方程，得 ???

???

?==9200003

250021x x 100006=λ 因为当01>x ，02>x 时只有一个驻点，且问题本身具有最大值，故当3

2500

1=

x ，9

20000

2=

x 时，可获得最大产量，此时 2

1

2

134p p y y x x =

=

即两个边际产量与相应的价格成正比，这与例5的结论是一致的。 *4．拉格朗日乘子λ的经济意义

下面以二元函数为例说明拉格朗日乘子λ的经济意义.

从例6和例7看到，不管是产量固定时的最低成本问题，还是成本固定时的最高产量问题，最后都归结为在约束条件C y x =),(?下，求生产函数),(y x f z =的极值问题，由拉格朗日乘数法，拉格朗日函数为

)],([),(),,(y x C y x f y x L ?λλ-+=

其中λ是拉格朗日乘子，由第七节的分析，函数).(y x f 取极值的必要条件是

?????????=??=??=??000λ

L

y L

x L

即 ????

?????=-??=????=??0),(C y x y y

f x x f ??

λ?λ （1） 在方程组(1)中，λ，,x y 是未知数，C 为已知.但若将C 看作变量，则λ和,x y 都可表为C 的函数，假设由方程组（1）解出最优解*

λ，*

x 和*

y ，则

)(C λλ=*，)(C x x =*，)(C y y =*

从而),(y x f z =的极值*

z 也可视为C 的函数.

),(***=y x f z

将*

z 对C 求导，形式上有

dC

dy y f dC dx x f dC dz *

*

***??+??= （2） 再将方程组（1）中前两式代入（2）式中，得

)(dC dy y

dC dx x dC dz ***

***??+??=??λ (3) 若将C y x =),(?两边对C 求导，有

1=??+??dC

dy

y dC dx x ??

于是(3)式为 *

*

*=λdC

dz 这说明，拉格朗日乘子*

λ是目标函数极值*z 对约束条件之常数C 的变化率或边际值.在经济学中，也将*

λ称为影子指标，*

λ随目标函数、约束条件的经济意义和度量单位不同而有不同的经济解释.

若给定产出水平为a ，约束为a y x =),(?，目标是使成本),(y x f C =最小，需决策的是两种投入y x ,的水平，则*

λ是在最优投入水平时产品的边际成本，如例5中的*

λ.

若成本是固定的，C y x =),(?，目标是使产量),(y x f z =最大，而要决策投入y x ,的水平，则*

λ是支出的边际产量，如例6中10000

6

=

*

λ单位.

*三、最小二乘法

对经济问题进行定量分析时，经常要探讨一些经济变量之间的定量关系，特别是经济变量之间的线性关系，这种关系在经济决策和经济预测方面非常重要.由于经济变量大多数呈随机性，所以它们之间的定量关系是在掌握大量统计数据的基础上总结出来的经验公式，最小二乘法是利用多元函数极值理论构造线性经验公式的一种有效方法.下面对因变量线性依赖于一个自变量的简单情形，介绍用最小二乘法构造线性经验公式的基本思想.

假设变量y x ,之间存在一定关系，对它们进行n 次统计或调查，得到n 组数据

),(,),,(),,(2211n n y x y x y x Λ

将这n 组数据看作直角坐标系中的n 个点，并将它们画在坐标平面上，称其为散点图，如图8-13所示。如果这些散点大致呈直线趋势，则认为x 与y 之间存在线性关系，设X 与Y 之间的线性关系为

b ax y +=

其中b a ,为待定参数，下面用最小二乘法根据观测值来确定参数a 和b .

设当i x x =时，用函数b ax y +=算出的值为i y ?，n i Λ,2,1=，考虑i y ?与实际观测值i y 的偏差绝对值

i i i y y

d -=? 称i d 为实测值与计算值的误差，在数学上求a 、b 的思想是：使误差平方和

∑∑==-+==

n

i i i n

i i

y b ax d

S 1

21

2)(

达到最小，这种根据偏差平方和为最小的条件来确定参数的方法称为最小二乘法.因此，最小二乘法是关于以未知参数a 和b 为变量的二元函数的最小值问题.

因S 是a 与b 的二元函数，故由极值的必要条件得

???????=-+=??=-+=??∑∑==n

i i

i n

i i i i y b ax b

S x y b ax a S

11

)(20)(2 由此得关于a 与b 的线性方程组

???????=+=+∑∑∑∑∑=====n

i i n i i n i i i n i i n i i y nb a x y x b x a x 11

1

112

)()()( 解此方程组得唯一驻点

2

1

21?x

n x y

x n y

x a

n i i n

i i

i --=∑∑==

x a y b

??-= 其中 ∑==n i i x n

x 1

1，∑==n

i i y n

y 1

1

于是，变量x 与y 之间的关系为

b x a

y ??+= 此式也称为是x 与y 的经验公式.

例8 某地区通过抽样调查，收集到人均收入x （百元）和平均每百户拥有洗衣机的台

数y 的统计资料，如表8-1所示，试建立x 与y 之间的经验公式.

解 根据所给数据做散点图，x 与y 呈直线趋势，如图8-14所示，将计算a

?和b ?的数据整理列于表8-1中之列后.

表8-1

由表上数据可算得

∑===913667.391i i x x ，∑===9

1

1222.1091i i y y

∑==9

1

2

11.115i i

x

，∑==9

1

09.345i i i y x

于是

9303.23

.303.3011.115911

.93.3009.3459?≈?-??-?=a

2568.03667.39303.21222.10?≈?-=b

所以x 与y 的线性关系是

9303.22568.0+=x y