高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解_对数函数及其性质_基础

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案

对数函数及其性质 编稿： 审稿：

【学习目标】

1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型；

2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较；

3．了解反函数的概念，知道指数函数x

y a =与对数函数log a y x =互为反函数()0,1a a >≠．

【要点梳理】

要点一、对数函数的概念

1．函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞，值域为R ． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1；

（2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x ． 要点诠释：

（1）只有形如y=log a x(a>0，a ≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。 （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。

要点二、对数函数的图象与性质

a ＞0

0＜a ＜1

图象

性质

定义域：（0，+∞） 值域：R

过定点（1，0），即x=1时，y=0

在（0，+∞）上增函数 在（0，+∞）上是减函数 当0＜x ＜1时，y ＜0， 当x ≥1时，y ≥0 当0＜x ＜1时，y ＞0， 当x ≥1时，y ≤0

要点诠释：

关于对数式log a N 的符号问题，既受a 的制约又受N 的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.

以1为分界点，当a ，N 同侧时，log a N>0；当a ，N 异侧时，log a N<0. 要点三、底数对对数函数图象的影响 1．底数制约着图象的升降． 如图

要点诠释：

由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．

2．底数变化与图象变化的规律

在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当0

要点四、反函数 1．反函数的定义

设,A B 分别为函数()y f x =的定义域和值域，如果由函数()y f x =所解得的()x y ϕ=也是一个函数（即对任意的一个y B ∈，都有唯一的x A ∈与之对应），那么就称函数()x y ϕ=是函数()y f x =的反函数，记作1

()x f

y -=，在1()x f y -=中，y 是自变量，x 是y 的函数，习惯上改写成1

()y f x -=（,x B y A ∈∈）

的形式．函数1

()x f

y -=（,y B x A ∈∈）与函数1()y f x -=（,x B y A ∈∈）为同一函数，因为自变量的

取值范围即定义域都是B ，对应法则都为1

f

-．

由定义可以看出，函数()y f x =的定义域A 正好是它的反函数1

()y f x -=的值域；函数()y f x =的

值域B 正好是它的反函数1

()y f

x -=的定义域．

要点诠释：

并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如2

y x =．一般说来，单调函数有反函数． 2．反函数的性质

（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称．

（2）若函数()y f x =图象上有一点(),a b ，则(),b a 必在其反函数图象上，反之，若(),b a 在反函数

图象上，则(),a b 必在原函数图象上．

【典型例题】

类型一、对数函数的概念

例1.下列函数中，哪些是对数函数？ （1

）log 0,1)a

y a a =>≠；

（2）2log 2;y x =+ （3）28log (1)y x =+；

（4）log 6(0,1)x y x x =>≠； （5）6log y x =．

【答案】（5） 【解析】（1）中真数不是自变量x ，不是对数函数． （2）中对数式后加2，所以不是对数函数．

（3）中真数为1x +，不是x ，系数不为1，故不是对数函数． （4）中底数是自变量x ，二非常数，所以不是对数函数．

（5）中底数是6，真数为x ，符合对数函数的定义，故是对数函数．

【总结升华】已知所给函数中有些形似对数函数，解答本题需根据对数函数的定义寻找满足的条件． 类型二、对数函数的定义域

求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.

例2. 求下列函数的定义域：

(1)2

log a y x =； (2)log (4-)(01)a y x a a =>≠且.

【答案】（1）{|0}x x ≠；（2）{|4}x x <．

【解析】由对数函数的定义知：2

0x >，40x ->，解出不等式就可求出定义域.

(1)因为2

0x >，即0x ≠，所以函数2log {|0}a y x x x =≠的定义域为；

(2)因为40x ->，即4x <，所以函数log (4-){|4}a y x x x =<的定义域为.

【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于log ()a y f x =的定义域时，应首先保证()0f x >．

举一反三：

【变式1】求下列函数的定义域.

(1) y =

lg 23y x x =+-.

【答案】（1）(1，

23) (2

3

，2)；（2

）(()

[),115,3

2,-∞---

-+∞．

【解析】(1)因为⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧

≠->->-1)1(log 0)1(log 0

12

1

21x x x ， 所以101132x x x ⎧⎪>⎪<-<⎨⎪⎪≠⎩，

所以函数的定义域为(1，

23) (2

3

，2).